en supposant que la plaque se meuve

Ajoutons qne les formules (28) de la page 166, qui fournissent des valeurs très -approchées de dCs * cT '^°' '^ ^* ^^ ^*^^ considère se et jr comme variables indépendantes, subsisteront encore à très-peu près, quand on regardera comme indépendantes les variables as et r. Donc aux équations (i4) on pourra substituer celles*ci

... dA ,dF d-i dF dB d-n

Quant aux formules (4) $ il résulte des svppositions admises qu'elles donneront à trèspeu près pour r s=s — A et pour r = à

En eflfet, dans Tétat naturel de la plaque « la section faite par le plan des œ ^ y était renfermée entre deux droites parallèles à Taxe des x , et représentées par les équations

Or les deux courbes , dans lesquelles ces deux droites se transforment en vertu des déplacements infiniment petits des molécules , difTèrent très-peu de ces mêmes droites. Donc, si Ton désigne par « , ^ les angles que f^rme la normale à Tune de ces courbes avec les demi-axes des x et jr positives , on aurt sensiblement , c'est-à-dire , en négligeant des quantités infiniment petites ,

(t8) cosa = 0 9 cosp=:i.

D'ailleurs les angles dont il s*agit sont évidemment ceux que comprennent les formules (4) 9 et qui déterminent la direction de la normale à Tune des surfaces cylindriques entre lesquelles la plaque se trouve définitivement renfermée. Donc les formules (4) » qui subsistent pour tous les points do chacune de ces surfaces » se réduiront sensiblesient aux équations (i6). Enfin , comme une droite primitivement perpendiculaire à l'axe des x , et propre à mesurer la demi -épaisseur de la plaque dûns Tétat naturel , changera trèspeu de longueur et de direction , en vertu des déplacements infiniment petits des molécules , il est clair que » dans Tétat d'équilibre ou de mouvement , — ^ et + ^ seront à très-peu près les valeurs de r correspondantes aux deux courbes qui remplaceront les lignes primitivement représentées par les équations (17).

Concevons maintenant que» dans les équations (i3), (i5) et (16) » on développe les quantités

considérées comme fonctions de os et do r, suivant les puissances ascendantes de là variable r ; et soient en conséquence

(19) -<4 = y^o + -^i»* + ^« J-elc... ,

(20) /^ = /r,-hF.r+F.~+F3-^-f-etc., jB=Jîo+^.r4-/?, — -^«a-^ +etc. .

(ai) ^ = .Y.4-^.r4.Ar,-^4.etc. , y = y.+ J',r-f F. ~ +elc. ,

^ ÎA 'À

(22) Ç = Ço + Çi^ + ?» h etc. , u = >3o -|- >î,r -+- >î, 1- elc. .

Ao, Fo9 Bo , Xo 9 -To . Ço > >îo ; -^i f F, , j?, , Jf, , Kl , Ç, , *î, ; elc. , désignant des fonctions de la seule variable x. Supposons d'ailleurs constanles la pression P et la dcnsilé A relative à Télat naturel de la plaque. La densité p , infiniment peu différeute de A , pourra elle-même être regardée comme constante; et les formules (i3) , qui doivent subsister quel que soit r» donueront

(,3) ^+F.+pX, = o. j!±.+F, + pJÏ.=o, elc.

{ >5i ) tandiè que Ton tirera des formules (i5)

(«6) ^ +A+pF.=p.5^, ~4-i?.+pF.=P ^. +i?,+pI'.=p —.etc.

Mab les formules (16) , qui doivent être vérifiées seulement pour r = — h et pour r = h , donneront

/^•4-/^« — +etc- =0 , F. + /^3 -^ + etc. =0 ? 9 0

B^ + Bn hetc. = — P, iï. +*s-^ + otc=o.

fl eil important d'observer que , dans les formules précédentes ,

représentent tes vdeiiri de

qui correspondent à une valeur nulle de r. Donc

yio f Fo et F, j Bo

expriment les projections algébriques des pressions ou tensions exercées contre des plans perpendiculaires aux axes des a: et 7 en un point de la ligne moyenne; et l^ » >}« expriment les déplacements de ce point mesurés à partir de sa position primitive parallèlement aux mêmes axes. Or le second de ces déplacements ne sera évidemment autre chose que Tordonnée de la ligne moyenne , en sorte qu'on aura identiquement

Quant aux quantités

At , Ft t Bt y Ç, , n, ; At , Ft , B^ , Ç, , 1, ; etc. ,

elles exprimeront les valeurs de

rfç

dr,

dr '

dr* '

correspondantes à r = o • Enfin

(«9) X^t Xx, X^ , etc...; K, , y,, y,, etc....

représenteront ce que deviennent pour r = o , les quantités

/x X ^ dX d^X ^ ^ dY d^Y

D'ailleurs » si X , Y considérées comme fonctions des variables x , j sont c nues par rapport à ces variables » les expressions (5o) diiltsreront très-peu des fonc qu'indiquent les notations

^ dX d-X , ^ dY d-Y

dans le cas où l'on reganle 0, j comme variables indépendantes. Donc, pou tenir les valeurs très-approchées des quantités (39) , il suffira de poser, dans les ex sious (3 1 ) , r = o , ou à très-peu prè^ J = o . L'erreur commise alors , étai même ordre que les déplacements Ç , d , devra être considérée comme infiniment p

Il reste à montrer ce que deviennent les formules (aSj, (24)» (a^)» (s6) et (27), di cas où la quantité h est très-petite. Or, si l'on néglige dans une première approxim tous les termes qui ont pour facteur A* » comme on devra le faire efiectivemeni h étant du même ordre que les déplacements S , >7 , on attribue au temps t valeur peu considérable, on tirera des formules (97)

(32) /^o = o, Bo=^Pi Fx=o, D, = o;

puis des formules (23) et (24)

(33) -^ + ^Xo = o ; 1^0 = o ,

tandis que les formules (26) et (26) donneront

(54) ^--+pjr.=p^^. r,=-^:

f 255 ) La première des formules (33) détermine, dans le cas d'équilibre» la valeur de la prèssfon ou tension /^o- Quant à la seconde de ces formules, elle exprime qu'une lame oaturellement droite, et d*ujne épaisseur constante, mais très-petite, ne peut rester en équilibre après un changement de forme presque insensible , à moins que les forces accélératrices appliquées aux diverses molécules ne soient dirigées à très-peu près dans le sens de la longueur de cette lame. C'est ce qu'il était facile de prévoir. Ajoutons que les formules (33), une fois admises, entraînent les formules (34) dont la seconde détermine, pour des valeurs peu considérables de t , l'ordonnée >3« de la ligne moyenne , quand la plaque est en mouvement.

La pression A^ n'est que le premier terme du développement de la pression A suivant les puissances ascendantes de r. Si l'on veut déterminer, dans le cas d'équilibre, lo coefficient At du second terme de ce même développement, il faudra recourir à une approximation nouvelle , en supposant que la quantité h , quoique fort petite, devienne très-supérieure aux valeurs numériques des déplacements i^ n , et conserver, dans la première dos formules (24)» les termes proportionnels au carré de h. Si d'ailleurs on continue de négliger les puissances de k d'un degré supériear au second , les formules (27) pourront être réduites aux suivantes :

Or on conclura de celles-ci combinées avec la seconde des équations (20) et avec tes deux dernières des équations (24)

Par suite, la première des équations (24) donnera OU , ce qui revient au même ,

Il est bon d'observer que, la quantité Yç devant être, dans le cas d'équilibre « îros-

IIL* ANNÉE. 53

( 854) petite et du même ordre que A*, le rapport ** que renferme la formule (Sg) , ne

sera pas nécessairement très-considérable, comme on pourrait le croire au premier abord ; et qu'en conséquence la fonction Ax , déterminée par cette formule » conseryera généralement une valeur finie , comparable à celle de ^o • Gomme d'autre pari la variable r » comprise dans les équations (ig) , (so) , etc. , est une quantité du même ordre que h , tandis que les valeurs de F. » Bt fournies par les équations (35) sont proportionnelles au carré de A , on conclura des équations (19) et (90) , i.® en négligeant, dans le développement de A , les puissances de h supérieures à la première ,

(4o) A = Ao + Axr,

5t.'' en négligeant, dans les développements de F et de B , les puissances de h supérieures 5 la seconde ,

(4.) F = F, + F,^ = F.(i-^), i? = /?.+ir.^ = 2?.(,-^)-Pf ,

(42) F = -i(^ + o>r,)(A--r>), iï = P4.1.pr.(A»-r').

Ainsi , après avoir déterminé les fonctions A^p A^ , à l'aide des deux équation*

(45) J^^oX. = 0. -^r^+pl^n^ + --»'.+ -TT^1=0,

il suffira de recourir aux formules (4o) et (4â) , pour obtenir les valeurs approchées des pressions A , F , E relatives à l'élat d'équilibre.

Si de l'élat d'équilibre on passe à l'état de mouvement , il faudra , dans les équations (4q) et (43) , remplacer les quantités

(44) Xo, X^; y* , K, , y. ,

par les dilTércDCcs

(45) X. — JJ7-, ^«-T^T' ^"^ — dlT' ^' — dï^' ^' dt^ ' Ou trouvera donc alors, en négligeant les termes proportionnels au carré de h ,

et , en négligeant les termes proportionnels au cube do /t ,

«') ^ = il ^+ ' (-»■ - ^) I (*••'■)• '^-'-H- T ' (' ' -4f) ('-'•'•

Quant à la valeur approchée de A , elle continuera d'être déterminée par l'équation (4o) , l'erreur étant du même ordre que A*.

Dans le cai particulier où la force accélératrice ^ est supposée nulle, ses projections algébriques X ^ Y , et par suite les quantités X^^ X^; Y^. JT. , Y^ s'évanouissent. Donc alors les équations (46) et (47) se réduisent aux suivantes :

Nous ajouterons ici une remarque importante. Si » après avoir divisé la plaque » prise dans l'état d'équilibre ou de mouvement, en lames solides , on désigne par l la largeur d^une de ces lames, la section faite dans cette lame par un plan perpendiculaire à l'axe des as , et correspondant à l'abscisse se , supportera une tension ou pression dont les projections algébriques sur les axes des oc et jr seront représentées à très-peu près par les produits ""

^t dont le point irapplîcatlnn aura pour ordoiinéc la valeur de / déterminée par la formule

t.r Jrdr

Cola

posé,

le produit

iJ,

représeotcra » au signe près, le moment* de la pression ou tension ci-dessus mention par rapport à l'axe qui, étant perpendiculaire au plan des x, y , renferme le p< du la ligne moyenne correspondant h Tabscisso x. De plus, ce moment sera du mi

ordre que le produit — - /'^/iZ , qui représente la projection algébrique de la force

Taxe des j , c'cst-h-dire de Tordre de A'; puisque la quantité Fq, détermi par l'une des formules

sera de l'ordre de A*. Quant à la projection do la môme ibrcc sur Taxe des elle sera de l'ordre de h seulement; d'où l'on peut conclure que la direction de o force formera un très- petit angle avec Taxe des œ.

Pour appliquer les diverses équations que nous venons d'établir à la déterminai des changements do forme qu'éprouvent la plaque ou lame proposée , et la ligne moyei de la section faite par le plan des x , jr^ il est nécessaire de tenir compte des n tioDS qui existent entre les tensions ou pressions A , F, E et les déplacements » . Or ces relations dépendent de la nature de la plaque et de la matière dont elle formée. Si l'on considère en particulier une lame élastique et homogène , dont l'élastî soit la même dans tous les sens , alors , en adoptant les principes énoncés dans Tun précédents articles [pages 177 et 178], et prenant x, y pour variables indép dantes, on aura, on vertu des formules (67) et (70) de la page 178,

* Ce qu'on appelle le moment d'une force par rapport à an axo n'est autre chose qoe le produit de cetto li par la plus courte distance entre l'axe et la droite suivant laquelle elle agit.

( .57 ) kf K déslgnaot deux quaDlItés constantes, et v la dilatation du Tolume donnée par l'équation

dl , dn

(54) "^SÏ + rfF-

Par suite, «t l'on fait, pour plus de commodité,

(55) ifc + K = eK,

et si l'on prend pour variables indépendantes a; et r , au lieu de a; et ^ , on aura

Lorsque, dans les formules (56), on substitue aux fonctions A, F, E, (, » leurs développements ordonnés suivant les puissances ascendantes de la variable r , alors , en égalant entre eux les coefficients des puissances semblables de r , on troave

puis , en combinant les formules (57) avec les équations (Sa) , on en conclut

duo

dnt I i/*So 1 dit 1 d*no

Les valeurs précédentes de $i » )is , (« , >}, sont exactes , aux quantités près de Tordre de A'. En substituant ces mêmes valeurs dans les deux premières des formules (57) , on en tire

Gela poséj les équations (45) , qui sont relatives à Téquilibre d'une lame solide, donneront, pour une lame élastique.

il désignant une constante positive déterminée par la formule

Observons d'ailleurs que , si , après avoir multiplié pour h* les deux membres de l'équation (61) , on négligeait les termes proportionnels au carré de A, on se trouverait immédiatement ramené à la seconde des formules (33).

Ou pourrait douter, au premier abord, que les équations (60) ,(61), dans lesquelles (o » »• désignent de très-petites longueurs, fussent applicables à des cas où la force accélératrice f ne serait pas elle-même très-petite. Mais, pour dissiper ce doute, il suffit d^observer que la quantité K et par suite le coefficient n* sont généralement très-considérables. Il en résulte

que la valeur de , tirée de l'équation (60), sera peu différente de zéro et du même

ordre que — ^ . Ajoutons que l'on pourra encore en dire autant de la valeur de 'l** ,

û, comme nous l'avons supposé, Ko est une quantité très-petite du même ordre que A'. Quanta la quantité A*, il faudra, comme on l'a dit, qu'elle soit de beaucoup supérieure aux valeurs numériques des inconnues So » "o » et par conséquent à la vii^

leur numérique de — ^ , afin que l'on puisse continuer d'omettre les termes proportionnels

aux carrés de ces inconnues on de leurs dérivées , tout en conservant les termes proportionnels au carré de k. Donc ki force (p devra rester très-pelite par rapport au produit n'A*. Mais il suffit, pour cela , que, le produit ah ayant une valeur trèsconsidérable, cp conserve une valeur finie.

Les équations (60) et (61) sont les seules qui subsistent pour tous les points de la ligne moyenne dans une lame élastique , homogène, naturellement droite et en équilibre. Chacune d'elles détermine séparément l'une des deux inconnues Ço $ I0 qui représentent, dans l'état d'équilibre, le déplacement d'un point de la ligne moyenne parallèlement à l'axe des x , et l'ordonnée de cette ligne. Ajoutons que , ces deux inconnues étant ainsi déterminées aux quantités près de l'ordre de A*, les valeurs de ^\ Ç , >] se déduiront avec le même degré d'approximation , 1.° de l'équation (4o) réunie aux formules (89) , 2.' des formules (58) combinées avec les formules (22) ou plutôt avec ie^ suivantes

(63) ç = Ço4-Çx»'» iï = >îo4-'»«''-

On trouvera de cette manière » en ayant égard à la formule (62) ,

^ \dx dx* I 0

Quant aux valeurs approchées de F et de B , elles seront données par les équations (4s) et (59) , ou , ce qui revient au même par les formules

(66) F=-ip(j:.-a.^](A.-r-). i? = -P + Apr.(A.-r.),

et seront exactes aux quantités près de l'ordre de h^.

Nous avons ici supposé que l'on commençait par déterminer» à l'aide des équations différentielles (60) et (61) les valeurs inconnues $0 » ^o* Mais, pour effectuer complètement celte détermination , il est nécessaire de fixer les valeurs des six constantes arbitraires que renferment les inléjçrales générales de ces équations différenlielies. On y parviendra sans peine , si les extrémités de la lame élastique sont toutes deux fixes , ou Tune fixe et l'autre libre « en assujétissant les inconnues $« » 10 aux conditions nouvelles que nous allons indiquer.

Concevons que , dans l'état naturel de la lame élastique , les extrémités de la ligne moyenne coïncident avec l'origine et avec un point situé sur l'axe des x à la distance a de cette origine; en sorte que ces extrémités correspondent aux abscisses

05 = 0 , xz=za.

Supposons d'ailleurs la lame terminée dans le sens de sa longueur par deux plans perpendiculaires à la ligne moyenne. Enfin imaginons que les extrémités de cette lame deviennent fixes > ou plutôt que, les extrémités de la ligne moyenne étant fixes» les points venfermés dans les deux plans dont il s'agit soient assujétis de manière à n'en point sortir» Alors on aura , pour x = o et pour x^^^a ^ non^eulement

(67) Ço = 0, (68) »a = 0.

( a6o ) mais encore Ç = o , quel que soit r , et par conséquent

Or les trois conditions qui précèdent, et qui^doiveut être vériCées pour deux valeurs différentes de x , fournissent le moyen do déterminer les six constantes arbitraires que comportent les valeurs générales des inconnues Ç« , >3o-

Supposons encore que la lame élastique offre une extrémité fixe , par exemple » celle qui correspond à ce = o , mais que l'autre extrémité correspondante à sB=:a soit libre. Alors les conditions (67) , (68) y (Gg) devront être vérifiées pour la valeur zéro de X , qui correspond à l'extrémité fixe. De plus, si l'on considère un point {x,y) renfermé dans le plan mené par l'autre extrémité perpendiculairement à la ligne moyenne • les projections algébriques de la pression exercée en ce point contre le plan seront sensiblement équivalentes aux quantités A , F données par les équations (65) et (66). Donc , si ce plan est soumis à la pression extérieure et normale P , les valeurs de A et de F y tirées des équations (65) et (66), devront pour x=^a satisfaire , quel que soit r , aux deux formules

qui entraîneront les trois conditions

Or, à l'aide de ces conditions réunies aux formules (67) , (68) , (69) , on pourra déterminer encore les deux constantes arbitraires que comporte l'intégrale de l'équation (60) , et les quatre constantes arbitraires que comporte l'intégrale de l'équation (61).

Si les deux extrémités de la lame élastique devenaient libres, les conditions (71) et «(72) devraient être vérifiées pour x=ia aussi bien que pour a; = o. Mais, après avoir déterminé, à l'aide des conditions relatives à a: = o , les constantes arbitraires introduites dans la valeur de Ço p&r une première intégration, 00 dans la valeur de )}o par deux intégrations successives , il faudrait renoncer à déterminer les trois autres constantes arbitraires; et les conditions relatives à x^=a fourniraient seulement des relations qui devraient exister , dans le cas d'équilibre , entre les forces açcér

léralri'ces et la pression P. Il élait facile , au resle , de prévoir ces résullals , allcodu qu'on ne trouble pas Téquilibrc d'une lame élastique dont les extrémités sont libres , lorsqu'on la déplace très-peu , en faisant tourner cette lame sur elle-même, ou en transportant l'une de ses extrémités sur une droite parallèle soit à Taxe des x, soitù l'axe des jr.

Si la lame élastique, ayant ses extrémités libres, se trouvait terminée dans le sens de sa longueur par deux plans perpendiculaires , non plus à la ligne moyenne , mais à deux droites comprises dans le plan des x ^ j , et qui , prolongées en dehors de la lame , formeroient avec les demi-axes des a; et j positives, la première les angles a\ p\ la seconde les angles a', p" ; les valeurs de A , F Qt B , tirées des formules (65) et (66) , devraient vérifier, pour x = o et pour x = a , non plus les formules (70) , mais celles que l'on déduit des équations (4) » quand on y remplace successivement les angles a, P par «', p' et par a" ^ p" , On aurait donc alors, pour a; = o,

(70) y^cosa' 4" ^cosp' = — Pcosa' , Fcosa' + jBcosp' = — Pcosp' ,

et pour x=za 9

(74) A cosa* 4- Fcosp' = — Pcosa", Feos a' + Beosp' = — Pcosp' .

D'ailleurs, la quantité F\ qui est du même ordre que A*, pouvant être négligée vis-à-vis de A , la première des formules (75) ou (74) se réduirait encore à

et entraînerait i.® la condition (71)» 22.* la première des conditions (72)- Mais la seconde des conditions (72) se trouverait remplacée par celle que Ton déduit de la seconde d'*s formules (75) ou (74)» combinée avec les formules (66), c'est-à-dire, par l'une dés deux suivantes :

COSa

COSa'

Il serait encore facile de voir ce qui arriverait, si l'un des plans qui terminent la lame

élastique supportait une pression différente de F. Ainsi , par exemple , concevons que

le plan correspondant à x=.o reste perpendiculaire à la ligne moyenne, et supporte

en chaque point une pression normale désignée par $. Alors il faudra substituer $