HT' -»— =-Ê-' ^'•' — T

d*où Ton peut conclure que les trois équations (a8) seront réduites à la seule équation

(57) EFp + FDg+DE = o.

et les trbis équations (54) à la seule équation

(58) EFx'{'FDy + DEz = o.

Il sera donc permis d'attribuer aux variables p, q l'un quelconque des systèmes de valeurs propres à vériGer la formule (Sy). Par suite» les valeurs de cosa^ cosp, COS7, données par la formule (ig) « ne seront pas complètement déterminées; et les deux directions principales , correspondantes aux deux racines égales de l'équation (s6) » seront celles de deux droites menées arbitrairement par l'origine dans le plan que représente Téquation (58). Or il est évident qu'on pourra choisir encore ces directions de manière qu'elles soient perpendiculaires entre elles. Quant à la troisième racine de l'équation (s6), elle continuera de fournir une direction principale perpendiculaire aux deux autres , et par conséquent au plan représenté par l'équation (58).

Si » dans le cas que nous venons d'examiner , on désigne par «- la valeur commune des deux racines égales de l'équation (26) » on aura » en vertu des formules (56) ,

/c N . EF ' FD ^ DE

Par conséquent les coefficients A , B , C , D , E, F vérifieront les deux équations de condition comprises dans la formule

(60) A = 2? — -^ = C jr- .

Réciproquement » lorsque ces deux équations sont vérifiées , on peut affirmer que l'équation (s6) a au moins deux racines égales entre elles. En effet » si l'on désigne alors par s- la valeur conmiune des trois membres de la formule (60) » on trouvera

et la substitution des valeurs précédentes de A , B , C dans l'équation (s6) réduira cette équation à la forme

/ EF FD DE

S'il y avait égalité entre les trois racines de l'équation (26) , chacune d'elles coïnciderait nécessairement avec les trois valeurs de s* et les trois valeurs de s", déterminées par les formules (35), (4*^) et (44)* Donc alors les radicaux renfermés dans ces formules s'évanouiraient « et les cpelficienls A , B , C , D , E , F vérifieraient les trois conditions

ou» ce qui revient au même, les cinq équations de condition comprises dans les deux formule^

(64) J=zB = C, n = E = Fr=o.

De plus, en désignant par ç la valeur unique de # à laquelle se réduiraient les trois' racines égales de Téquation (a6) , on trouverait

Enfin , il est clair qu'en vertu de cette valeur et des conditions (64) » les équations (98) et (54) deviendraient identiques. Donc les valeurs de p » 9 » propres à vérifier les équations (28), deviendraient complètement indéterminées; et les trois directions principales » correspondantes aux trois racines égales de Téquation (a6) , seraient celles de trois droites menées arbitrairement par l'origine, ou par un point quelconque de l'espace. On pourrait d'ailleurs chobir encore ees directions de manière qu'elles fussent perpendiculaires entre elles. Ajoutojis que, dans le cas oii les conditions (64) sont remplies» les trois racines de l'équation (a6) sont toujours égales , puisque cette équation se réduit alors à la forme

Les deux cas que nous venons d'examiner » c'est- à- dire » ceux qui se rapportent à Tégalité de deux ou trois racines de l'équation (a6) , sont évidemment les seuls qui fournissent » pour les quantités p et 9 » des valeurs indéterminées. En effet , pour que cette circonstance arrive , il est nécessaire que les trois équations (s8) , qui s'accordent toujours entre elles en vertu de la formule (a6) » se réduisent à une seule et même équation , ou deviennent toutes identiques. Or les trois équations (a8) ne peuvent se réduire à une seule, à moins que les six quantités

(67) A^\, i?-«, C — «, Z), E, F ùe vérifient la condition

(68) AsiFiEiiFiB'-ilDiiEiDiC — ê,

et par conséquent les deux formules

qui peuvent être remplacées par les équations (56) , et qui enlralneni la formule (60)

ayec Tégalité Ad deux des roeinés #. » «. > «s* Dé plus les trois équations- (2&) ne peuvent devenir identiques que dans le cas ob les quantités (67) s'évanouissent, et par conséquent dans le cas où les conditions (64)» étant vériCéeSt entraînent Tégalité des trois racines dont il s'agit.

Il résulte dés considérations précédentes que par l'origine, ou par un point quelconque de l'espace, on peut toujours mener trois droites perpendiculaires entre elles , et dont les directions soient principales relativement à la surface (i). On voit en outre que ces trois droites seront complètement déterminées , ou l'une déterminée et les deux autres indéterminées, mais comprises dans un plan donné» ou toutes les trois indéterminées, suivant que l'équation (s6) offrira trois racines inégaies » ou une racine simple et deux racines égales, ou enfin trois racines égales.

Supposons maintenant que Ton coupe la surface (i) par une droite dont la direction coïncide avec Tune des directions principales , et soient (»)),( les coordonnées d'un point situé sur la même droite. Les coordonnées variables x, y, z de cette droite vérifieront la IJMrmule (t) , pourvu que l'on attribue aux angles a » ?» 7 les valeurs correspondantes h la direction principale dont il s'agit. Soit d'ailleurs r la distance coiàprise entre les points ((««i,?) et (»,/,«). Gomme les coordonnées x, j, z du point où la droite rencontrera la surface satisferont en même temps à l'équation (1) et aux formules (5) ou (6) ; la valeur de r, correspondante à ce point» ^era fixée par Fune des équations (8) , (10) , les valeurs de s , s , u étant déterminées , à l'ordinaire, par les formules (7), dont la seconde, combinée avec la formule (a4) » donnera

(69) / = ^((cosa-f-iieosp+C<^7} + C<^>> + ^<^'P + ^co97.

Donc, puisque les racines de l'équation (10) sont égales , abstraction faite des signes, aux racines de l'équation (8) , chacune de ces équations fournira toujours , dans l'hypothèse admise» une valeur réelle de la variable r . On est en droit d'en conclure que les deux équations réunies ofiriront quatre racines réelles, savoir deux racines positives» et deux racines négatives , à moins que les valeurs attribuées aux angles a » ? , 7 ne vérifient la condition

c'est-à-dire^ la formule (g). Donc, si l'on excepte le cas particulier où celte condition serait satisfaite , la droite que l'on considère » prolongée dans un seul sens , ou d'abord dans un sens et ensuite en sens contraire, rencontrera la surface (1) en deux points déterminés de position sur cette droite. On doit toutefois observer que ces deux points cesseraient d'être distincts , si les deux racines positifes appartenaient à une seule des

équatioM (8) , (lo) » et devenaient égales entre elles. Or» c'est ce qui arriferait effectivement » si la droite et la surface devenaient tangentes l'une à l'autre.

Lorsque les angles a, p , y^ correspondants à une direction principale, ne vérifient pas la condition (9) ou (70) , et que Ton fait coïncider le point (S,ii,C) avec le milieu d'une corde ou sécante parallèle à cette direction, les équations (8) et (10) sont nécessairement vérifiées par une même valeur positive de r qui représente la moitié de la corde dont il s'agit. Par suite cette valeur de r satisfait encore k la formule (1 1) » et les coordonnées ( » n » C du milieu de la corde vérifient l'équation (1 s), qui, en verlu de la formule (6p) , peut être réduite à

(7O «(ÇcoSflt4- ucosp-l-Çcosv) -l-Gcosa + Jîcosp + /cosy = o .

Si la sécante se changeait en une tangente à la surface (1), les deux extrémités de là corde et son milieu coïncideraient avec le point de contact; tandis que la distance r • réduite à zéro , représenterait la valeur commune des racines devenues égales de l'équation (8) ou de l'équation (10). Donc alors les coordonnées (S, 1» t) du point de contact vérifieraient j non^seulement la formule (71)» mais encore la formule (11) réduite à

(72) a = iJ:.

Remarquons d'ailleurs que l'équation (72) » qu'on peut écrire comme il suit

(73) ^5* + Bu* + CÇ» + îiJ!)i>Ç + îi£« + ftFÇ>i4-aCÇ4.aH„4.a/Ç = K,

exprime simplement que le point ({, n, C) est situé sur la surface ( 1 ). Quant à Téquation (71), elle est évidemment celle d'un plan perpendiculaire à la direction principale que Ton considère; et» d'après ce qu'on vient de dire, ce plan devra renfermer les milieux ou les points de contact des cordes et des tangentes parallèles è cette direction. Donc ce plan divisera la surface en deux parties symétriques, et sera toujours ce qu'on nomme un plan principal.

Lorsque les angles a , ^ , 7 , correspondants à une direction principale, satisfont k la formule (g) ou (70] , la valeur nulle de s est une racine de l'équation (a6) , et par conséquent les coefficients A , B , C , D ^ E » F vérifient la condition