ABC -^ AD^ — BE^ — CF^ + 2DEF

En même temps , la valeur de t , donnée par la formule (6g) , se réduit h. (^5) t = Gcosa i+- ifoos^ -|- icos'/ ,

( i5 ) ei les éqaaliont (8) ,. (lo) devienneni reëpecUrement

(76) a«r + tt = iC,

(77) — 2«r-4*a=sif,

Alors , si la valeur de f ne s'éyanouit pas » une droite menée par un point quelconque ((»»»()» parallèlement à la direction principale que Ton considère, coupera la surface (1) à une distance r du point (S, n^ C) , représentée par la racine positive de l'équation (76) ou de l'équation (77). Mais il n'y aura qu'un seul point commun à la droite et à la surface; et, comme on ne pourra plus choisir { » n » C de manière à vérifier TéquaUon (71) , dont le preiûier membre sera précisément égal à 1 , on verra disparaître le plan principal que représentait cette même équation. Au contraire , si t s*évanouit» c'est-à-dire» si les valeurs de a, p, y vérifient la condition

(78) G ewot'^ H oo$p '^ I co$y = o ,

les équations (76) et (77) se réduiront k la formule (79) on (78); et, comme cette formule se trouvera satisfaite » quel que soit r, ou ne pourra l'être, suivant que le point ((»»»() sera ou ne sera pas compris dans la surface (i) , il est clair que chaque droite, menée parallèlement à la direction principale , sera skuée toute entière sur cette surface , on n'aura aucun point de commun avec elle. Donc alors l'équation (1) représentera une surface cylindrique, dont les génératrices, prolongées dans un certain sens , formeront avec les demi-axes des coordonnées positives les angles a , p , y. Or, dans ce cas , tout plan perpendiculaire à la ^direction principale divisera évidemment la surface cylindrique en denx parties symétriques , et pourra en conséquence être considéré comme un plan principal. Il est d'ailleurs aisé de voir que les coordonnées d'un semblable plan satisferont à la formule (71)» attendu que cette formule deviendra identique, et sera vérifiée indépendamment des valeurs attribuées aux variables i, ^ , K.

Faisons maintenant , pour abréger ,

(79) tti=6C08a-)-J7C08^-4'^<^<^7*

s et a«> désigneront ce que deviennent les deux polynômes du premier et du second degré, dont la somme forme le premier membre de l'équation (i) , savoir,

(80) ^«•4-Bjr* + Cs«4.aJDyz + aE«« + aFa?j' et 2iGx + Hj + Iz), quand on y remplace x, y. z par cosa , eosp » cosy* Cela posé, il résulte des

( '6. ) observalloDs précédeales que toute droite» qui offrira uoa direction principale relativement à la surface {i), sera perpendiculaire à un plan principal « si la valeur correspondante de la quantité s vérifié la condition

et à une infinité de plans principaux , à les valeurs correspondantes de a et *> vérifient les deux formules

Le cas où Ton aurait à la fois "^

est le seul dans lequel le plan principal disparaisse. D'ailleurs nous avons prouvé ci-dessus qu'il existe, par rapport à la surface (i) , trois directions principales et pérpendicu* laires entre elles , lorsque l'équation (a6) n'a pas de racines égales , et dans le cas contraire une infinité de systèmes de directions principales qui, étant prises trois à trois , sont encore perpendiculaires l'une à l'autre. Donc » à moins que l'équation (a6) n'offre uoe racine nulle ou def racinea nulles, correspondantes à one valeur positive ou négative ' de w ^ et par conséquent propres à vérifier les conditions (83) » il existera » pour la

/ surface du second degré , trois plans principaux et perpendiculaires entre eux » ou une

infinité de systèmes de plans principaux » qui, étant pris trois à trois, se couperont & ' ^ angles droits. Les systèmes de plans rectangulaires, dont il est ici question , se réduiront

eiTectivement à un seul, si l'équation (aC) n'a pas de racines égales ni de racines nulles> Alors les trois plana principaux se couperont suivant irois droites perpendiculaires entre elles , et que l'on nomme axa principaux. Mais si l'équation (afi) admet ou dea racines égales qui différent de léro , ou quelque racine nulle correspondante à une valwr nulle de u , le nombre des systèmes de pians principaux et perpendiculaires entre

» eux étant alors infini, les droites, suivant lesquelles ils se couperont mutuellement, of-

K friront une infinité de systèmes d'axes principaux..

Une remarque importante à faire, c'est que tout point, suivant lequel se coupent trois

plans principaiix rectangulaires entre eux, et par conséquent trois axes principaux, est

tou)ours un centre de la surface (i). En effet, trois plans de cette espèce étant donnés ,

rF- construi.*«ons un parallélipipède rectangle qui ait pour centre leur point d'intersection,

'" ' pour sommets huit points dont l'un au moins soit situé sur la surface (i) , et pour arêtes

des droites perpendiculaires aux plans dont il s'agit. Comme les huit sommets, considérés deux h deux, seront placés symétriquement par rapport à l'un de ces mêmes plans, ils appartiendront tous è la surface (i); et les deux sommets opposés, qui formeront Içs

( >7) f xtrémités d'une diagonale » coïncideront aur la inrface arec les deux extrémiléa d*une corde dont le milieu sera précisément le centre du paraliélipipède. Donc » puisque Tun de ces pointa pourra être uû point quelconque de la surface (i), celle-ci aura pour centre le point d'intersection des trois plans principaux.

Réciproquement on peut affirmer que tout point qui sert de centre à la surface (i) est en même temps le point d'intersection d'un système ou d'une infinité de systèmes d'axes principaux de la surface. C'est ce que l'on démontrera sans peine à l'aide des considérations suivantes.

Les plans diamétraux représentés par les équations (19)» (so), et (ai) se cotperont en un point unique» si les plans parallèles menés par l'origine, et représentés par les formules

(84) Ax^Fy-^'Et — Oj (85) Fa?4-B;<4-Z?« = 0, (86) faî+Dj+Ci^so,

n'ont d'autres points communs que cetUs origine même; ou , en d'autres termes» si l'on ne peut satisfaire aux formules (84)» (85)» (86) que par des valeurs nulles des coordonnées X 9 y, z. ^Alors la surface (1) aura un centre unique » et aucune des racines de l'équation (96) ne s'évanouira. Car, si une ou plusieurs de ces racines se réduisaient à zéro, on pourrait trouver un système de valeurs ou une infinité de systèmes de valeurs ^ « » P 9 7 » propres à vérifier la formule (24) » et par conséquent les trois équations

jlcosa-l-Fcosp.+ £cos7=ro, Fco8a4-Bco5p4-J'^<5087=o,

£cosa + ^cosp + Ccos7 = o ;

puis » en déterminant x , y , z par la formule

cosoc cosp COS7

c'est-à-dire » en prenant pour x, y , z des quantités proportionnelles à cosâ » cosp » COS7 » on obtiendrait une infinité de systèmes de valeurs de x , jr, z , propres à vérifier les équations (84) • (85) » (86). D'ailleurs» quand ^équation (26) n'offre pas de racines nulles, il existe un système ou une infinité de systèmes de plans principaux et rectangulaires » dont chacun passe nécessairement par le centre unique de la surface. Donc par suite il existe» dans l'hypothèse admise» un système ou une infinité de sys^ tèmes d'axes principaux qui ont pour point d'intersection le centre dont il s'agit.

Si les plans (19) » (20) et (21) se coupent suivant une même droite» tous les points de cette droite seront autant de centres de la surface (1). De plus» la droite parallèle

IIL* ANIIÉE. 3

( »8) menée par TorigiDe sera représentée par les équations (84) » (85), (86); et les angles tf-» ^ j 7» formés par cette droite a?ec les demi- axes des coordonnées positives, vérifieront les équations (aS). Donc ces angles et une valeur nulle de la variable # vérifieront la formule (s4)* Par conséquent Tune au moins des racines de Téquation (26) deviendra égale à zéro. D'autre part, comme les équations (19)» (so), (si) devront subsister simultanément^ et que de ces équations» respectivement multipliées par COSa, COSp, COS7» on déduit, par voie d'addition» la formule (78); il est clair que» dans Thypothèse admise» les angles «1 p» 7 devront satisfaire encore à cette formule» c'est-à-dire» à la condition &> = o. D'ailleurs » quand une racine de Téquation (26) s'évanouit av«c la valeur correspondante de u» la surface (1) devient une surface cylindrique» et il existe une infinité de systèmes de plans principaux perpendiculaires entre eux» dont l'un coupe toujours à angles droits les génératrices de la surface; d'où il suit que les deux autres plans ont pour commune intersection une droite parallèle à ces mêmes génératrices. Enfin il est évident i.** que la droite dont il s'agit devra coïncider avec celle qui sera le lieu des centres de la surface cylindrique» a.* que le plan principal» perpendiculaire aux génératrices et par conséquent à cette droite» pourra la couper en un point quelconque. Donc » dans le cas que l'on considère »' chacun des centres de la surface sera encore le point d'intersection d'un système ou d'une infinité de systèmes de plans principaux rectangulaires » et par suite d'un système ou d'une infinité de systèmes d'axes principaux.

Si les plans (19) » (so)» (ai) se réduisaient à un seul» tous les points de celui-ci pourraient encore être considérés comme des centres de la surface (1). Dans la même hypothèse, les équations (87) » réduites à une seule, seraient vérifiées par tous les systèmes de valeurs de «, ^, 7 qui exprimeraient des augles compris entre les demi -axes des coordonnées positives » et Tune quelconque des droites parallèles au plan dont il s^agit. Donc alors la surface (1) pourrait être engendrée d'une infinité de manières» par des droites parallèles à ce plan; et par conséquent l'équation (1) ne pourrait représenter qu'un plan ou un système de plans parallèles. On arriverait aux mêmes conclusions en observant que» dans l'hypothèse admise, on aura nécessairement

ou , ce qui revient au même ,

et par suite