III.* AMYj

( «Ga )

à P , dans la première des formules (70) , et en cooséquence la formule (71) devra ê(re remplacée par la suivaDte :

Il est essentiel de remarquer qu'en vertu des formules (5g) et (6») la première des expressions (5o) et Texpression (as) deviennent respectivement

(-8, ,(,„.iL Ç)„.

(79) -if"--SF*''-

Donc les produits (78) et (79) représentent , dans une lame élastique dont la largeur est / , i."" la projection algébrique sur Taxe des x de la pression ou tension supportée par un plan perpendiculaire à cet axe , 2.'' le moment de cette pression ou tension par rapport à une droite qui , étant perpendiculaire au plan des x , y , renfermerait le point de la ligne moyenne correspondant à l'abscisse x. D'ailleurs, si l!on nomme V le rayon de courbure de cette ligne , on aura

. /^.oN-W

et Ton en conclura, en négligeant les infiniment petits du second ordre,

V dx

Donc l'expression (79) pourra être réduite à

^ hH

Par conséquent le moment ci-dessus mentionné sera en raison directe de la largeur de la lame élastique, du cube de son épaisseur, et de la courbure — de la ligne moyenne. Ainsi se trouve «vérifiée Thypolbèsc admise par Jacques Bernoulli dans la solution que.

ce géomètre a donnée du problème de la lame élastique. Mais on doit ajouter qu'il ne tenait aucun compte de la seconde des expressions (5o) , c'est-à-dire de la tension dirigée dans un sens perpendiculaire à la longueur do la lame élastique. Or cette tension , qui, À la vérité» est fort petite par rapport à celle qui se trouTe dirigée suivant la longueur de la lame [voyez la page sâG], reste néanmoins comparable au moment dont nous avons parlé; et celte circonstance j qui a une influence marquée sur les valeurs des coefficients que renferment les équations déduites de la théorie de Jacques Bernoulli, obUge » dans plusieurs cas , à modifier la forme même de ces équations.

Concevons à présent que la lame élastique vienne à se mouvoir. Alors , dans les équations (60) et (61), on devra remplacer les quantités (44) P^r les différences (45). Par suite les valeurs générales de $0 et de »o devront satisfaire aux équations

^*'^ " -rf^+Â^-rfl^ + T -dF- + 77dF-l^^'' + T^' + -7r'

donl la dernière , combinée avec les formules (58) , donnera

/fi/s -.*• àir,, . '^r'^TV-'7ÔJ~d^\ KJ *Vv l-o ''''■ \

Si Ton (ait d'ailleurs , pour abréger ,

(85) ii'-^ = e>

et, si dans les produits

on néglige les termes de Tordre de A» , on tirera de la formule (84)

et de la formule (86)

Les équations (8s) , (87) et (88) permettent de déterminer h une époque quelci pendant le mouTement do la lame élastique, les valeurs des inconnues So > ^lo < seconde représente l'ordonnée de la ligne moyenne. Ajoutons que cette ordonnée très-peu différente de la fonction y , en vertu de la formule (88) , pourra être tuée à y sans erreur sensible; en sorte qu'on aura encore à très peu près

Outre les équations (82) et (89), qui subsistent, pendant le mouvement de li élastique, pour tous les points de la ligne moyenne , il en est d'autres qui sont rc aux extrémités de cette ligne. Supposons que ces extrémités correspondent toujou abscisses os = o , a? = a , et que la lame soit terminée , dans le sens de sa ionj par deux plans perpendiculaires à la ligne moyenne. Alors, si cette lame a ses de trémités libres , les inconnues $0 > >:o devront vérifier, pour x = o et pour as la condition (71) et la première des conditions (7a). Quant à la seconde des coa (69) , elle devra être remplacée par la suivante :

dx^ . • dr

de laquelle on tirera , en la combinant avec les formules (58) , (89) , et néglige termes qui auront pour facteur /t* ou ©*,

^^ ^ dx^ * dx

Si, au contraire, une des extrémités de la lame élastique , par exemple, l'extrém coïncide avec l'origine, devient fixe, les inconnues Ço » ^o vérifieront, pour* a les conditions (67), (G8) et (69). Enfin, si les deux extrémités deviennent fix( mêmes conditions devront être remplies non -seulement pour x = o, mais pour x = a. Ajoutons que , dans le cas où , les exti^émités étant libres , les pla terminent la lame cessent d'être perpendiculaires h la ligne moyenne, on doit à I dition (91) substituer celle que l'on déduit de la formule (7a) ou (76) quand on 3 place X^ par

- ( .65 ) et y\ par la difierencc

On a donc alors , pour x = o ,

et, pour x = a.

Les diverses conditions que nous venons d'indiquer fournissent le moyen de déterminer les fonctions arbilrdires que renrcrmcnt les valeurs générales des inconnues ço • Ho déduites des équations (82) et (89). Ces inconnues étant ainsi calculées, aux quantités près do Tordre de /i», les valeurs de A^ , A^ , l , n et A se déduiront, avec le même degré d'approximation, des formules (Sg) , (64) , (05). Quant aux valeurs approchées do i<* et de ^ « elles seront données , non plus par les équations (G6) . mais par celles qu'on en tire, en substituant aux quantités X^ , Y^ ^ les expres^sioms (99) , (g3). Par conséquent on trouvera , en négligeant seulement les quantités de Tordre de /t^

Lorsque la force f est constante et constamment parallèle à elle-même, ses projectiof)s algébriques X , Y se réduisent à des quantités constantes, et Ton a

Par suite, les équations (Go) , (61) qui sont relatives à Tétat d'équilibre de la lame élastique , deviennent

et les équations (82) , (89) , qui sont relatives à Tétat de mouvement , donnent

^ ^ dx^ ^ dt^ ^

Alors aussi les conditions (79) , (75) , (76) , (91) se réduisent à

ot les conditions (g4) • (g5) aux deux suivantes :

, V ^, d^r,a 1 é/'Ço cosô'

(102) tt* r- = ^-— .

^ ' rfa?' 0 dxdt* cosa'

(100) il* r-= : — : hr •

^ ' rfa;3 0 dxdt^ cosoi"

Quant aux valeurs do li , r, ^ A , elles seront toujours déterminées par les formules (64) , (65). Mais les valeurs de F , E , déterminées par les formules (96)» deviendront

(.04) /• = |pn-il^(A'-r.). /? = -/'4--^P"--^(/^--r»).

Dans le cas particulier où ia force accélératrice ? s'éranouil , les équations (99) et (100) deviennent

('«S) " -dP — IF-'

Au reste , pour établir en même temps l'équation (106) et les formules (101), il suffirait do recourir au principe adopté par Jacques Bcrnoulli , et ci-dessus rappelé, ainsi que nous Tavons fait dans notre premier Mémoire sur l'application du calcul des résidus aux questions de physique mathématique [pages 45 et 46].

Si l'on considère un corps élastique comme un système de molécules qui agissent l'une sur l'autre à de très-petites di>tanccs, alors , en supposant que l'élasticité reste la même

(967 ) dans tous les sens, et que les pressions snpporlées par la surface libre du corps dans Pélat naturel se réduisent ë aéro, on obtiendra, enlre les constantes désignées par k cl par K dans la formule (55) , la relation

On aura donc par suite

et, en faisant pour abréger

CD tirera de la formule (62)

(no) a = »±in..

Dans la même hypothèse, la formule (71) deviendra

(un . rfgo a P

dx 3 p

tandis que les formules (102)^ (^o^) donneront

, . , d^rio 1 é/^Ço COSS' 11121 II' = '^

(ii3) n»

dx^ 3 //a?^P ces a'

É^a?3 5 dxdt* CCS a"

Il resterait à intégrer les diverses formules^ auxquelles nous sommes parvenus. Or cette intégration ne présente aucune difficulté, lorsqu'on a recours aux méthodes exposées dans le Mémoire sur l'application du calcul des résidus aux questions de physique mathématique. G*est, au reste, ce que nous montrerons plus en détail dans un autre article, nous bornant pour le moment aux observations suivantes.

Si la lame élastique, étant terminée par deux plans perpendiculaires à la ligne moyenne » a ses deux extrémités fixes et une vitesse initiale nulle en chaque point, la valeur de o> déterminée à l'aide des formules (io5) et (67) |sera semblable à l'ordonnée d'une corde un peu écartée de la position d'équilibre , c'est-à-dire à la valeur de z déduite des formules (94) et (95) du Mémoire déjà cité. Donc, en remplaçant, dans la formule (101) de ce Mémoire, z par So » et h par a, on trouvera

(ii4) Ço= — Scos — j — 8IO \ h\tï—^f\^d^.

le signe S s'élendant à toutes les valeurs entières positives ou négatives de n , la fonction /^(cc) désignant la valeur initiale de Ço« Dans le même cas, la vak de Y}o > déterminée à Taide des formules (106) , (68) et (69) » sera ce que devient valeur de z donnée par la formule (*i4^) du Mémoire » quand on remplace la 001 tante k par 0. On aura donc

(ii5) »>o =

[x ^ fi-tf— '"^cos(ir)rtf'"'-cosra:-sinrj?)-^'"'sinflrftf""'''-cosrj?+sînrir) n* ** . .

-i.Scoser'|.i f^^ r ^7 V^ i- / c^'''*'f(a)d

a (<!«''-d-«'^)cosflr-(«'"+#— '^jsiniïr Jo ^'^^

^ désignant une variable nouvelle , ^(x) la valeur initiale de u» , et le signe s'élendant à toutes les racines réelles positives de l'équation

(iiG) (*"'' + «•~"'")cosflr = 2.

Si la lame élastique ayant ses deux extrémités libres , la pression P 8*évanouil » valeur de Ç» ^ déterminée à l'aide de l'équation (io5) et de la formule (71) ou plu de la suivante

sera ce que devient la valeur de z donnée par l'équation (3oo) du Mémoire quand réduit les coordonnées x , jr , z h une seule, et que l'on remplace h par a. < aura donc alors

(110) Ço= — Scos cos / cos ^ f{l^)diL,

le signe S s'étendant à toutes les valeurs entières positives ou négatives de n . En si i*une des extrémités de la lame élastique est fixe et l'autre libre , la valeur de 1 déterminée à l'aide de l'équation (106) , des conditions (68), (6g) qui devront être re plies pour x = o , et des conditions (101) qui devront être remplies pour x = sera ce que devient la valeur de te donnée par la formule (249) du Mémoire, qua on substitue h la constante k la constante e. On aura donc

(»>9) »ïo =

4 c »- (i+«^^''cosflr)(d'^'-cosra?-8inr.r)-H?-'""sin<ïr(f-'''-cosrjH-sin«p) P' ^^^, .

Scoser»<-i -^ ^ i 11 L I er^^i^flAi

a (c'"'-c-«')cosflr-(u'" + «--'-)snflr J»

( «77 ) celles qui appartiennent à tous les points d\ine plaque ou (Tune membrane qui est restée plane n'avaient pas encore été données ; les autres coïncident avec les équations trouvées par différents moyens. Il paratt d'ailleurs par ce passage que M, Poisson s'est occupé seulement des lames et des plaques élastiques d'une épaisseur constante qui , étant naturellement planes , ne cessent de l'être qu'autant qu'elles sont pliécs et courbées par l'action d'une cause extérieure. Lorsqu'une lame ou plaque est dénuée d'élasticité, ou naturellement courbe, ou d'une épaisseur variable, on parvient h des équations d'équilibre ou de mouvement qui sont très -distinctes des équations déjà connues, et ne sont pas indiquées dans le passage cité. C'est ce que montrent les calculs ci-dessus. eflectués, et ceux que nous développerons ci-après ou dans de nouveaux articles.

§ 5. Equations d^équilibre ou de mouvement d'une lame naturellement droite,, mais

d'une épaisseur variable.

Dans le paragraphe précédent, nous avons regardé comme constante l'épaisseur 2/1 de la lame solide. Supposons maintenant que cette épaisseur soit variable; mais admettons, pour plus de simplicité, qu'étant toujours très-petite^ elle se trouve primitivement divisée en deux parties égales par l'axe des x, h deviendra une fonction de x , et la section faite dans la lame solide par le plan des x , y sera renfermée dans l'état naturel entre deux courbes représentées par les équations (17). D'ailleurs, si l'on suppose j fonction de x , les angles ol , p , formés par la normale à la courbe doot X et y sont les coordonnées avec les demi-axes des x et y positives , se trouveront déterminés par l'équation

COSacte-4- C0Sprfj^=0 ,, ou COSa-f- COSp j^ =0.

Donc, si cette courbe se confond avec l'une de celles que représentent les équations (17)» on aura

(l55) COSa + COSp — = 0, ou COSa — COS^ — = O .

De plus , si l'on continue de regarder comme infiniment petits les déplacements des molécules, et si l'on détermine toujours la variable r par l'équation (5) , les formules (i33) subsisteront encore sans erreur sensible, après les déplacements dont il s'agit, la première pour r== — h, la seconde pour r = h. Par conséquent on tirera des formules (4) i.'^pour r = — h