pour r = h
(.55) a'^-F = -P^. f'JL^b = P.
dx dx dx
Enfin, si l'on développe les quantités A , F^ B , X , Y, \ , n suivant les puissances ascendantes de r , à l'aide des équations (19), (20), (21), (22), on trouvera, au lieu des formules (27) ,
a ' dx 0 Y i I h dx h dx
liî.+i?,— +..+(F.+..)/i^ = -P, i?.+i?3-^+..+ (^'.+/'\ — -K.)*- ~ = o;
pais on en conclura , en négligeant dans une première approximation les termes du
môme ordre que la fonction h et sa dérivée --- ,
n ax
Cela posé Ja première des formules (3«^) et la première des formules (34) devront être r«mplacées par les suivantes :
(.58) ^(^.+P).l.^+,jr.=,.
Quanta la seconde des équations (33), elle continuera d'être fournie, ainsi que la seconde des équations (34) » par la première approximation. Mais elle acquerra de nouveaux termes, et offrira le moyen de déterminer la valeur de A^ , si l'on a recours à i/ne approximation nouvelle. Concevons en effet, que, dans les formules (i36) , on conserve les termes proportionnels au carré de h. On tirera de ces formules
a ux a ax
' h dx Q a ax
^ ' — "" ir ^3 — ^o X z: — — ^ » '^ :7r — -Â" ^ î + ^ ' -TTTT '
puis on conclura de celles-ci combinées avec la première et la seconde des équations (sS)» la seconde et la troisième des équations (24) » et Téquation (i38)
Par suite la première des équations (a4) donnera
ou , ce qui reyient au même ,
De plus y comme la Tariable r , comprise dans les équations (19) , (ao) , etc.. , est une quantité du même ordre que h , on conclura de ces équations , combinées avec les formules (i4o) » i."^ en négligeant, dans le développement de A , , les puissances de k supérieures à la première ,
(4o) A = A,JfA,ri,
9.** en négligeant » dans les développements de jP et de J9 » les puissances de h supérieures à la seconde »
EnfÏD , 8i l'on substitue dans les équations (i44) '^^ valeurs de Fo el Bo tirées des formules (i40' ^^ trouvera
Les équations (i4^) » (i4^) ^^nl relatives h une laine solide en équilibre. Si de Tétat d'équilibre on passe \x l'étal de mouvemeot , il faudra dans ces équations remplacer les quantités (44) P^r l^s quantités (45). On trouvera donc alors, en négligeant les termes proportionnels au carré de A ,
et, en négligeant les termes proportionnels au cube de It ,
2( dt* \ drjlidx p /jrfiT»)'^ ' ^ ' dx-"
Quant h la valeur approchée de A , elle continuera d'être déterminée par Téquation (4o) , Terreur étant du même ordre que /i'.
Supposons niainlenant que la lame proposée devienne élastique, et que son élasticité soit la même dans tous les sens. Alors, en adoptant les mêmes nolatioos que dans le second pansgraphe, et combinant les formules (07) avec les équations (iSj) , on relrou-
( aSi ) vera les valeurs de i, , >i, , », données par les formules (58), et les valeurs de Ao , At données par les formules (69) , ou , ce qui revient au même , par les suivantes :
dx
y^x= — on'
11 désignant toujours une constante positive propre à vérifier l'équation (62). Mais la <fuanlité €, acquerra une valeur nouvelle, savoir :
1 d'io
a A^r^P 1 dh
0 dx* 0-1 K h dx *
ou , ce qui revient au même ,
1 d^lo
0 dx^
I dh
II dx
€ela posé» s*il y a équilibre, les équations (i38) et (i43) donneront
rf*5o I dh dlo
dx^ h dx dx
a-i P 1 dh
ô û h dx
et
^ ' X'ô dx^ dx^ dx^ I ^ 6 \ ^ dx j^ dx ^
Si, au contraire, la lame élaslique se meut, on tirera des équations (iSg) et (i46], combinées avec les formules (58) et (i4S) »
(,53) u.(illk__Lf^i!Ll+x.±:i--^^-i:ii
^ ' \^/«> h dx dx 1^ "" 0 p/i </a; ^P '
\ \:5 dx^ dx- dx-j^ dt-
dh^ d^no /i>
dx dxdt^
3 \ 20^/ dx^dt'
D'ailleurs, en faisant , pour abréger.
dx dx
et négligeant les termes de l'ordre do h*, on conclura de l'équation (i54)
Donc» puisqu'en vertu de la formule (i55) Tordonnée «lo de la ligne moyenne sera très-peu différente de la fonction y , on aura encore à très-peu près
^ '^ U dx^ dx^ dx^)^ dt* ""^ 6 \ *^ dx )^ dx
Ajoutons que les valeurs approchées des déplacements l , ti et de la pression A continueront d'être déterminées , comme dans le second paragraphe , par les équations (64) et (65). Quant aux valeurs approchées des pressions F et B , elles se déduiront des formules (i45) t (i47) combinées avec les formules (58) » (i4S) » et seront, dans le cas d'équilibre ,
^ \ dx^ B p I dx*
Observons de plus que, pour tirer des formules (i58) les valeurs approchées des pressions F , B dans le cas du mouvement , il suffira de substituer aux quantités X^ , X^ , Yt leè différences
^•""7F"' ^""""rfF"" •"*""3^3F' ^"~7F""" ""^G dxdn '
et que la seconde de ces différences, en vertu de Téquation (157), sera sensiblement équivalente à l'expression (99). On aura donc, dans le cas du mouvement.
2 ^\ dûf dx^J^ * ^ dx dx^ ^\ dx* B ^ j h dx
] ^ ^ 1 (^ i ^'Ço \ /v ^'5o\ I dh ( rfÇo 0-1 P\ 1 </Vi )
Les équations (lâi) et (iSs) ou (io3) el (iSj) sont les seules qut subsistent dans le cas d'équilibre ou de mouvement, pour tous les points rie la ligne moyenne, entre les inconnues Ço p ^o et les variables indépendantes x , t. Mais, pour déterminer complètement ces inconnues» et fixer les valeurs des constantes arbitraires ou des fondions arbitraires introduites par les intégrations , il sera nécessaire de joindre aux équations dont il s'agit les conditions relatives aux deux extrémités de la lame élastique. Si, cette lame étant terminée par deux plans perpendiculaires à la ligne moyenne, et correspondants aux abscisses x= o , x = a , les deux extrémités sont fixes , alors , pour chacune de ces abscisses, les inconnues $« » «lo devront salifaire aux conditions (67) , (68) , (6g). Mais » si la seconde extrémité devient libre , alors pour a; = a , les formules (70) devront être vérifiées, quel que soit r, et entraîneront i.^'la condition (71), a."" les conditions (72J dont la dernière devra être remplacée , quand il y aura mouvement, par la condition (gi). Si les deux extrémités étaient libres, les conditions (71) et (7s) ou (gi) devraient être vérifiées pour x = o ^ ainsi que pour x = a : mais elles ne sufiiraient plus dans le cas d'équilibre pour déterminer toutes les constantes arbitraires; ce qu'il était facile de prévoir. Enfin , si, les deux extrémités étant libres , la lame élastique se trouvait terminée par deux plans perpendiculaires non plus à la ligne moyenne, mais à deux droites comprises dans le plan des x , jr , et qui , prolongées en dehors de la lame, formeraient avec les demi-axes des a; et j positives, la première les angles a , p\ la seconde les angles «', p" , alors, en raisonnant comme dans le paragraphe précédent, on établirait encore pour chaque extrémité la condition (71) et la première des conditions (79). Mais la seconde des conditions (7a) devrait être remplacée, dans le cas d'équilibre» par l'une des formules
cosa'
dx^ \ h dxj COSa'
et dans le cas de mouvement, par l'une des suivantes]
^ ' rf*' ■ ^ rfa; ^ ( ' ^ 6 dxdt' ^\ ° dt'j h dx\ oosa' '
Si, les plans qui lerminenl la lame élastique étant perpendiculaires à la ligne moyenne, l'un de ces plans supportait une pression $ différente de P, alors, pour chacun des points situés dans le plan dont il s'agit, l'inconnue Ço devrait satisfaire, non plus è la condition (71) , mais à la condition (77).
Dans le cas particulier oh la force accélératrice ? et la pression P s'évanouissent, on tire des équations (i55) , (157)
(,65) a-AfA41î^4:i^+j^=o,
Dans le même cas, les conditions (7s) , (160) et (161) coïncident avec les conditions (101), tandis que les formales (162) , (^63) se réduisent à
' dx^ \0 dxdt* h dx dt* ) cosa' *
^ '^ dx^ ~\9 dxdt* h dx df ) cosa' *
Lorsqu'on suppose
6 et c désignant deux quantités constantes , les deux courbes représentées par lee équations (17) se réduisent à deux droites , et par suite les surfaces cylindriques qui tonnioent la plaque donnée dans l'état naturel se réduisent à deux plans. Dans celte bypothète^ les équations (i64), (i65) deviennent respectivement
(170) -^(i+ca:)«.^-^ + -^ = o.
Nous renverrons l'intégration de ces dernières à un autre article.
( «69 ) le signe S s'ékendant à toutes les racines de i'équation
fiio) (d«''4- «"*'■) costfr+ a = o.
Lorsque la longueur a de la lame élastique devient infinie, les équations (ii4) > (118) se réduisent Tune et Tautro à
]?ar suite , si la valeur initiale f{x) de l'inconnue Ç» «st supposée sensiblement nulle dans tous les points distincts de l'origine des coordonnées , la valeur de la même inconnue au bout du temps t sera encore nulle à très-peu près pour tous les points dont les obscisses ne vérifieront pas une des deux formules
d? = — cit ^ x-=ixt,
Il est aisé d'en conclure que le son se propagera dans la lame élastique proposée avec la vitesse •
D'ailleurs « si l'on déduit des formules (70) de la page 335 la vitesse du son dans un <:orps solide élastique qui ne soit sollicité par aucune force motrice , on trouvera cette dernière vitesse égale à ^Tâ ' Donc les deux vitesses dont il s'agit sont entre elles dans le rapport de ^% à \^^ f ou, ce qui revient au même, dans le rapport de
s^/r ^ 3. D'autre part, si l'on nomme T le temps d'une vibration longitudinale de la lame élastique , T sera évidemment la plus petite des valeurs positives de t
pour lesquelles l'inconnue Ço » déterminée par la formule (1 14) ou (1 18) , reprend sa
valeur initiale, c'est-h-dire , la plus petite de celles qui vérifient, quel que soit n , ^la
condition
cos = 1 .
En d'autres termes, 7' sera la plus petite racine positive de l'équation
cos = 1 ;
el l'on aura en conséquence
IIK ANNÉE. 35
Donc , si l'on désigne pnr. iV le rapport — ou le nombre des vibrations longitudinales exécutées pendant Tunité de temps par la lame élastique » on trouvera
(ia3) ;V= — .
(iC résultat était déjà connu.
Quant à la durée des vibrations transversales correspondantes au son le plus grave que la lame élastique puisse rendre, elle sera évidemment la plus petite des valeurs de t » pour lesquelles l'ordonnée Uo reprend sa valeur initiale, quand on réduit le second membre de la formule (iiâ) ou (119) à un seul terme, savoir à celui qui renferme la plus petite racine positife.de l'équation (116) ou (lao). Celte durée sera donc déterminée par la formule
er«r=aic,
de laquelle on tire, en ayant égard è l'équation (85) ,
(ia4) — = = — --= ^ ti .
^ t fkK a7rj/5 7rV/3 a
D*ailleurs , si Ton fait pour abréger
les équations (116), (lao) , que l*on peut écrire comme il suit :
I / «r(i + v^--;) -.flr(i+/=:r) ar(i — •ZT) — ar(i — y^-iU
deviendront simplement
2 "^ 5-7- + ^ , ^ „ — r etc. = o ,
et les plus pelites valeurs posilives de $ propres à les vérifief seront
Or, en substituant l'une après lautre les valeurs précédentes de s dans l'équalion (124) présentée sous la forme
oD trouvera en premier lieu »
(laS) -|- = (a,o55858..v) — N ,
et en second lieu
Ces deux dernières formules délerminent le nombre des vibrations transversales correspondantes au son le plus grave et exécutées, pendant l'unité de temps, par la lame élastique» 1.^ dans le cas où les deux extrémités sout fixes » 2." dans le cas où l'une de» extrémités est fixe , et l'autre libre. I3i
Si Ton voulait déterminer le nombre des vibrations exécutées par la lame pendant l'unité de temps, et correspondantes non au son le plus grave, mais k ceux qui l'avoisinent, il faudrait substituer, dans la formule (124)9 celles des racines positives de l'équation (116) ou (120) qui suivent immédiatement la plus petite. Or on déterminera sans peine des valeurs fort approchées de ces racines^ en observant que» pour des valeur.** un peu considérables de r , l'équation (1 16) ou (120) donne à très-peu près
(127) cosar = o.
Donc les racines positives de l'équation (1 16) ou (120), abstraction faite des plus petites , se réduiront sensiblement aux racines positives de Téqualion (127), c*est^à-dire , aux valeurs de r déterminées par la formule
ar = (2n4-i) — ,
dans laquelle n désigne un nombre entier quelconque. Si, pour plus d'exactitude , on suppose, dans l'équation (116) ou (120) •
(128) ar=(in+i)^^i.
alors, en négligeant le carré de i , en conclura deTéquation (i 16).
(an+i)- -(an + O-
et de l'équation (120)
(i5o) f = (-ir -^{-lyac ^[i-c
(211+1)— -(an+i)
On tirera d'ailleurs des formules (124) ^^ (128) «.
Si mainlenant on pose successivement n=i, n = 2, n = 3, ctc » <
formules (129) > (i^o) et (i3i] , on trouvera !•% en admettant que la lame ait s extrémités fixes».
— = (2,o56ï....) — iV , — = (5,66700...) — N , — = (11,10957...) — N, t a ta t a '
2.* en admettant que les deux, extrémités soient Tune fixe et l'autre libre
— = (2,024....) — N , — = (5,66924...) — N p — =(11.10945...) — N » t a t a t tf
Le premier des nombres compris dans les équations prëcédisntes , savoir 2,o56i. diffère très-peu du nombre 2,o55838..... que renferme l'équation (i25); d'oii que la formule (i3i) fournit sans erreur sensible même le nombre des vibrations pondantes au son le plus grave dans une lame dont les extrémités sont libres. Aj que , dans le cas où n devient supérieur & 2 , ou peut remplacer t par zéi la formule (i3i) , et réduire cette formule à
/ X \ 1 (2W + i)»Tr 2A „
Quant au nombre des vibrations transversales que la l«ime exécuterait, si se extrémités devenaient libres , il est aisé de voir qu'il sera encore déterminé par les fo (1 16) et (124). En effet, dans ce dernier cas, l'équation (106) doit être intégrée (
( «75 ) nière que lef conditions (loi) soient vérifiées non-seulement pour » = o , mais encore pour x = a. DViUeurs, si l'on fait pour plus de commodité
on tirera de Tequation (106) différenciée deux fois de suite par rapport à x
tandisque les conditions (101). se réduiront à
De plus » t{m) étant la voleur initiale de n» » ^(aj) sera la valeur initiale de I{\ Gela posé, il est clair que, pour obtenir la valeur de l'inconnue H , dans le cas où les deux extrémités de la lame élastique sont libres» et les vitesses initiales nulles , il suffit de remplacer f(f«) par f'(fA) dans le second membre de l'équation (ii5). On obtiendra ensuite la valeur de «lo par le moyen de la formula
1,0 — f (a;) = I fHdx*,
et Ton conclura de cette dernière que le nombre des vibrations transversales exécutées pendant l'unité de temps par la lame élastique est une des valeurs de — déterminée» par les formules [116} et (is4)*
Par des raisonnements semblables & ceux dont nous venons de faire usage, on pourrait
encore déduire de la formule (11 4) la valeur de \^ relative au cas où la lame a ses
deux extrémités libres-, et l'on trouverait toujours le nombre iV des vibrations lon-
û gitudinales égal au rapport — .
Il importe d'observer que le nombre Ji des vibrations longitudinales est , en vertu de IA formule (laS), indépendant de l'épaisseur »A de la lame élastique» tandis que le
nombre des vibrations transversales, ou la valeur de -^ déterminée par l'équation (i94)>
est proportionnel à cette épaisseur. Donc, lorsque l'épaisseur est très-petite, les vibrations transversales s'exécutent beaucoup plus lentement que les autres , en sorte qu'au
( 274 ) bout d*an temps peu considérable et comparnble à la durée d'une vibration longitudinale , Tordonnée n^ do la ligne moyenne diffère très-peu de Tordonnée initiale f (a;) . On ne doit donc pas être surpris de voir les équations (i i5) et (i 19) se réduire è
no = l'(^)î
lorsqu'on néglige le carré de A ou de 0==——, et que l'on suppose en consé-
quencc
coser*/= I .
Au reste il était facile de prévoir ces divers résultats à l'inspection des équations différentielles (82) et (89). EûcctiTcment l'équation (82) qui détermine généralement les vibrations longitudinales d'une lame élastique , est indépendante de l'épaisseur uh de cette lame, tandis quo l'équation (89) , qui détermine les vibrations transversales, renfôrme daiis son second membre le carré de A , et dans son premier membre le carré de la constante e proportionnelle à A. Si Ton néglige A' et par suite e* , l'équation (89) se réduira simplement à la seconde des formules (34)* Il 7 a plus » on pourra dans les formules (54) remplacer Yc par zéro. En effet • pour que les déplacements des molécules restent très-petits , comme on le suppose, pendant toute la durée du mouvement, il est nécessaire que la lame élastique s'écarte très -peu d'une position d'équilibre , et qu'en conséquence l^o 8oit une quantité Irès-pelile du même ordre que A^. Donc, en négligeant A* , on devra négliger aussi }'o » et réduire la seconde des formules (34) à
Si d'ailleurs on suppose nulle la vitesse initiale d'un point quelconque de la ligne moyenne, et par conséquent la valeur de -^ correspondante à I := o , alors » en désignant par f (x) la valeur initiale de no , on tirera de l'équation précédente
>îo = f(a?).
Si l'on supposait la valeur initiale de -—■ différente dezéro, en la désignant par V{x), et négligeant le carré de A , fn trouverait
^''^ =F{x). no = t{x) + t¥ix).
( a?* ) Ces deroières formules » qui ne doivent être employées que pour des valeurs peu Oons»dérables de t , expriment que» dans. le cas où l'épaisseur de la lame est Irès-polile , la vitesse d'un point de la ligne moyenne , dans un sens perpendiculaire à cette ligne» demeure sensiblement constante pendant la durée d'une vibration longitudinale. Cela tieni à ce que» dans l'hypothèse admise , les vibrations transversales s'exécuteront» comme on l'a déjà dit» beaucoup plus lentement que les autres. Mais» si le temps croll et devient comparable à la durée d'une vibralion transversale» il ne sera plus permis de négliger le carré de la quantité h et de la constante e qui , dans les intégrales générales des équations (89) et (106) » se trouvera multipliée sous les signes sinus ou cosinus par la variable t •
On pourrait imaginer diverses hypothèses en vertu desquelles les conditions relatives aux extrémités de la lame seraient .représentées non plus par les formules (67) » (68) , (69) ou (71)» (72)» (75)f etc.» mais par des formules nouvelles. Ainsi» par exemple» si les extrémités de la ligne moyenne» en devenant fixes» prenaient des positions distinctes de celles qu'elles occupaient dans l'état naturel » les valeurs de Ço » «lo correspondantes à ces extrémités» se réduiraient non pas h zéro» mais à des quantités constantes* On pourrait supposer encore que les extrémités de la ligne moyenne sont assu> jélies à rester sur des courbes données » ou que les plans qui terminent la lame supportent des pressions ou tensions dirigées d'une manière quelconque et données en chaque point » etc.. Dans ces différents cas , la recherche des formules qui devront être substituée» à celles que nous avons obtenues « se déduira sans peine des principes que nous afODS exposés.
Enfin il est clair qu'on tirera aisément des formules (1 14) » (1 iS) » etc. , les valeurs de X pour lesquelles les inconnues So $ "• s'évanouiront'» quel que soit t , et par conséquent le nombre ainsi que la position des points qui resteront immobiles pendant, les vibrations longitudinales ou transversales de la lame élastique.
Supposons maintenant que Ton considère non plus une lame élastique » mais une lame solide entièrement dénuée d'élasticité. Alors ^ en adoptant les priticipes énoncés dans Pun des précédents articles [pages i85 et 186]^ et faisant pour abréger
k-f K = ôK» a'=f0— ^]— ,. 0» = a* -^
on reconnaîtra que les formules (8a) et (89) doivent être remplacées par celles que l'ou en déduit » quand on substitue dans les premiers membres aux inconnues « » o leurs dérivées relatives à t , savoir »
IF' lu''.
Donc, si Ton pose
(ia8)
dt "" dt
les inconnues Uo « v» » qui représenteront au bout du temps t les projections algébriques de la vitesse d'un point situé sur la ligne moyenne, devront satisfaire, quel que soit X , aux équations
Dans le même cas , si la force accélératrice ? s*évanouît , on aura simplement
d^Uo duo
^*'dx^~ dt '
da;^ ^ dt
11 sera également facile de trouver les conditions qui devront être remplies aux deux ex* trémités de la lame solide, et Ton pourra ensuite déterminer les valeurs des incooDue» à Taide des méthodes développées dans le Mémoire déjà cité.
Parmi les formules obtenues dans ce paragraphe , colles qui sont relatives à Téquilibre ou au mouvement d'une lame élastique sollicitée par une force accélératrice constante et constamment parallèle à elle-même coïncident avec des formules déjà connues, et particulièrement avec celles que renferme le Mémoire d'Euler, intitulé : Invtsiigatio moiuum quitus laminœ et virgœ tlasiicœ cantrcmUcunt [voy. les Acta AecuUmiœ petr^politanœ pour l'année 1 779]* Elles doivent donc s'accorder aussi avec celles que renferme le Mémoire présenté par M. Poisson à l'Académie des Sciences, le 1 4 avril dernier*. En effet, après avoir annoncé, dans les Annales de chimie, qu'il déduitde la considération des forces moléculaires les équations relatives soit à tous les points ^ soit aux extrémités des cordes et des verges, des membranes et des plaques élastiques, M. Poisson ajoute : Parmi ces équations ^ celtes qui répandent au contour (Cune plaque élastique pliée d^une manière quelconque , et
* Ce beau Mémoire, dans leqael M. Poisson a déduit le premier de la considération des forces molécoUires les équations relatives à l'équilibre ou au mouvement des cordes, des verges, des membranes et des plaques élastiques, s'imprime en ce moment, et doit paraître dans le tome VIII des Mémoires de l'Académie des Sciences.
s 4* Equations (C équilibre ou de mout^einent (Cune lame naturellement courbe et
dCune épaisseur constante.
Considérons , comme dans le paragraphe a , une lame solide dont Tépaissear constante soit représentée par s A • Mais supposons que la ligne moyenne de la section fixité par le plan des œ , y coïncide dans Tétat naturel avec upe certaine courbe » qui change de forme tandis que les molécules se déplacent. Soient d'ailleurs » dans Tétat d'équilibre ou de mouTement de la lame solide ,
m une molécule comprise dans le plan des x » y ^
X, y les coordonnées de la molécule m,
r la normale abaissée de la molécule m sur la ligne moyenne, et prise avec le signe
-f- ou arec le signe — , suivant que la molécule m est située d*un côté ou
d'un autre par rapport à cette ligne , * X » 7 les coordonnées du point où la normale dont il s'agit rencontre la ligne moyenne , ■s l'arc de la ligne moyenne » mesuré à partir de l'une des extrémités jusqu'au point
T l'inclinaison de la ligne moyenne par rapport h l'axe des x , c'est-à-dire , celle des racines de l'équation
dr (171) tangT=^,
qui offre la plus petite valeur numérique. On trouvera , pourvu que l'extrémité de l'arc s et le sens dans lequel on compte positivement la normale r soient convenablement choisis »
(179J =co8T, ^ = sinT,
(175) x = x — rsiuT, j' = y-t-rcosT.
Gela posé y si l'on prend pour variables indépendantes r et « au lieu de x ei y ^ on aura
dx I </t\ dy I dt\ .
dx , dy
-;— = SIUt, -f- = C0ST,
dr dr
Par suite les dérivées de A y B ^ F prises par rapport aux variables x , y 9 el III.* arh£e. 57
( «86 ) renfermées dans les équations (i), seront déterminées par des formules semblables h celles-ci : »
, ^, dji I dx\ldA , dA . \ dA dA . ^ dA
en sorte qu'on aura
dA dA .
, ^, dA dA . ^ -Sr^^'^ dA dA , -57'*°^
^ ' ' dx dr 1 r — dy . dr ' dr^
' d» ^'^ dt
Donc les équations (1) donneront
dA , dP .
dA . ^ dF ^ -S-"^'"+-^*'"" , ^ __8,nT + -5;rC0ST + ^ + pj: = o,
^^^ ds
dF , dB ,
dF . ^dB -■cosT+-;^s,nT
sinr 4 — - — cost -I j H P X = o .
dr ^ dr -^ ,^jj-
de
De môme on tirera des équations (2)
dF , dS .
dF . ,dB — co,. + —s.nT
puis, en admettant, comme dans le paragraphe a, que les déplacements des molécale» sont Irès-pelits , on en conclura
dJ , dP .
dJ . ^dF ^ -â'^^'^+TT'""' ^ „ rf»ï
dF , dB .
__8,nr+cosT+ 5; + pr=p.jjr
Les formules (177) el (179) subsisteront, quels que soient r ci s , les premières dans Tétat d'équilibre, les autres dans Fétat de mouvement de la lame courbe. Quant aux formules (4) » elles devront être vériCées , lorsqu'on attribuant à la variable r une des valeurs — -A, -l-^» OQ remplacera cosa par — ^sinr et cos^ par cosr. Donc les pressions A , F , B devront satisfaire , pour r = — h et pour r = h , aux deux conditions
(180) (^ + P)sinT— .FcosTzzro, /'sinr— (fi4-P)cosT = o.
Concevons maintenant que, dans les équations (177) » (179) » (180] , on développe les quantités AfF^B^X^Y^i^vi considérées comme fonctions de s et de r suivant les puissances ascendantes de la variable r, et que ces développements continuent d'élre représentés par les seconds membres des formules (19)» (20), (ai), (ss). Supposons d'ailleurs constantes la pression P et la densité A relative à l'état naturel de la lame solide. La densité p , infiniment peu différente de A , pourra ellemême être regardée comme constante, et les formules (177) deviendront
' i'',cosT — AtSmr+ (FjCosT — A,i\nr)r-h {Fzcosr — y^ssinr) h etc.
^{dAo dFo . IdA, dF, . \ 1/ dr \ ,^ ^
+ j-^— C08T+-r— siDT+l -^ — C08T+— — sinTJr+.. 1 I i+r— +..l4f(X,+X,r+..)=o,
jB,cosT — FgsinT+ (jffaCosT — FasinT)r-i- (Jffacosr — /'asinr) h elc
dFo dBo . fdF, dB, . \ )f ^t \ ,^ ^
-^posT+-— smT+l-— COST+--— smT|r+.. I [i+r — +•. l+p(I^+I^r+..)=c
Donc , puisque ces formules doivent subsister , quel que soit r , on aura
F.cosT — /^,sinr +— -1 cosT -| -^sinr -4- ùX^ == o ,
1 ds ds
„ ^ • I ^^t I ^t • I [^^9 , dFo . \ ^T ^
/^.COST — /f .srnr -| r-— COSr A — T— SlttT -4- U-— COSt + -7— Sinr 3- +pjLi— o»
ds ds \ ds * ds J ds
^etc«*« >
as as
i aj £/j \ as ds jds
cic« • • •
Mais les formules (180) , qui devront être yériliées seulement pour r = i— A ci pour r = A , donneroot
(^o+P)sînT-FoCOST+'— (^,sinT-FaCOST)-K.=o, ^,sinT-F,cosT+^(^jCosT-F3sinT)+..=c,
fFo8ÎnT-(Bo+P)cosT+ — (F.sinT-jBaCOST)+..=o, F,sinT-jB,cosT+-g-(F3sinT-jB3COST)+..=îo.
Les équations (iS5), (184) sont relatives à Tétat d'équilibre de la lame courbe. Si cette lame était en mouvement» il faudrait rejpplacer, dans ces mêmes équations» les quantités
par les différences
11 est important d'observer que , dans les formules précédentes» Ao » Fo et F« » jff» expriment» comme dans le paragraphe 3» les projections algébriques des pressions ou tensions exercées au point (x» y) de la ligne moyenne contre des plans perpendiculaire» aux axes des œ ei jr, tandis que S«» % expriment les déplacements de ce point mesurés à partir de sa position primitive parallèlement aux mômes axes. Quant aux quantités (1 85) qui représentent ce que deviennent » pour r = o » les fonctions
^ dX d^X y dY d*Y
dans le cas oh Ton considère comme yariables indépendantes Tare s de la ligne moyenne et la distance r mesurée à partir de cette ligne; on pourra facilement le» déterminer en faisant abstraction du changement de forme de la ligne moyenne qai n'aur» sur les valeurs de ces mômes quantités qu'une influence insensible.
é rjtt.
( «89l Il reste à montrer ce que deviennent les formules (i8s) » (i83) , (i84) » àan$ le cas où ia quantité h est très-petite. Or, ^i Ton néglige , dans une première approximation tous les termes qui ont pour facteur h* , on tirera des formules (i84)
(187) {A. + P)sinT^FoCo$r=io \ jF^rsinr— (iî, + P)co8t = o ,
(188) ^,sinT — F^cosTziro , F.sinT — jB,cosT = o , puis des formules (i8s) » (i83)
(^ . dA^ , rfr© • ■ "v dFo . doo • , ♦»
i8q) — : — cost4-— : — smT-4-P-X^o = o, — r — cost-| — - — sinT-4-pro=o. ^' ds ds ds d$
Si maintenant on élimine entre les formules (187) , (189) les pressions A^^ F. ^ jff • » on en déduira une équation de condition entre les forces accélératrices X^t Y^. Pour effectuer l'élimination , transportons d*abord dans les formules (18g) les râleurs de A^ et de B^ tirées des formules (187). On trouvera ainsi
(190) -^ F.cotT ^ 4. p JToSÎnT = o , -^ -4- F.tangT ^ -f- P l'oCost = o ;
puis» en faisant » pour abréger^
on tirera des formules (190)
dF (192) F^:=^v[X.%iar'^ y«cos?)sinrcosT, --r^ + p(-^o8iû'T+ F«cos't) =0 ,
(193) *- ^ — — — + yToCosT + Tosmr = o .
et par suite
d\y{Xoû
ds
Donc une lame naturellement courbe » et d^une épaisseur constante mais très-petite » ne peut rester en équilibre après un changement de forme presque insensible » à moins que les forces accélératrices appliquées aux divers points de cette lame ne soient telles que Téquation (igS) se trouve à très-peu près vériGée. Si Ton donne a priori ces forces accélératrices, l'équation (ig3) déterminera l'angle t considéré comme fonction de s , et représentera la courbe à laquelle la lame se réduira dans le cas d'équilibre , lorsque son épaisseur deviendra infiniment petite. Cette conclusion est indépendante d6 la nature de la lame et de son élasticité plus ou moins parfaite. Elle subsiste même pour
( «90 ) uae lame entièremeDt dépourvue d'élasticité , et la courbe dont nous reaooa de parler est précisément celle qu'on obtient, en suivant les prijicipes connus, quand on recherche les conditions d'équilibre d'un fil parfaitement flexible renfermé dans un plan et sollicité par une force accéléralrice qui varie d'un point à un autre. Dans le cas particulier où la force accéléralrice devient constante et constamment parallèle à elle-même, la courbe dont il s'agit est ce que l'on nommer une chaînette. Si l'on suppose, par exemple, la force <p réduite à la gravité g et parallèle à l'axe des y , on aura
^0 = 0, F^ = g , et l'équation (iQo) donnera
(194) d(»cosT) =8inT£& = dy ,
puis on en conclura , en intégrant et désignant par 6 une constante arbitraire ,
yj= b 4- fCOST = 6 4" COST -— f
On aura par suite
dj sînrrfT
y-A COST
puis, en intégrant de nouveau et désignant par c une deuxième constante,
