COST
Enfin de l'équation (igS) , combinée avec la suivante
on tirera
— = dt— T=$— et par conséquent .
a désignant i'abscisse correspondante à l'ordonnée 64-0. Gomme l'équation (196) peut être remplacée par celle-ci :
on en conclut ininiédialementi en passant des logarithmes anx nombres,
(•97) 2ii=i-(,^+r''^).
Telle est effectivement l'équation de la chatnelle en coordonnées rectangulaires.
Il est bon d'observer i.* que la quanlilé désignée par ^ , et déterminée par la formule (191) , est précisément le rayon de courbure de la courbe (igS) , %.* que les binômes
(198) JToCosT-f- -Tosinr , FoCOSt — JTosinr
représentent les projections algébriques de la force accélératrice appliquée au point [x,j) sur la tangente h cette courbe prolongée dans le même sens que Tare a et sur la normale r. Donc, si Ton désigne par §c et Sim ces mêmes projections algébriques» l'équation (igS) pourra être réduite à
as
Passons maintenant à une approximation nouvelle» en supposant que la quantité h, quoique fort petite, devienne très -supérieure aux valeurs numériques des déplacements Çy I}. Alors, par des calculs semblables à ceux que nous avons effectués dans le premier paragraphe, on déduira des formules (182), (i85), (184), non plus l'équation d'une courbe dont la lame élastique, soumise à la force accélératrice 7, devra s'écarter très-peu , solL dans l'état naturel, soit dans l'état d'équilibre^ mais les valeurs approchées des déplacements très- petits dos molécules, ainsi que le changement de forme de la lame ; et les résultats auxquels on parviendra seront différents suivant qu'il s'agira d'une lame élastique ou dépourvue d'élasticité. On peut d'ailleurs simpUGer notablement les calculs dont il s^agit , à l'aide des considérations suivantes.
Soient
Pt • p% les pressions ou tensions supportées^ au point {Xpjr) delà lanie solide 1 par deux plans perpendiculaires l'un à l'arc s de la ligne moyenne, l'autre à la normale r , du côté où i'ou compte positivement la longueur s ou r^
poogle
J(o9 ^ '^ projections alg^riqaet de la pression ou tension pt sur la tangente h l'arc
$ et sur la normale r , ^» <lR> les projections algébriques de la pression ou tension p» sur les mômes droites »
S» S{. 1^* projections algébriques sur ces droites de la force accélératrice f ,
ttg , Pt les angles formés par la tangente à Tare s prolongée du côté où cet arc se compte posilirement avec les demi^axes des x et y positives,
a, 9 pa 1^ angles formés par la normale r prolongée du côté où r se compte positivement avec les mêmes demi-axes ,
On aura évidemment
les angles formés avec ces demi-axes par les directions des forces p, , p, .
(aoo) co9ai = cosr9 cosPt = sior,
(aoi) C08aa = — sIdt, C0SPa = C0ST.
De plus\ comme les angles formés par les forces accélératrices ^ » d'une part » avec les demi-axes des x ei y positives , d'autre part avec la tangente à la ligne moyenne et la normale r, auront respectivement pour cosinus i/ les deux rapports
a.* les rapports
on trouvera encore
(aoa)
R X . y « JfcosT+ysîoT -5i- = — cOSag H C0SP» =
SI X , y « ycosT-^Lsinr -21 = — cosaa H cosp. =
Par suite, les projections algébriques S et ^ de la force accélératrice f sur la tangente à la ligne moyenne et sur la normale r seront déterminées par les fonnales
(ao5) S = XcosT -4- Fsinr , g{^ = Fcost — JITsînT .
Si, dans les mêmes formules , on remplace X , Y par les projections algébriques de
( 295 ) la pression p^ , on p, , sur les nxcs des x e\ y ^ on devra remplacer en mcnin temps S et ^ par ^ et ^ ou par j" et .\jj,. Ou trouvera de cette manière
(204) ct> = Pi(cosl.cosT4- cosfigSÎnr) , j'=p,(cos^,cosT — cosX.sinr) ,
(205) J?=p,(COS>,COST + COSu,SÎnT) , <\S^ =pa(C0SfA,C0ST — cos^asinr) .
EuGn l'on aura , en vertu des équations (3) ,
p,cos>i = y^cosa, 4"^cosp, = ^C08T4-^»in* >
pjcosp, = Feosa, 4" i^cosPi == FcosT + ^sîiit ,
PsCOsXa z=^co8a, -|- Fcosp, =r JFcosT — ^sim
l p,COsXa=.
: Feosa, 4"^cosPa=i?cosT — Fsint ;
€t Ton tirera de ces dernières combinées avec les équations (204) > (soS)
r&\> = ^cos'T4-iBsin*T4-aFsiiiTC08T, (^ = ^sin*T-|-^cos*T — aFsintco8t>
^ = F(cos*T— sin*T) — [A — BjsinTCOST.
1^^= 1 -^ C0S2T + r8m2T, '!)?>= ;; C0S2T— FsHl 2t ,
Si maintenant on transporte dans les formules (2o3) les valeurs de X , Y tirées des formules (1 77) , on trouvera
f 1 d^A-^B) 1 d{A'B) dF .
{aïo)^
— cosar —, — ^siuaT
1 d{A-^B) I d(A-B) dF . , -ÂT^^^^^-T-^r-''""" . , ^.
a </r % dr dr ' , "^
