ifi>« 4 — (oU — ^) + pc5lo = o

\ etc.

Mais les formules (214)» qui doivent être Térifiées seulement pour r = — h cl pour r = h , donneront

^o + J'. — + etc. 1= o , j», 4- ^3 4. etc. = o .

1)L« + iPoa — + etc. = — P , an,! + lfi,3 TT- + clc = o .

Si, dans ces diverses équations, on négligeait les termes proportionels au carré de h , les formules (220) se réduiraient à

(221) ,[^0 = 0, (iO,o = — Z'; ^1 = 0, aP^»=o;

€t par suite on tirerait des formules (218) et (219)

puis, en éliminant J{^^ entre ces deux dernières, on retrouverait la formule (199}*

Si, au contraire, on conserve , dans les équations (218) , (2ig]> (a2o) , les termes proporlionnels au carré de /i ^ mais en continuant de négliger les puissances de A supérieures à la seconde» les équations (s2o) donneront

et Ton tirera des équations (218) » (21g)

fpSo + /t^(^^.--^^3]=o,

Enfui, si Ton «ibsliluo dans les deux premières des équalion^ {^^U), aîn$i que daos la première des formules (226) ou (226) , les valeurs approchées do /, , $1 , <^t , <in,3 ,

fournies par la Iroisième et la quatrième des formules (a25), ou par la troisième et la qualrième des formules (22G) , savoir :

("7) ^' = 7. -—, Pl^' + T^'-T^^'J-

on trouvera

(«9) ^; 3r-^r+q^'+-6-lS'--T5-+TrS.)j=o.

Lorsque, entre ces dernières équations» on élimine c^, , la pression ou tension ^Vv disparaf l en même temps , et l'on obtient la formule

2L ^5 J t rf* t* ds ds ds* }

11 est bon d'observer que • la difTérencc

Se —

devant être sensiblement nulle dans le cas d'équilibre, le produit

d(vS{o)

(• «98 ) compris dans la formule (23 1) , ne sera pas nécessairement très- considérable » comme on pourrait le croire au premier abord, et qu'en conséquence la fonction J(^i , déter-

minée par cotte formule , conservera généralement une valeur finie , comparable à la pression ou tension ^^o que détermine l'équation (223). De plus, comme la variable

r comprise dans les formules (2i5), (216) est une quantité du même ordre que h , tandis que les valeurs de ^, , \P^i , fournies par les équations (224)» sont proportionnelles au carré de A , on conclura des formules (21 5), (216) et (228) , i.* en négligeant dans le développement de «^^ les puissances de h supérieures h la première

(255) cl, = cio4-ol,.^.

*j.* en négligeant dans les développements de ^ et de f[S\y les puissances de A supérieures 5 la seconde ,

{254)^=^[^+p(s.-^S.)j(A*-rO.TPo=-P4-^-[4^+p(^.-f^.)j(/i'-r»).

Ainsi» après avoir déterminé les fonctions Jl^o » tAn ^ Taide des équations (2 23) et (23i), il suffira de recourir aux formules (233) et (234) P^"^ obtenir les valeurs approchées des pressions Jlo » J*» llL relatives à l'état d'équilibre.

Il est facile d'exprimer les quantités ci-dessus désignées par Sio $ Sii f Si^^ » So » St » Sa 6n fonction des quantitéi Xo t -X^ , A^, , i^o » }^i » -I^s* £n effet, si, dans les formules (217) , on substitue les valeurs de S * Si données par Iqs équations (2o3), ou plutôt par les suivantes :

S=-XoC0ST + yoSinT + (JiriC0ST+y|SinT)r+(A^aC0ST4-y»»inT) — + ••• > (235)

^rzrYoCOST — A'o8lnT+(y, cosT — JV,8inT)r+(y,cosT— A'aSint) -^ + ... ,

on en conclura , en égalant entre eux les coefficients des puissances semblables de r, S^ = XoCost4- i'^osinr. S, =X,cost4- ^isinr, Sa = -<YaC0ST + l'.sînT,

' ($lo= FoCOST-P-A^oSinT, c)l,= F» COST — A^sm-:, git = I^.cost — Jf,$înT.

Observons encore que, dans les diverses formules auxquelles nous sommes parvenus, on peut, sans erreur sensible , attribuer à rincllnaison t et au rayon de courbure v du

( «99 ) la lame en équilibre les valeurs que présentaient ces mêmes quantités dans Tétat naturel de la lame. De celte manière r et v deviendront des fonctions connues et déterminées de la variable s.

Lorsque 9 dans l'état naturel de la lame proposée» la ligne moyenne coïncide avec l'axe des ce , on a sensiblement

Tz=o, — = 0, a = x, J^ = A, iiî, = 5, ^=F, $ — X, S{, = Y.

Donc alors les formules (222) et (23o), (228) , (235) et (234) se réduisent , comme on devait s*y attendre , aux formules (4^) > (36), (4o) et (42).

Supposons maintenant que Ton coujsidère la lame courbe, non plus dans l'état d'équilibre , mais dans l'état de mouvement : il faudra remplacer les quantités

par les diJDTérenccs

'*^~ dt- ' "^'~ dr * "^' TF' ^""""?F"' ^"~"57^' ^' — rfT^-

Donc, si l'on fait, pour abréger,

(237) ÇcosT + >jsinT = 7 , ïîCOST — ÇsînT=^,

c'est-à-dire , si l'on désigne par ^ et par 7 les déplacements de la molécule m mesurés parallèlement et perpendiculairement h la normale r , si d'ailleurs on représente par

les développements des fonctions 7 et ^ suivant les puissances ascendanles de r on devra remplacer les quantités

(209) So, §vf S,,

que déterminent les formules (206) , par les expressions

e( les quantités

par les expressions

(242) ^^«-"57^' ^^'--77^' ^'""ÏÏT^-

Par suite , en négligeant d'abord les termes proportionnels au MmS de h , on tirera des formules (222) et (220)

, ,-v «'cl'» , o '''Vo

(244) ■^LU + P) + e^P>^o = e-^-

Si au contraire on conserve les termes proportionnels au carré de h , on tirera de la formule (sSi)

(,45) L£Ll + -^ = -^pis.— 1^1

rf(s.--^S.) rf'(5.-^«.)

la n as V é/j v' rfi rfi (fja

(. xrf(U.) , .cT . ./.^V'-^-) /'(7.-P0) 5 / ^(,,.)J

Observons de plus que, si l'on réduit le polynôme

' .-^(«-^O 2 . di . rf.<v-TvO /'(v.-f^) 3 ( ^(.*.)

a'- a rf, v'-+ rf, +v> ^' rf, 5; " d? ^T^V'-dT

au seul terme

^ qui sera en général très-grand par rapport aux autres , l'équation («45) deviendra

( Soi )

"l*^ j.. J I HA.. s

Quant aux termes qui renfermeront S. , Sa et dR, , on ne devra pas les négliger vis-à-vis «lu terme

5 f rf(v^.) 1

En effet, pour que les déplacements des molécules restent très-petits , comme on le suppose, pendant toute la durée du mouvement, il est nécessaire que la lame courbe s'écarte très -peu d'une position d'équilibre, et qu'en conséquence l'expression (aSs) soit une quantité très-petite du même ordre que h^.

Si , après avoir multiplié par — les deux membres de l'équation (246) , on supprimait les termes proportionnels au carré de k , on obtiendrait la formule

(«4y ) — So 5p- .

que l'on pourrait même réduire à

rf(v*»)

en négligeant avec A* la quantité du même ordre rSo 7"~" ' ^^ formule

(247) ou (248), que l'on peut déduire immédiatement des équations (24Î) • (244)» ©û éliminant cil>o entre ces équations , est analogue à la seconde des formules (34) , et ne subsiste, comme elle, que pour des valeurs peu considérables de t. En intégrant lieux fois de suite la formule (248) , ou trouverait

(249) '(o—^^ = ^{') + tF{,).