III.'ANKf.K
( 5o« ) ^{s) et F{s) désignant deux fonctions arbitraires propres à représenter les valears ini tialcs des expressions
d{t9o) d-io d*{v9o)
fié ' dé r/i»
Aux équations (as5)^ (s3i), (s43) et (246) qui subsistent, dans l'état d'équilibre ou de mouvement d'une lame naturellement courbe, pour tous les points de la ligno moyenne, on peut joindre d'autres formules qui sont relatives aux extrémités de celle ligne , et que nous allons faire connaître. Concevons , pour fixer les idées , que , dans l'état naturel de la lame élastique , on désigne par a la longueur de la ligne moyenne , en sorte que les extrémités de cette ligne correspondent ^ 9 = 0 et à s = a. Supposons d'ailleurs la lame terminée dans le sens de la longueur par deux plans perpendiculaires h In iigne moyenne. Si les deux extrémités de cette lame deviennent fixes , ou plutôt, si , les extrémités de la ligne moyenne étant fixes, les points renfermés dans les plans qui terminent la lame sont assujétis de manière h ne point sortir de ces mêmes plans; on aura pour j = o et pour ê = ag non-seulement
mais encore 7 = 0, quel que soit r , et par conséquent
Si , au contraire , les deux extrémités de la lame étant libres » chacun des plans qui la terminent est soumis à une pression extérieure et normale , désignée par $ , on aura pour sz=o p et pour t:=a , quelle que soit la valeur de r ,
(253) ol> = -$. ^=0;
et en combinant ces dernières formules avec les équations (255) , (264) » on en conclura , dans le cas d'équilibre ,
(254) cl,c = — ^P. (a55) A.n = o,
Ajoutons que , pour passer de l'élal d'équilibre à l'état de mouvement , il suffira de remplacer So , Sr car les différences .S« j^ , Si j-7- , dans la formule (a56)
qui deviendra ainsi
-+,(.-^..)=,jîizii
Enfin , si la lame solide offre une extrémité fixe , par exemple , celle qui correspond à 9 = 0, l'autre extrémité étant libre, les conditions (aSo) , (aSi) , (s52) devront être vérifiées pour une valeur nulle de s . et les conditions (254), (255) et (256) ou (25;) pour 8 = a.
Lorsque Ton combine la condition (254) avec l'équation (225) , on en conclut
(a58) Jl, = .
pv
Cette dernière formule montre que , dans le cas l'équilibre d'une lame naturellement
$-P conrbe , la force accélératrice normale <fto doit se réduire sensiblement à pour
pt.
une extrémité libre. Donc la différence
(«59) cRo- ^"^
doit être» pour une extrémité libre, de l'ordre des termes omis dans l'équation (225) , c'est-à-dire que cette différence doit être de l'ordre de h*. Si Ton avait égard aux termes de cet ordre » alors , au lieu de la formule (2 58) » on obtiendrait celle que fournit PéHmination de cHoo entre les équations (25o) et (254) t savoir,
Quand on veut tirer ^ârti des conditions relatives aux limites pour déterminer les constantes arbitraires introduites pour l'intégration des formules (225), (sSi) , il convient de substituer à la condition (254) la formule (260).
On pourrait imaginer diverses hypothèses en vertu desquelles les conditions relatives aux extrémités de la lame seraient représentées non plus par les formules (25o), (25 1), (252) ou (255), (256), (260), mais par des formules nouvelles. Ainsi, par exemple, si les extrémités de la ligne moyenne, en devenant fixes, prenaient des positions distinctes de celles qu'elles occupaient dans l'état naturel , les valeurs de 70 » ^o » correspondantes à ces extrémités , se réduiraient non pas à zéro , mais à des quantités constantes. On pourrait supposer encore que les extrémités de la ligne moyenne sont assu-
( 504 ) jéties à rester sur des courbes doonées , ou que les plans qui Icrminenl la lame supportent des pressions ou tensions dirigées d'une manière quelconque et données en chaque point , etc. Dans ces difTérenls cas , la recherche des formules qui devront être substituées à celles que nous avons obtenues , se déduira sans peine des principes que nous avons exposés.
Dans les diverses équations ci-dessus établies, les quantités 70 » ^o désignent les valeurs de 7, -î correspondantes à r = o, c'est-à-dire, les déplacements d'un point de la ligne moyenne mesurés perpendiculairement et parallèlement à la normale r. Ces quantités et les déplacements §« > ^o du même point , mesurés parallèlement aux axes y sont liés ensemble par les formules
(2G1) ÇoCOST -|- »î.»si»* = 7.» » »oCost — ÇoSinT=3o„.
<Juant aux quantités d,o , ^o et ^o » llî)o » oHes représentent les projections algébriques, sur la tangente h l'arc s de la ligne moyenne et sur la normale r, des pressions ou tensions exercées au point (x, y) contre des plans perpendiculaires h cet arc et à cette normale. Remarquons encore que , si l'on désigne par / la largeur de la lame proposée , la section faite dans cette lame par un plan perpendiculaire à Tare 5 supportera une pression ou tension dont les projections algébriques sur la tangente à la ligne moyenne et sur la normale r seront représentées 5 très- peu près par les produits
et dont le point d'application sera séparé de la ligne moyenne par une distance qui aura pour mesure la valeur numérique du rapport
'fl^'-
Donc le produit de cette distance par la pression ou tension *2c\doI^I 9 c'est-à-dire l'expression
( 5o5 ) exprimera , au signe près , le moment de cette pression on tension par rapport à Taxe mené perpendiculairement au plan des x ^ y par i*extrémité de Tare j.
Concevons à présent que la lame proposée devienne élastique , et que son élasticité soit la même dans tous les sens. Alors les quantités A\ F ^ B seront déterminées par les formules (55) et (54) » dans lesquelles x , y sont regardées comme variables indépendantes. Or on tirera de ces formules combinées avec les équations (55) et (sog)
K='T'[ii'^7^r—\[ii-d^n^^
D*ailleurs 9 en remplaçant les variables indépendantes ce et j par j et r, à l'aide de formules semblables aux équations (175), (176) , on trouvera
dl , ^5 . làl A . \ . , (di , ^5 . \
— -cosaT-f.-— sm2T= --cosT --smr smT-f- ---cosT+---smT cosx
dof dy \dy dx ) \da> dy )
dl
