C08T — — - SUIT

-7-cosT4.---*inT ,

as ds '

C08T — —- sinr dr

dl , dfi ,

—- COST+ —-sinr ds ds

rtc... ,

/ dl .dn.

i J ^ ^^ -7-C0ST + — - ginr

ci dn d^ . ^ ds ds

-=;- r= -- co«T sinr + e

K dr dr * r

\)î) J^« fl^ï . \ , ds

= 0(-coST__s.nx) + -

co«t4---. sIot ds

dn d\

J^ 0 - 1 ! </Ç , rf>ï . . </* ds

-=- = \3-C06t + -— SIDT 4"

K 2 Idr * dr ^^ r

Enfin , si Ton combine ces dernières avec les formules (257) , on en conclura

dy è dy 9 f di y

f a ^ ri. de ^ ^lû'T \\\y ^di 'd7'T ^ Q-l ] dy , rfT'^T

On trouvera par suite

„,., .c=|*. + (.-|)*:jii-f+i.(^-it)}.

puis» en faisant pour abréger '

^ ' ' ds t as %>

on tirera 1.^ des équations (2s 1) et (96g)

S."" des équations (aai) et (270) («75)

( 3o8 ) On aura doue , en vertu de la formule (6s) ,

(277) -l<. = pu'/ — —

(•^78) .lM = -(>n--^ + -iti(4,. + P).

II esl maintenant facile de former les équations qui déterminent les valeurs des déplacements 7o , ^o dans l'état d'équilibre ou de mouvement d'une lame élastique nalurcllement courbe; et d'abord, si cette lame est en équilibre» on tirera de l'équation (223) combinée avec la formule (277)

(280) il'/ + 1 J\« + ^^ = o .

De plus, la valeur de ci, , déduite des équations (295) et (278) , sera

(281) ,i,. = pa« -pSio.

^niin, si l'on substitue cette valeur dans l'équation (25i) , et , si l'on fait pour abréger

/i')»^ id[.A.) ^.^dA.r rfv^(^'-r««) ^'(s-îs^^).

-T- ^^.-r^^^^T^- 5.4-^1^+-^ So-

5 I 2 2 rfî X ds x^ ds ds ds*

on trouvera , un ayant égard à la formule (85) ,

,0., / dU , dr. d\J . 1 d^J\

^ \ ds^ ^ ds ds' ^ V ds* ) -C

Or, fjuanJ on nura fixé les fonctions / et / à l'nide des formules (280) et (285) , rintégrulion des équations simultanées (271) fournira immédiatement les valeurs cherchées des inconnues '/« , Oo* Ces valeurs renfermeront six constautes arbitraires quo l'on détci minera fans peine si la courbe a ses deux extrémités fixes, ou une extrémité

fixe cl l'autre libre. Daos le premier cas, les inconnues yo » ^o devront salisfaîre pour sz=zo el poup s = a aux conditions (aSo) , (aSi) , ainsi qu*à la condition (aSa) que l'on pourra réduire à

Dans le second cas , les conditions que nous venons d'Indiquer devront être vérifiées feoiement pour l'cxtrémUé fixe, et remplacées» pour l'extrémité libre, par les formules (255) , (256) , (2G0) , dont les deux premières , étant combinées avec la formule (281), donneront

(,85) n.^=I±La.. (,86) a.^ = S,J.8.

D'autre part, comme on tirera do l'équation (279) réunie à la seconde des équations (227) et à l'équation (280) ,

la formaic (260) , combinée avec les formules ('iSo) et (381) , donnera

(288) a --__ia.--^. + 4-^(^. ^J

Si les deux extrémités de lame élastique devenaient libres, les conditions (285), (286), (288) devraient être remplies pour « = o et pour j = a. Mais on ne pourrait en déduire que les valeurs de trois des quatre constantes arbitraires introduites dans le calcul par l'intégration de l'équation (286). La quatrième constante et celles que fournirait l'intégration des équations (271) resteraient indéterminées; ce qu'il était facile de prévoir.

Il importe d'observer qu'à l'équation différentielle (285) , qui est du quatrième ordre et détermine la fonction / , on pourrait substituer une équation difTérentielIc du sixième ordre qui déterminerait immédiatement l'inconnue 7o» En effet, si, dans la formule (280) , on remet pour / sa valeur , on en tirera

(3ia)

courbo , c'esl-à-dîre , le moment de la pression ou tension exercée contre un plan perpendiculaire à la ligne moyenne par rapport à un axe tracé dans ce plan de manière h rencontrer celte ligne. Dans le cas particulier oh la force accélératrice normole Sim s'évanouit, l'expression (297) , prise en signe contraire, se réduit à

Donc alors le moment d'élasticité est proportionnel non^seulement h la largeur et au cube

de l'épaisseur de la lame, mais encore h — , c'est-à-dire, au changement de courbure de la ligne moyenne. Ce résultat s'accorde avec Thypothèse admise par Eulcr dans les Novi Commentarii et les Àcta Acadcmiœ petropolUanw pour les années 1 7G4 et 1 779.

Concevons maintenant que la lame élastique vienne à se mouvoir. Alors , en né|ff.ligeaDk les termes proportionnels au carré de h , et observant que l'expression (s3«) est de l'ordre de h* , on tirera des équations (24^) , (244) f combinées avec la formule (277),

0 p at*

puis on conclura de celles-ci , en ayant égard à la première des formules (271) ,

,,, W5 W 1 /.A/., o\\ \ . ^'(^^o) t/^ .0-1 P\ \ds y/

En joignant h l'équation (5oi) ou (3o2) Péquation (248) ou (249) f on pourra déterminer celles des vibrations de la lame élastique courbe qui seront indépendantes de l'épaisseur de la lame. Si l'on veut, au contraire, déterminer les vibrations qui dépcndent de cette épaisseur, il faudra joindre h la formule (3oo) l'équation (245) ou (246)* De plus, comme la valeur do Jn relative au mouvement de la lame élastique sera évidemment fournie non plus par la formule (281) , mais par la suivante

( 3.5 ) l'équalion (24C) deTiendra

^'Tvlû^'^d^l^'^^ ds-j d? "■"^'

cl pourra être réduite à

Lorsque , dans les formules (5oo) et (3o4) . on substitue les valeurs de 1 et J Urées des formules (37 1 ) • on obtient deux équations aux différences partielles , l'une du premier ordre, l'autre du cinquième, savoir,

ds^ '^ ds ds^ "*"v ds^ dt^ ^*

Si l'on suLstiluail direclcmeot dans l'équation (945) la valeur de cil^i fournie par Téqiialion (3o3) » alor»» en oyant égard aux formules (379) , (ijS) > on trouverait

Pour revenir do celle dernière h l'équation (3o4) $ il suflira de négliger , dans le second membre » le terme qui renferme le iàcteur k* , Or » c'est ce que Van pourra faire sans erreur sensible, la quantité k étant supposée très-pelite. Mais il ne sera pas permis de négliger de mémo , dans le premier membre de l'équation (307) , le terme proportionnel au carré de A , attendu que dans ce terme le (acteur très- petit A' est multiplié par

ou , ce qui revient au même ,

(Si 8) h -^= h G J-— cos i — cos~ + G U«û siii-) .

^ ' Us * V ax, \ V q\ ^I ) \ ^ a X J

Si maintenant on élimine -^ entre l'équation (3i8) et Téqualion (3io) présentée sous la forme

on en conclura

(d2o) -— — 4-.— ^o = hG -«'n^-- i-cos- 4-G --cos sm- ;

puis en effectuant Tintégralion à l'aide de la méthode exposée dans le second volume [page 3 1], et observant que ^o et —1 doivent s'évanouir pour j = o, on trouvera

((-•-^Tr))

OU , ce qui revient au même ,

et par conséquent

|+£^JA(sinf^cosi)-^(.-cosj)(.<osi)j + G''^[:^>f->"('-cosi)j

Cela posé, l'équalion (5i8) donnera

s i s . s i ( .AI «\ 1 ^^ ( W • « ' '\ » / • '\ • « I

I giQ-^ — l«^sin- 1 1-C08- )+G «'{— «n cos- — («-t8in— sin-j.

+G't^li-C08-

D'ailleurs , par hypothèse , ^o doit 8e réduire à j et --j^ à zéro pour j = « . Donc les constantes arbitraires Q » Q' vérifieront les deux formules

'G 1 1-C08- sin- + G''{- sin- + -C08- - -8m»-}=--8m-.

Il ne reste plus qu'à tirer de ces dernières les valeurs de Q\ G' , et à les substituer dans les équations (399), (323), pour obtenir les valeurs complètement déterminées des deux inconnues Vo f ^o*

Il est bon d'observer qu'en vertu de la formule (3i8) , on a

(3a5) — ■ = -- 1 f- = f--^=^<sm i— cos- J + -ii-{cos sm-J.

^^ ' as ds* V ds av t( v a\ «./) «,( va v)

dJ Telle est la valeur générale de la quantité — , c'est-à-dire , du changement de courbure qu'éprouve la lame circulaire à l'extrémité de l'arc s , dans le passage de l'état naturel à l'état d'équilibre.

Si, dans les formules (324)» on suppose

(3a6) a=z2nv,

elles donneront

TTv

Donc alors on tirera des équations (322) , (325) et (525)

IIL* ARN^B. 4i

^o = — { 1 — cos — ) 4- — I — C08 sin — ) ;

tT \ dJ i j , s

Lm équations (328) et (329) déterminent la ûf^ute que prend la ligne moyenn anneau élastique d'une très-petite épaisseur , lorsqu'à l'aide d'une section faite per culairement à cette ligne , on la transforme en une portion de spirale dont les extr sont très-Toisines , et qu'après avoir rendu cos extrémités fixes, on laisse l'équilib tablir. Si, dans la dernière de ces équations ^ on pose ^ = 0, 4 = frt, ou s = on trouvera

fis 27rv'

Par conséquent , dans l'hypothèse admise, la différence entre la conrbure de la spi la courbure primitive de la ligne moyenne de l'anneau sera la même aux deux extr de la spirale que dans le point situé h égale distance de ces extrémités. Celle diff< est d'ailleurs indépendante de la quantité j , c'esl-à-dire , du déplacement relatii extrémité par rapport à l'autre mesuré dans le sens du rayon t .

Si la lame élastique se réduisait à un demi-anneau , on tirerait des formules ( en y supposant a = irv ,

et par suilo les formules (32 2) , (323) , (525) donneraient

ils . s\ , 7r/-2i ( / s\ S . 3 t\l$ . J\ )

. il s\ . TTJ'Hi { . s s s 4 / s\)

^o = - 1 — cos- H — - — r-isin cos i — cos- > ,

(333) -— = L-L-.i- — ssm .

(5i9) Si le rayon v deTenait infiniment grand , ou , on d'autres termes , si la lame élastique était droite, les formules (3io) , (Sig) » (Ssai) , etc.. deviendraient inexactes. En effets l'équation (980) n'entraîne l'équation (3 10) que dans le cas où le rayon ^ conserve une valeur finie. Dans le cas contraire » Téquation (a8o) se réduit à ^o ==& o , ou , ce qui revient au méme^ à la seconde des formules (33) , et devient identique pour une valeur nulle de la force accélératrice. Alors aussi , en faisant coïncider dans l'état naturel la ligne moyenne avec l'axe des x , on trouve t = o , ê=zx, Ç, = y, , «jo = ^o . et il faut remplacer les équations (3 10) » (3i 1) par les formules

auxquelles se réduisent , quand X ei Y s'évanouissent , les équations (97) , (98) du % 1.**. Or, en intégrant les formules (334) et (335) de manière que l'on ait 1.* pour

Xs=zO

(536) ç. = o, *ïo = o, -^z=o,

s/ pour x = a

(357) ç*=i, no—j. -ir—^'

on en tirera

(558) Ç. = i-. (359) fl.=j P-.

L'équation (339), V^^ représente, dans l'état d'équilibre, la ligne. moyenne d'une lame élastique naturellement droite , est celle d'une parabole cubique. Ce résultat était facile à prévoir d'après la forme de l'équation (355).

Si Ton suppose en même temps que les quantités «R , S , P, $ s'évanouissent, et que la lame courbe se meuve, les équations (299) , (5oo) , (5oi) et (5o4) donneront

( d(va,) )

„,,, A»/ dij . dx, rfïj , 1 d'J\ (^ ds )

( Sso )

Dans le mémo cas, lei formnles (5o8), qai devront être vérifiéet pour nne estf4nilé libre' de la lame élastique , deviendronl respectiitament

II importe d'observer qu'en yeitu de Téquation (540 I^ condition (344) pout être remplacée par la suivante :

(34?) "rf7^=^-

La valeur de / tirée de la formule (34 1) « savoir, (348) / = JLi;iîL,

est évidemment très>petile par rapport à Texpression

lorsque, pendant la durée du mouvement, les quantités

dt\ • 5FÎ

restent comparables entre elles. Supposons qu'il en soit ainsi ; ce qui exige que la valeur initiale de

ds V

demeure très-petite , quand on la compare aux valeurs des déplacements 7, ^ ^o • Oot pourra , dans la combinaison des deux formules (348) , (349) , réduire la première à

ou , ce qui revient au même , à

de manière que la condilion (344) soit yérifiée pour j = o cl pour s = a. Si d'ailleurs OD désigne par f{s) et ({s) les valeurs initiales de Vo et de ^o •

sera la valeur initiale de 1 , et les formules (76) , (77) du Mémoire sur rapplication du calcul des résidus aux questions de physique mathématique donneront

(3d7) i = — Scos— i ^ -"

"-^/■""^k'w-^fw

du ,

le signe S s'étendant à toutes les valeurs entières positives ou négatives de n. On tirera ensuite des formules (34o) et (34 1)

=/•(*)+"'/;/; ^rf*'.

(358) et

(359) o\ = n>)+^f'JjcU^.

OU , ce qui revient au même ,

HT! t.*

7i»7r'v' + fl*

et (56i)

1 — cos

a(n*7rn» + a»)^f

si„iîIi/'.inJlILJn,)i-f(.)L.-.

Il est facile de trouver la relation qui doit exister entre les fonctions f{s) et ({s) pour que la valeur de / se réduise à un seul terme , et se présente sous la forme

7 = — cos

afn'ïrH* + a*)^f . tins

— i-^ — sm

av a

n désignant une valeur particulière de n , et 0 une quantité constante. En effet » pour obtenir cette relation, il suffit de poser t=zo , dans l'équation (36b), qui donne alors

(5«5) (565) /v(,)^f(,)=^,îni»Jl.

Ajoutons que» si dans les formules (SSy)» (36o)» (56 1) on substitue la valeur de

tirée de Téquation (365) , savoir,

G . nTTf* sin

ces formules coïncideront, la première avec Téquation (56a) , et les deux dernières avec les deux suivantes :

.•:^,v ^/ V . ^ îï^^' ( n(n«irH> + a»)îf ) tilts.

(365) *o = f («) + G -rr-T-; — Tl * — ^^' "^ ^— >sin .

Les équations (564) » (565) expriment un mouvement régulier do la lame élastique circulaire , dans lequel les mêmes vibrations se reproduisent périodiquement^ la durée d'une vibration étant la valeur de t donnée par la formule

Le son correspondant à un mouvement de cette espèce a pour mesure le nombre N des vibrations exécutées pendant Tunité de temps , ou , ce qui revient au même , la valeur

de — déduite de la formule (566). Or on tire de cette formule « en écrivant n au

lieu de n ,

puis , en posant

on en conclut

^569) iV = Ji(n«+-^)\

( 3a4 ) Dans l'équation (368), w représente Tangle au centre qui correspond à l'arc de cercle avec lequel coïncide la ligne moyenne de la lame élastique. Si l'on veut déduire de celte même équation les nombres de vibrations relatifs aux sons les plus graves que puissent fournir des mouvements réguliers du genre de ceux dont il est ici question , il faodra prendre successivement n = o, n==i, n=:a , etc.. , et l'on trouvera en conséquence '

(':») «^U^^"^)'- «'U'+iPf- "-U^+'^l «-•••

Si la lame devenait droite, on aurait «-= o , et la première des équations (Sjo), réduite à

coïnciderait, comme on devait s'y attendre, avec l'équation (laS).

Si la ligne moyenne de la lame est un arc de 5o degrés (nouvelle division) , on aura V = ^ , et les formules (370) donneront

(5,0 N = ^ygï., N = ±^, 'if^±^, etc.. \ ^ ^ aa 4 9a 4 aa 4

On trouvera de même, i."" en supposant l'arc a de 100 degrés; ou v = — ,

(372) N = !- — , N = î— ^, N=^ !^-^ , etc.;

^ ' ' aa a aa a aa »

2.** en supposant l'arc a équivalent à la demi -circonférence , ou «- = ir ,

(373) /V = — i/r, A^ = — i/T, yv = — i/TS, etc.. ;

Sic

3.° en supposant Tare a équivalent aux trois quarts do la circonférence , ou •* = — »

(574) N = ^y^, N = ^^. ^ = ±^^^, etc.;

^ '^' aa a aa a aa a

4.* enfin , en supposant l'arc a équivalent à la circonférence entière,

(375) iV=î:— v/r. N = — 2\/T, iV = — v/Ts etc....

Il Miit de la formule (36g) qne l'angle «- restanl le môme , obacun des sons rendo»* par une lame élastique circulaire, dans le genre de mouvement que nous considi&rons , varie en raison inverse de la longueur de la lame. Si , au contraire , la longueur a demeure constante » le nombre N sera d'autant plus grand , et le son d'autant plus aigu que l'angle v aura une valeur plus considérable. De plus l'inspection des formules (571) y (37s), (573), (374) f (375) conduira immédiatement aux propositiotlr que je vaU énoncer.

Si Ton courbe plus ou moins une lame élastique » de manière que la ligne moyenne prenne successivement la forme d'un demi-quart de cercle , d'un quart de cercle , d'un demi-cercle, de trois quarts de cercle, ou d'un cercle entier,

1.* le son le plus grave rendu par le cercle eatier sera semblable au deiudèikie son du demi-cercle , et plus élevé d'une octave que le premier son du quati de< cercle «

^* le deuxième son du cercle entier sera plus élevé d'une octare qvele preorfet* nmtén demi-cercle ,

3.* le troisième son du cercle enlier ser^ plus élevé d'une octave que le premier son de* l'are équivalent aux trois quarts de la circonférence ,

4.* le deuxième son du quart de cercle sera plua élevé d'une octave que le premier sen du

^emi-quart de cercle ,

etc«t«««

En général, parmi les sons que rendra le cercle entier, ceux qui correspondront à des 'nombres pairs seront plus élevés d'une octave que les divers sens rendus par le deniicercle, ceux qui correspondront à des nombres miikiples de 3 seront plus élevés d'une octave que les sons rendus par l'arc équivalent iiux trois quarts do lacirconfiirencey.en-r fin ceux qui correspondront à des nombres multiples de 4 seront plus élevés de deux. octaves que les divers sons rendus par le quart du cercle.

Remarquons encore que les déplacements '/« et ^o $ déterminés par les équations (364) c^ (365) , deviendront indépendants du temps t , le premier pour les valeurs de $ propres à vériCer la formule

le second pour les valeurs de $ qui vérifieront la formule