D'UNE PLAQUE SOLIDE
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§ 1.*' Considérations générales
Considérons une plaqae solide qui , dans Tétat naturel , se trouve comprise entre deux surfaces courbes très-voisines l'une de l'autre. Supposons d'ailleurs qu'après un chaagement de forme de cette plaque on applique aux molécules qui la constituent des forces accélératrices données et aux surfaces qui la terminent des pressions extérieures normales à ces surfaces. EnCn rapportons tous les points de l'espace à trois axes rectangulaires des w , y , z t et soient , dans l'état d'équilibre ou de mouvement de la plaque^,
m une molécule quelconque ,
^ f y » ^ les coordonnées de cette molécule ,
p la densité de la plaque au point [x^y, z) ,
V la force accélératrice appliquée à la molécule m ,
p\ p" , p''' les pressions ou tensions exercées au point {x,y,z) contre des plans
perpendiculaires à l'axe des x , à l'axe des y et à l'axe des z , A p F , E les projections algébriques de la pression ou tension p' F 9 B , D les projections algébriques de la pression ou tension p" EfD,C les projections algébriques de la pression ou tension p"
On trouvera, s'il y a équilibre [voyez la page i6j],
sur les axes coordonnés.
dx '^ dy '^ dz
dF dB dD , ^ ^
dE dx
dD
dC
pZ = 0.
dy * dz Si, au contraire, la plaque se meut, alors, en désignant par ^ la force accélératrice
t 3«9 ) capable de produire le mouTement effectif de la molécule m, et par ^ , 7, ^
les projections algébriques de cette force sur les axes coordonnés , on trouvera [vojqz 1^ page 166]
dj ^ dF , dE , ,y ^,
rf£ rfD rfC
Dans l'un et l'autre cas , si l'on nomme
0^ f p t y les angles con^ris entre les demi-axes des coordonnées positives , et un autre demi-axe 00^ mené arbitrairement par le point {x,j,z),
p la pression ou tension exercée au point {x,jr,z) contre le plan perpendiculaire k ce demi-cpce et du côlé qui le regarde,
>9 fft, V les aqgles formés par la direction de la force p avec liçs dttmi-axes des coordonnées positives, on aura [voyez la page 16a]
^ pCO8X = ^CO5a + -^COSp-(-jBC0S7 , pC08/x=FcOSa-f.Bc09p + ^^^^7 f \ pC09v = Ec0Sa-f.Z)cO9p+CC0S7 .
Enfin , si l'on suppose le point {x,jr, z) situé sur Tune des surfaces «ourbes qui terminent la plaque, et si l'on fait coïncider le demi-axe 00' avec la normale à ceUe surface , les valeurs précédentes de ;3Cos> , ;3C0Sfx , pcosv devront se confondre , au signe près, avec les projections algébriques de la pression extérieure appliquée h celte surface dans une direction normale. Donc , si Ton désigne alors par P la pression extérieure correspondante au point (a?, 7, z) , on aura encore
/ ^COSa + Fc0Sp + -^C0Sy=r — PcoSa,
(4) < f cosa + 5cosp-|-'^cos7 = — Pcosp,
^ Ecosa 4-/>cosp + <7cos7= — P.C0S7 .
On ne doit pas oublier que ces dernières formules subsistent seulement pour les points situés sur les surfaces ci-dessus mentionnées.
Il reste à faire voir comment des équations (i) , (s) et (4) on peut déduire celie& qui déterminent à un instant quelconque, dans l'état d'équilibre ou de mouvement , la forme de la plaque , et en particulier les divers changements de forme de la surface courbe qui divisait primitivement l'épaisseur de la plaque en deux parties égales. Toutefois , comme la détermina tioi; de cette surface, que nous appellerons surface moyenne, s'effectue de diverses manières, et entraîne des calculs plus ou moins étendus, suivant que l'on considère une plaque élastique ou non élastique , d'une épaisseur constante ou d'une épaisseur variable , nous renverrons le développement de ces calculs aux paragraphes suivants.
§ s. Equations (Véquilibre ou de mouvement <Vune plaque naturellement plane et d'une
épaisseur constante.
Concevons que , dans l'état naturel de la plaque , les deux surfaces courbes qui la terminent se réduisent h deux plans parallèles séparés l'un de l'autre par une très-petite distance. Désignons par 2e cette distance ou l'épaisseur naturelle de la plaque, et prenons pour plan des x , jr celui qui divisait primitivement cette épaisseur en deux parties égales. Supposons d'ailleurs que, dans le passage de l'état naturel à l'état d'équilibre ou de mouvement, les déplacements des molécules soient très-petits. La surface moyenne , après avoir coïncidé dans l'état naturel avec le pion des x , y , se courbera, en vertu du changement de forme de la plaque; mais son ordonnée restera très-petite. Représentons par /{^^y) cette ordonnée. Soient de plus x^y, z les coordonnées d'une molécule quelconque m de la plaque , et s la différence entre les ordonnées ^ < fi^fj) comptées sur une même droite perpendiculaire au plan des x, y ^ en sorte qu'on ait généralement
Soient enfin
les coordonnées primitives de la molécule m. ^ , rt , ^ seront des fonctions de x , y,z, qui serviront à mesurer les déplacements de cette molécule parallèlement aux axes; et, si l'on considère ces déplacements comme infiniment petits du premier ordre, la fonction f[^*y) sera encore une quantité infiniment petite, ainsi que ses dérivées relatives à x et à y. Il est aisé d'en conclure, par des raisonnements semblables h ceux dont nous avons fait usage dans l'article précédent [page s48]» que, si l'on veut prendre pour variables indépendantes x ^ y eï s au lieu de x ^ y eX z , il suffira
( 551 ) ire dans les formules (i) et (a) la lettre « à la place de la lettre s. Ajoutons dans cette hypothèse, les formule» (98) de la page 166 continueront de fournir des irs très-approchées de X>' êT> %' Par suite on troufera , en supposant que. la le reste eu équilibre ,
d^ , dF , dE , ^
dx dy da
dF . dB . dD , ^
f — -+pF = o,
dx dy ds
dE , dD , dC
+ pZ=o,
da dy ds
u supposant que la plaque se meuve ,
dA . dF dE d-^
