EF

r DE

( '9 ) (ga) DG = EH = FI.

Si Ton a égardc)^ ces dernières formules, et que l'on désigne par L ia valeur commune des trois prodaiu DG , EH , FJ , ou trouvera

et Téqualion {i), divisée par DEF , donnera

^y^> \D^ B ^ F) ^ DBF \D ^ E ^ F j DEF '

puis ToQ en tirera

Or cette dernière M représentera jamais qu*an système de plans parallèles , qui se confondront, si Ton a

(96) L^^KDEF = o.

D'ailleurs, puisque les équations (ig)» (20), (91) devront subsister simullnnément, les valeurs de a , p » 7 > propres à vérifier les formules (87) , feront évanouir non-seulement la quantité s , mais encore la quantité » • Donc il existera une infinité de systèmes de plans principaux dont Tun coïncidera nécessairement avec le plan mené à égale distance des plans parallèles représentés parTéquation {i), cW-à-dire, en d'autres termes, avec le lieu des centres de la surface (1). Quant aux deux autres plans principaux , on pourra les faire^ coïncider avec deux plans quelconques perpendiculaires Tun à l'autre , ainsi qu'au premier; d'où il résulte qu'an point quelconque de celui-ci, c'esl-à-dire, un queU conque des centres de la surface (1), pourra être regardé comme le point d'intersection d'un système ou d'une infinité de systèmes d'axes principau::.

Considérons maintenant en particulier les cas où l'équation (26) a des racines égales. Si l'on suppose d'abord que deux racines soient égales el diflerentes de zéro , à la valeur commune r de ces deux racines correspondront une infinilé de directions principales,' qui fv)rmeront, avec les demi-axes des coordonnées positives, des angles a, p,y propres à vérifier les formules (29) et (57), et par conséquent la Aiivanlc

(97) ' £Fcos« + FDco8p4.I>JBcos7 = o.

(io) De plus , chacune de ces directions sera perpendiculaire à un plan principal représenté par l'équation (71)9 ou

(98) (rÇ + G)C0Sa + (ru + £r)C0Sp + {«■? + /)C0Syrs 0.

Or il est clair que cette dernière sera satisfaite, pour toutes les valeurs de a, p, 7 propres à vérifier la formule (97) , si Ton suppose

^99^ EF ~ FD ~ DE

ou , ce qui revient au même ,

(1 00) D (rÇ + G) = £(r« + ff) = F(rÇ + /) .

Donc les plans principaux relatifs aux directionfvprincipales dont il s'agit paéseront tous par la droite dont les coordonnées (» «i » C «eront liées entre elle» par ier deux équations comprises dans la formule (100). D'ailleurs » si par le point {i, n, K) on mène k cette droite une perpendiculaire qui forme avec les demi-axes des coordonnées positives les an;;les a, p, y , la perpendiculaire en question rencontrera ou ne rencontrera pas la sr.i f'^ce (1) , suivant que la valeur de r, tirée de la formule (1 1), sera réelle ou imngiuaii e ; et, dans le premier cas, la distance du point de rencontre au point {^, ri , ç) aura pour valeur

Or celte vult^ur restant la même, pour toutes les valeurs de a, p, y qui vérifient Téqualion (97), il en résulte qu:^ dans Thypothèse admise, la surface (1) sera une surface de révolution , engendrée par un cercle mobile doi^ le plan «era toujours perpendiculaire à. la droite (100) , et dont le centre parcourra cette même droite.

'■■ On arriverait h la même conclusion en observant que , dans le cas oii deux racines de Téquation (26) deviennent égales, leur valeur commune ç vérifie les formules (61), vSt qu'en conséquence Téquation (1) peut être présentée sous la forme

'X.ou) ,{x^+y + z^) + DEFl^-^+-^ + jry + ^Gx + 2Uj +

.Or, si Ton coupe la surlace que Téquation (10s) représente par un plan parallèle h celui dont les coordonnées x, j, z vérifiant la formule (58)», la courbe d*intersectioQ sera évidemnieni située sur la s[>hère dont le centre a pour coordonnées les trois quan-

^^ — — ^ - Z- -i#- , ; et par conséquent elle sera uq cercle dont le cenin»-

se trouvera placé sur le diamètre de la sphère perpendiculaire an plan (58), c'est-à-diré, sur la droite que représente la formule (loo). Lorsque deux racines de l'équation (26^) sont égales à zéro» la formule (102] devient

(io3) Z)EF'(-^ + ^ + -f)'+aCa: + a»7+a/^ = iS:;

* et la surface que cette formule représente , étant coupée par des plans parallèles au plan (58) » donne évidemment pour sections des droites parallèles à celles que déterminent les deux équations

Enfin» lorsqae.Téqnation (s6} a ses trois racines égales , les conditions (64) ^tant rem-' j^es» l'équation (1) se réduit à

(io5) A{x* ^.jr» + ,«) + 2Ca54- a^j4- 9/5 = a: ,

et représente une sphère dont le centre a pour coordonnées les quantités -*-* -7- » *^ -7- »

^— >— . Concevons à présent que» la surface (1) ayant un ou plusieurs centres » on dé-

signe par ( » ^^ C les coordonnées de l'un d'entre eux » et que l'on fasse passer par le centre dont il s'agit un système d'axes principaux. Les valeurs de ol, p, y et s relatives à l'un de ces axes vérifieront la formule (t4)> et» si l'axe coupe la surface» la rayon vecteur r » mené du centre à chacun des points d'intersection » sera déterminé parla formule (11) ou (101). Alors la valeur de s , c'est-à-dire» celle des racines de l'équation (96) qui correspond à l'axe que l'on considère, sera nécessairement une quantité afiectée du même signe que la difierence K^-u; et la dislauce 2 r , comprise entre les deux points d'intersection de l'axe principal et de la surface» sera ce qu'on nomme un aax réel de cette même surface. Réciproquement » si l'une des racines de l'équation (26) est de même signe que la difllérence K — a » la formule (101) fournira une valeur réelle de r ; par conséquent l'axe principal , mené par le centre et correspondant à cette racine» coupera la suriace (i) ^^ ^^"^ points, situés des deux côtés du centre et à la distance r • Gela posé» admettons d'abord que les racines de l'équation (26) soient inégales. Dans ce cas, la surface (1) aura un axe réel» ou deux axes, réels» ou trois axes réels, suivant que l'équation ( 1 ) offrira une» deux, ou trois racines affectées du même signe que la différence K — u\ S'il arrive» au contraire, que deux racine» de l'équation (1) deviennent égales» et si l'on suppase en outre que leur valeur com-

mune soit une quanlilé affectée da même signe que la différeiice £ -r tf , alors la surface (i) sera de révolution autour de Taxe priodpal que fournira la trobième racine, et le plan mené par le centre perpendiculairement à cet axe coupera la surface suivant un cercle dont chaque diamètre pourra être considéré comme un axe réel. Enfin , si les trois racines de Téquaiion (a6) sont égaler et affectées du même signe que la différence IC — tt , la surface (i) deviendra une sphère dont chaque diamètre sera un axe réel.

Si l'une des racines de réquation^(s6) éuit nulle Ja surface (i) n'aurait plus de centre que dans le cas où Ton aurait en même temps w :^ o ; et» dans ce dernier cas , elle se réduirait à une surface cylindrique [voyez la page i5]. Alors aussi » en posant « = o dans l'équation (loi) , on en tirerait r= oo ; ce qu'il était facile de prévoir.

En terminant cet article , nous remarquerons que» dans l'équation (i) » les coefficients D , E » F s'évanouissent» umtes les fois que les axes coordonnés aont parallèles à trois directions principales» et les coefficients G , H , J tontes les fois que l'origine est un centre de la surface. En effet » si Taxe des x est parallèle à une direction principale » on vérifiera nécessairement les équations (s 5) en prenadt pour a une certaine racine de l'équation (96)» et posant de plus

cosa = dii| eos^ = 0) cos^sso. \

Par suite les deux dernières des équations (aS) donneront

(106) . fî = o» F = o.

On trouvera de même » en supposant l'axe des jr parallèle à une direction principale »

et» en supposant l'axe des z parallèle à une direction principale»

Donc» si les trois axes coordonnés sont parallèles à trois directions principales» on aura en même temps

Enfin» si l'origine est un centre de la surface que Ton considère » les équations (19)» (30), (91) devront être satisfaites» quand on y réduira les coordonnées S» >Q» C à zéro; et l'on aura en conséquence