C. + C — + etc. = — P, C. + Ci^+ete.=o, a o

Il est important d'obserrer que , dans les formules précédentes , les quantités

Fo, ^o, />o,

^O , Do 9 Co ,

représentent i.** les projections algébriques des pressions ou tensions exercées contre dos plans perpendiculaires aux axes coordonnés en un point de la ligne moyenne, 2.'' les projections algébriques de la force accélératrice appliquée au môme poinL

Il reste à montrer ce que deviennent les formules (1 5) et (16) dans le cas où la quantité t est très-petite. Or, si l'on néglige dans une première approximation tous los termes qui ont pour facteur t' , comme on devra le faire effectivement si » la quantité i étant du même ordre que les déplacements i , n ^ K , on attribue au temps t une valeur peu considérable, on tirera des formules (16)

(49) ^0 = 0, Do = o,Co — — P; E, = o, D, = o, C\=o,

puis des formules (i5)

dAo , dFo , Y ^^" I ^^o i V

Les formules (20) expriment les relations qui, dans le cas d'équilibre, subsistent eu chaque point de la surface moyenne entre les projections algébriques de la force accélératrice appliquée à ce point et des pressions e?:ercées contre des plans perpendiculaires aux axes

lil.* ARFÉE. 43

( 534 ) d<:s a; et /. Quanta la formule (21], clic indique qu*une plaque» natureliemenl plane , (ït d'une épaisseur constante nuis très -petite , no peut rester en équilibre, après un cliangement do forine presque insensible, à moins que les forces accélératrices ne soient dirigées à très-pou près suivant des droites parallèles aux plans qui terminent la plaque. (Vest ce qu'il était facile de prévoir.

Supposons h présent que la quantité i , quoique fort petite , devienne très-supérieure aux valeurs numériques des déplacements Ç , >i , C. Pour obtenir une approximation nouvelle , il suflira de conserver dans les formules (i5) et (16) les termes proportionnels au carré de t , en continuant de négliger les puissances de t d'un degré supérieur au second. Or, en opérant ainsi, on tirera des formules (16)

fc'. = — -A\. 0, = — -/)., C, = — P — -C,.

Ou conclura d'ailleurs des formules (i5), en supprimant dans la valeur de C\ les termes proportionnels au carré de i ,

Par suite on aura , en conservant dans le calcul les quantités de Tordre de t' ,

et celle des formules (i5) qui contient Z„ donnera Il est important d'observer que les six quantités

renfermées dans les premiers membres des équalions (20) et (27) , sont les seules qui entrent avec la variable s et la constante t dans les valeurs approchées des pressions ou tensions ^

quand on pousse Tapproximalion à l'égard de A , F , B jusqu'aux termes qui sont du même ordre que i , et à l'égard de E , D , C jusqu'aux termes qui sont de l'ordre de t'. En effet, les valeurs approchées dont il s'agit sont respectivement

(28) A = Ao + A,s, F = Fo + F^s. B=^Bo + B,s,

/ et

(29) E = E. + E.^ = E,{^i-Çj , /) = /), + />. -il = Oo(i-^) .

(30) C = Co + C\ — .

(32) C = />4.^pZ,(t» — «»).

Les équations (ao) et (27) sont les seules qui, dans le cas d'équilibre de la plaque solide , subsistent pour tous les points de la surface moyenne. Supposons maintenant la plaque terminée latéralement , dans son état naturel , par des plans perpendiculaires au plan des x , y , ou par une surface cylindrique dont les génératrices soient parallèles à l'axe des z . Si cette surface cylindrique est soumise à une pression normale (j^ différente de P, alors , CQ désignant par

a, p et 7 = —

les angles que forme avec les demi-axes des x , j ei z positives la normale à la surface cylindrique prolongée en dehors de la plaque , et remplaçant , dans les équations (4), P par ($ , C0S7 par zéro , on trouvera , pour tous les points situés sur le contour do la plaque,

(33) ^co8a-[-Fcosp = — ^i^cosa, Fcosa + iîco»p = — $cosS, EcoèoL+ Dcosp = o; puis, en combinant les équations (33) avec les formules (28) et (29) » on en conclura

(34) (^o4-ï')coSa + /ï'„cOS? = 0, F.C0Sa4.(5,4.$lc08p = 0, (55) /i.C08a4-/ï',C08P = 0, F.COSa + ^.COSp = O ,

(36) EoCoin + DoCosp = o ,

OU , ce qui revient au même ,

Les cinq condilions exprimées par les formules (34) » (35) et (^7) devront être remplies pour tous les points situés sur des portions libres de la surface cylindrique qui terminent latéralement la plaque donnée. Quant aux points situés sur des portions fixes de cette même surface , ils devront satisfaire à d'autres conditions que nous allons faire connaître.

Soient

(38) ç = Ço+5.«+ç. — + ... , « = >ï.+'ï.«+iï. — + ... , ç = ç.+ç,*+ç. — + ... ^ / a a a

les développements de Ç , >j , 2; considérés comme fonctions de x^ y ci s suivant les puissances ascendantes de la variable s * Se » I0 > (o représenteront les déplacements du point {x,j) de la surface moyenne mesurés parallèlement aux axes coordonnés; et, en négligeant dans les valeurs de E , n » C les termes proportionnels au carré de i , on aura simplement

(39) ♦ Ç = Ço + Çi5, nz=vio + nt8f C = Ço+5«'-

Cela posé, admettons qu'une portion de la surface cylindrique, qui terminait latéralement la plaque prise dans l'état naturel , devienne fixe, ou plutôt que, parmi les points situés sur une portion de cette surface , ceux qui appartiennent au contour de la surface moyenne deviennent fixes, les autres étant assujétis de manière que chacun d'eux se trouve toujours placé sur une même génératrice de la surface cylindrique. On aura, pour les points situés sur la portion fixe de celte dernière surface, non-seulement

(4o) 5o = 0 , >ïo = 0 , Ço = 0 ,

(557) mais encore Ç = o cl «i = o ^ quel que soit r . Par suite on tirera des formules (3g)

(40 ït = o, »ï, = o.

Dans le cas parliculier où la plaque solide est rectangulaire et terminée latéralement par des plans perpendiculaires aux axes des x et ^ , les formules (34) , (3J5) et (37) donnent 1.® pour les points situés sur la surface supposée libre de Tun des plans perpendiculaires à Taxe des x ,

(4s) Ao + '£ = o. F. = o,

».* pour les points situés sur la surface supposée libre de l'un des plans perpendiculaires k l'axe des j ,

(45) Bo + 9 = o. F, = o,

(46) Bt = o, F, = o,

Si l'on yeut considérer la plaque solide, non plus dans l'état d'équilibre » mais dans Tétat de mouvement; il faudra , dans les équations (20) , (37) et dans la formule (37) , remplacer les quantités

(48) JTo, X,; n; Y,. Z,. Z,, Z,

par les différences

(49) ^•— 7p"'^'— "57^'^*"7F' "^77^*^ TF' ^'"HF'^^'^lû^'

Cela posé, on tirera 1.^ des équations (so)

. X dAo , ''-^o , y rf*5o dFo , dBo , «. rf*»o

rfa; ^ «^ ^ "^ • "^ rff ' (/« ' dy ' "^ " «^ rft»

a.* de l'équation (97) , on réduisant le polynôme

( 338 ) an seul terme ç„ ,