III.* ANNÉE
Si l'on désigne par » la somme des deux premiers termes compris dans la valeur ■ de V [voyez la formule (56)] , et si l'on pose en conséquence
dl dn
» exprimera évidemment la dilatation superficielle qu'éprouve , en vertu do changement, de forme de la plaque , le plan mené par le point (s ^ { , ^ — ») parallèlement au plan des x , y. Si d'ailleurs on représente par
» =: If. + *!* + »» + €lC... ,
le déFeloppement de » considéré comme fonction des Tariables x, jr, s , sdiTabC les puissances ascendantes de « , on aura
et les formules (66) , (67) donneront
Dejilus, les équations (69) deriendront
et Ton conclura de ces dernières , en les combinant par voie d'addition , après avoir différencié la. première par rapport à x , et la seconde par rapport à j ,
E^fin Téqualion (37) donnera
Lorsqae, dans la formule (89) , on remet pour », sa valeur tirée de Téquation (84) , on te trouve immédiatement ramené à la formule (70).
^i Ton veut considérer la plaque élastique , non plus dans l'état d'équilibre, mais dans Tétat de mouvement , il faudra , dans les équations (69) » (70) , (87) , (88) , et dans les formules (73), (78), (81), remplacer les expressions (48) par les expressions (49)* Cela posé» on tirera i.« des équations (87) et (88)
\ ito» "^ <y« y "*■ ito "*" i(r dt* '
8.* de l'équation (70) » en réduisant le polynôme lu seul terme (o »
De plus, en substituant aux quantités Xr ^ T^ ^ dans les formules (75)9 (78) » (81), les binômes
ou plutôt les valeurs approchées de ces binômes obtenues à Taide de TéquatioD (9s) » savoir y
on trourera
rfx' ' dxdy*f * dm
Dan* le cas particulier où la force accélératrice r devient constante , les formalet (91) et (99) se réduisent à
(97) " T(";ter+»lteT^+-^J+-rfF"-'^-
Si cette même force accélératrice s'éTanouit, la formule (97) donnera (implemeot
Si d'ailleurs on considère un corps élastique comme un système de molécules qui agitswi Tune sur l'autre à de très -petites dislances» alors, en supposant que Télasticité reste k même dans tous les sens , et que les pressions supportées par la surface libre da corps dans Tétat naturel se réduisent à zéro, on obtiendra, entre les constantes désignées par k et par K dans la formule {h^) , la relation
Oa aura doDC par suite 0 = 3, et Ton tirera des équations (90) , en attribuant des valeurs nulles aux forces X, , l'a ,
Ci 00)
(5/rf'e. ■ rf'g.\ ■ 5 rf». ) rf'g.
( 8 V «te* "^ rf/'/ "^ 8 dx ) df ' (5 /</'»). . d*r,o\ 5 rf». ) rf'g.
Sans la même hypothèse , si les pressions P , $ s'éranouissent avec la force 7 , les formules (71), (73), (gS) donneront, pour les points situés sur des portions libres de la surface qui termine latéralement la plaque élastique ,
(loa)
f— 21^ ]<iO$a+--{— — ^ — -)C0SP = 0 ,
\dx ^ dy J ^ %\ dy ^ dx J "^
( -p— 4- — — 7— Icosa + -r T^T" Cosp = 0 ,
f — —4- icosP4- — co8g = o ,
\ dy* ^4 «te* r"'*^^ 4 dxdy
Si la plaque éiaslique était rectangulaire et terminée latéralement par des plans perpendiculaires aux axes des se et j » les formules (loi), (102), (^o*^) donneraient i.*pour la surface supposée libre de l'un des plans perpendiculaires à l'axe des x ,
«^* 4 ^" ' dxdj
(546) s.* pour la surface suppoaée libre de Tun dea plana perpendiculairea à Taxe dea r.
<f'C. . » rf'Ç. rf'Ç.
4 db» r/df4r
Il est boa d'obserTer qu'en vertu de la seconde des équations (loS) ou (io8) , la condition (io6) pourra être réduite à
et la condition (109) à
La plupart des équations établies dans ce paragraphe, et particulièrement les formules (30) , (17) , (34) , (35) , (36) , (5o) . (50 » (9^) » (9-0 » (9«) »ont extraites d'un Mémoire que j'ai présenté à l'Académie des Sciences le jE> octobre i8s8. Ces mômes formules, ou du moins celles que l'on en tire en posant 0 = 3, se sont trouvées d'accord avec les formules contenues dans le Mémoire do M. Poisson , qui était sous presse à cette époque , et qui vient de paraître. Toutefois aux conditions (74) 9 dont la première entraine la seconde , lorsqu'on a égard à la dernière des formules (4o) , M. Poisson a joint une troisième condition qui disparaît d'elle-même dans le cas où la plaque élastique devient circulaire , et dont l'admission , dans les autres cas , nous parait sujette à quelques difficultés.
On peut aisément conclure de l'équation (96) que la vitesse de son dans une plaque élastique d'une étendue indéfinie est précisément la valeur de a déterminée par la formule (65). Si d'ailleurs on suppose 0 = 3, on prouvera, comme dans l'article précédent [page 36g], que la vitesse dont il s'agit est à la vitesse du son, dans un corps solide élastique dont les trois dimensions sont indéfinies , dans le rapport do ^s à |/^=3. Si l'on attribuait au nombre 0 une valeur différeQte de 3 , le rapport entre les deux vitesses serait celui dç |/G» — 7 è f/ë** = G.
L'équation (98) a la môme forme que celle qui a été trouvée sans démonstration dans les papiers de M. Lagrange, et qui a servi de base aux recherches publiées par H."*So* phie Germain dans un Mémoire sur les plaques élastiques couronné par l'institut en i8i5.
( 547 ) GonceTons maintenaDl que Ton considère non plus nne plaque élastique , mais une (ilaque solide enlièrement dénuée d'élasticité. Alors , en adoptant les principes énoncés dans Tun des pfécédents articles [pages 1 85 et 186], et faisant pour abréger
(.1.) k4-K = »K, a.= (ô-i-ji-,
on reconnaîtra que les formules (90) , (9s) doivent être remplacées par celles qu*on en déiiluity quand on substitue» dans les premiers membres, aux inconnues (« » >i« > C» » leurs dérivées relatives à 1 9 savoir ,
dlo drto «'Ço * ' dt ' dt *
et à la quantité
••— d» ' dy
rezpressioB
\da) ' dy ) «f».
dt ^ dt '
Donc, si Ton pose
dlo
dt
dv„ dK, "•' dt *•' dt ""'"
les inconnues «. .
qui représenteront , au bout du te
Uons algébriques de la vitesse d'un point sitaé sur la surface moyenne , devront satisfaire , quels que soient x ei y , aux équations
(ii4)
■7(BTTTV\^'^~dp-r^^^ ^ i^^'^-dT '
Oo lirera d'ailleurs des formules (1 14) * combinées avec les formules (83) et (1 15) ,
(ii6) û'
(548 ) \dt I , ^ dt > \ , dX. , dY, VTT'
dx"" dy^ ]^^ dx dy dt
Eofin , si la force accélératrice s'épanouit , les équations (i i5) et (116) deviendront respectivement
</a?* • dy^ ] dt
Il sera également facile de trouver les conditions qui, dans le cas que nous considérons, devront être remplies pour les points situés sur le contour de la plaque solide.
Nous renverrons à un autre article l'intégration des équations diiTérentielies obtenues dans ce paragraphe.
S 5. Sur Us équations (Téquilibrô ou de mouvement (Tune plaque solide naturelUmcM plane, mais d'une épaisseur variable.
Dans le paragraphe précédent, nous avons regardé comme constante l'épaisseur at de h plaque solide. JSupposons maintenant que cette épaisseur varie ; mais admettons » pour plus de simplicité» qu'étant toujours très-petite, elle se trouve primitivement divisée en deux parties égales pour le plan des x ^ y. i deviendra une fonciioades coordonnées X , y 9 et la plaque solide sera renfermée , dans l'état naturel , entre deux surfaces courbes représentées par les équations (10). D'ailleurs, si l'on nomme «, p, 7 les angles formés par la normale à l'une de ces surfaces avec les demi-axes des coordonnées positives, on aura
, . ces a C0S6 COSoc COS&
(119) — T' — = Tr-- = C0S7, OU — rr — = "TT — = — COS7.
^ J' /di\ fd*\ f^^\ ( \
W; Vd^J \lû) \d^)
De plus , si l'on continue de regarder comme infiniment petits les déplacements des molécules , et , si l'on détermine toujours la variable s par l'équation (5) , les formules (119] subsisteront encore après les déplacements dont il s'agit , la première pour «=-—•, la seconde pour « = s • Par conséquent on tirera des formules (4) i«* pour « = — ^
pcuir s^j=z l
dx tly
iiip fi Ton développe lea quantilés /^» DpC^D^E^F^X^V^Z suivant puâssaoces ascendantes de < à l'aide des équations (i t)» (i 3) ^ (i4) > on trovvera » ieu des formules (i 6] ,
s on en conclura « en n<^^IigeanL.dans qne première approximation les Icrmps du
me ordre que la fon(5tion t et ses dérivées — , -t- . \
* dx dy ■;
•4) £\ = o, P„=3so, Co = o,
JII.*AIfNÉK» * ^''^
( 35o ) Coin posé, les formules (ao) devront être rcmplacvos par les suÎTantes
Quant à la formule (21) , elle conlinuera d'êlre fournie par la première approximaltoii^ Mail elle acquerra do nouveaux termes , fi Ton a recourt à nne approximation noufelie* Concetons en effet qoe^ dans les formules (itt), (iti5) , on conserve les termes proportionnels au carré de t. On tirera de ces formules
\ ^ dx dy i diC dy
^ % dx dif
128 C, = yrf. -— . + « F, — — + iï. -— — — Ca r
dx^ dx dy dy* 6
puis on conclura de celles-ci» combinées avec les équations (1 5) les deux premièix^^ (te# équations (is5) et les équations (ia6),
(5ii )
Par suite celle des équations (i5) qui renferme la quantité C, donnera
OSi).i
De pluf » comme la variable ê comprise dans les équations (la), (i3)» (i4) est uns quaoUlé du même ordre que i » on tirera de ces équations combinées avec les deux premières des formules (is5), et avec les équations (127), {^^9)* (i3o), 1.' en négligeant dans les développements de A, F^ B^ les puissances de i supérieures à la premi&rc
(28) A—A.^A,9. F = Fo + F^s. B = B. + B,s.
9.* en négligeani , dans les développements de E , D , C , les puissances de i supérieures à la seconde
=^(^+^+'»-.)-'(^.â+'.|)-Ti^-s+(»-+«ii.
(3Sa )
Oulro les ëqualious (i s6) et ( 1 5 1 ) qui , dans le cas d'équilibre d'une plaque solid sistenl pour tou« les points de la surface moyenne , il en est d'autres qui aont n au contour de celte plaque, et que nous allons faire connaître. Supposons touj< plaque terminée latéralement par une surface cylindrique dont les génératrices perpendiculaires au plan des x, y. Soient
Ot ■ 7îrr -*^
les angles formés par la normale à cette surface avec ks demi-axes des coordonn sitircs; et concevons que l'on développe ; , )i , ç suivant les puissances ascer de la variable s à l'aide des formules (38). En raisonnant comme dans le $ prouvera q^ie les conditions (4o)« (40 doivent ôtrs vériGées pour tous les poini surface moyenne situés sur des portions fixes du contour de la plaque , et les fo (33) pour tous les points de la surface moyenne situés sur des portions libres du contour. D'ailleurs , en substituant dans les formules (33) les valeurs de A , f D » E fournies par les équations (28) , (i3a) , et supposant, pour plus de siin] 0? = P, on retrouvera encore les conditions (34) , (55) et (37).
Si l'on veut considérer la plaque solide , non plus dans l*état d'équilibre » mai Tétat de mouvement, il faudira , dansées équations (laG), (i3i) et (37), rempla quantilOs (48) par les expressions (49)* Cela posé, on lirera des équations (196)
"^ dy . dBo
dx
et de l'équation (i3i)» en. réduisant le polynôme
in\ seul terme (« »
i-td-J. , d-F, d'B.\ .( . d*i du . du
Quant à l'équation (37)^ elle devra être remplacée par la formule (5i)«
Supposons mainlcnant que ia lame proposée devienne élastique , ci que son élaslicilô Ht la même dans lous les sens. Alors » eu adoptant les mômes notations que dans le se- >nd paragraphe» et combinant les formules (5g) , (6a) avec les équations (is4), (i25), 1 retrouvera les valeurs de Si , lo. » ^i et K^ déterminées parles formules (Ci), (tiu),
lus valeurs de jio, K , B.^ J^, F. , Bt déterminées par les formules (66) , i8), tandis que les quantités U » »« acquerront des valeurs nouvelles. Gela posé, i|'il y équilibre, les équations (126) et (i3i) donneront
in*
rf'iïo g d'^rio 6 + a </«go ir/^»>o 1 Jgo\ di Q /^/g^ ^„oW/m| 75^"*" aO+a rfa?» "*" aO+a //j^/j «L\<6' 0+> ^a- j ^fy"*" aô+a \e/^ ^lïx)'dx\\
Y — ^'^ P i di 0 p t aj
i'/diKo dit:, dH.
y ^-(v '^* j.r di\ i'Iy^dX^ dYA i , au contraire , la lame élastique se meut, on tirera des équations (i34) et (i35) I I £te' a9+a ify» aO+a r^p^^ iL\^ ô+i dy } dx aô+a\'^ c^yr^Jj
1^ |^j?>+20+a flfy'^aQ+a ^«ify'«L\rfr "*"«+» "Sryrfy''"ae+a\"^'*' A? j*»Jj
y d*iio 0-1 P i di
Si l'on admel la relation établie par la formule (99) entre les quantités k ci K , on aura 0 = 3. Alors , en supposant constantes la 4ii*ection et rintensilë de la force iiccélératricc <f » on conclura des formules (i58] » (iSg)
■"'((/x' "*"8 (//' "^Sc/xc/j \dx "^4 d>J i/o? "si dy '^ //^ j (// )
I" ((/jr» "•"» r/;r^ """8 dsdy \ dy "^4 (/j? j r/j 8 \ d> '*' (/x/ c/j ^
"^ ~ (//• "^ e p dy '
l" 3 [dx^'^^dx^dy^'^ dy^l'^ *( \dx^'^ /i dy*jdx*'^2dxdydxdy'^\dy''^fi dx^jdy-
dt'
Hii(in , «i l'on suppose if = o,P = o, et
(i4«) i = c{i+ax + bjr),
a, b , c désignant trois (juantités constantes, les équations (i4o) > (i4i) «lonneront respectivement
' Jd-U 5.^ *llil\ "• ( (j^.lj[n:\ ii^fîL «/.i.\ | rf'g. ('45)1
i(/;y' "^8 rf«' ■*'8 dxdj]' i+«*féy j iflfjy ■'■4 </«j'''8*\fl'/ ^ rf* j ) "" rff •
(.44) -T-(»+«*+Ayr(-5-r+» rfwF + -l^r) + -rfF = ^-
Les équations (i36), (137), ou (i38), (lôg), ci les suivantes sont celles qui, dans Tctat d*équiiiKi*e ou de mouvement, subsistent pour tous les points d'une plaque élastique <lont Tépaisseur est variable. Quant aux formules qui doivent être vérifiées pour les points lî^itués sur le contour de la plaque, elles ne difi^rent pas de celles que nous avons obtenues, dans le S s , en supposant IVpaissenr constante.
SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
D'UNE VERGE RECTANGULAIRE
(«onsidcroDs une Ycrge solide qui , dans l'état naturel, ait pour axe une ligne droii?^ ou une courbe plane. Supposons d'ailleurs que la section fuite dans la viTge par un plijri perpendiculaire à Taxe soit un reclan;;lc dont les deux côtés restent constamment parallèles h l'un des plans menés par cet axe, ou au seul plan qui le renferme. La verge dont il s'agit deviendra ce que nous appellerons une verge rectangulaire, et ton épaisseur fi/t ou st mesurée parallèlement ou perpendiculairement au plan qui renferme l'axe ne sera autre chose que Tun des côtés du rectangle ci - dessus mentionné. Au reste , les (épaisseurs aA » st , que nous regarderons comme très - petites , pourront demeurer constantes, ou varier d'un point de l'axe h un autre, suivant une loi quelconque.
D'après ce qu'on vient de dire, une verge rectangulaire ne diffère pas d'une plaque solide qui serait naturellement plane et terminée latéralement par deux surfaces cylindriques très* rapprochées l'une de l'autre. Si d'ailleurs on suppose que cette plaque solide devienne élastique, et oflrc la même élaslicité dans tous les sons; si de plus, en adoptant les notations et les principes exposés dans l'article précédent , on continue de prendre pour plan des x, y celui qui divisait primitivement l'épaisseur st de la plaque i'Iastique en deux parties égales; les déplacements \^ , >2o d'un point de la surface moyenne, mesurés parallèlement aux axes des x *i.\ y » devront , dans le cas d'équilibre , acquérir des valeurs telles que les formules (20) de la page 35s , savoir,
dx dy dx dy
cl les formules (34) de la page (33G) , savoir,
(2) [Ao + a^)cosa 4. FoCos(5 -=z o , t\co^^ + (Zf« + ^iV<^*> = ^
soient vérifiées, les deux premières, pour tous les points situés sur la surface moyenne (1<* la plaque, et les deux dernières pour tous le^ points situés sur le contour de cette sur l'ace , Ao , Fo , B^ élant des fondions de x , y déterminées par les équation5 (65^ «îc la page 339 , ou , ce qui revient au même , par les suivantes
lions (4) et (5) sont précisément les valeurs de g et de n correspondantes à un point situé sur Taxe de la verge.
En résumé , Ton Toit que , dans le cas d'équilibre de la verge rectangulaire » les déplacements Ço » ^'o d'une molécule primitivement renfermée dans le plan des so^j, et les déplacements So,o # >>o»o d'un point primitivement situé sur l'axe se déduiront des formules (i) , (2) , (3) , (5) » dont la première cl les deux dernières devront être vérifiées pour tous les points de la section failo dans la verge par le plan des x , y, tandis que la seconde devra être vérifiée pour tous les points situés sur le contour de celte même section. Or les formules (1)» (2], (3) , (5) sont entièrement semblables aux formules (i), (4)» (38i), (22) de l'avant -dernier article; et, pour tirer les unes des autres , il suffit de remplacer ji,F,BpXtY,lgii par A^, , Fo » iî© t ^o»
ï'o, Ço, »Jo, P par Ç, n par ^ , K par — ^X. ^ por ^ + 1. enfin Ç. ,
Si 9 .5» ••• 9 Ho p 1» # *3a ••• par Ço»o * 5i»o • Ç»»o » ••• "ofo 9 ^i*Q » ^*a*9 ••••• Ccla posé» en tenant compte des observations fuites à la page 027 , on pourra immédiatement transformer celles des équations de l'avant-dernicr arliclc qui déterminent les valeurs de ^ , r^^ , relatives à l'équilibre d'une lame élasliquc droite ou courbe d'épaisseur constante ou variable y de manière à obtenir les équations qui fourniraient les valeurs de So»a • >}««o relatives à l'équilibre d'une verge élastique et rectangulaire , pourvu que cette lame et celle verge, prises dans l'état naturel et coupées par le plan des x , j , offrent toutes deux la même section. Si, pour plus de simplicité, on suppose les différentes faces de la verge élastique soumises dans tous leurs points h une seule pression extérieure, on devra réduire ^j! k P, cl alors, pour effectuer la transformation dont il s'agit^ il suffira de remplacer dans les formules (60) , (61) , (62) , (67) , (68) , (69) , (71) , (72) , (99), (100), etc.... de Tavant-dernier article, So » >3o t ^o » -^i » I^o t ^i , y% par Ço»o »
>îo,o» -ïo,o» ^1,0, J^o»o . J^«,o, y^fo, K par — ~^ » ® P°*^ ® + ï » «nfin P
0-1 JP par P -f- n = — - — P , la valeur de H étant . Donc , si Ton considère
l'équilibre d'une verge rectangulaire, qui, dans l'état naturel, étant droite et d'une épaisseur constante , aurait pour axe Taxe des x , les déplacements d'un point de l'axe, mesurés parallèlement aux coordonnées x ei jr , seront déterminés par les équations
f^* d^r,^.o t/ . ^'/t/ . dXno\
dans lesquelles
dx
('^) " H^ "?^^ — "^ "^^) " ^•'•+-6-l^"-+» -zr) +*-5r'^—
Concevons enfin que, dans l'état naturel» la verge élastique, douée d'une épaisseur constante » offre pour axe une courbe plane , et que le plan de la courbe coïncide avec celui des x. y. Si l'on nomme $ l'arc de cette courbe , v son rayon de courbure , T son inclinaison par rapport à l'axe des x , si d'ailleurs on pose
(i5) 7==ÇcosT + >ïsinT , ^ = «cost^gsint9
(i6) rS==^cosT + y»in'f * ^\= ycosT — ^sinr ,
et si l'on désigne par 7o»o » ^o.o * c!Ro,o • S.,o les valeurs de v , * , k , <S » correspondantes à des valeurs nulles do r ^ r\ les quantités 7o»o > ^090 représenteront les déplacements d'un point de la courbe , mesurés dans le sens de la tangente et de la normale; puis, en faisant pour abréger,
, ^7090 Oo»o f aOofo . 7ojo
et remplaçant 1.* — — P par — — P, a." «R. par <R,„ , on tirera des formales (a8o) et (i83) de la page 3o8
(19) a'i + v^.„ + lL = o,
la valeur de ^ étant fixée , non plus à l'aide de l'équation (s8a) [page SoS], mais à l'aide de celle qu'on en déduit en substituant aux quantités
(21) ^0. K, cSl.; So, S., S.
les quantités
(22) ^010» o\t»o » «i'Viio I Oo9o f Oifo » ^s»a ,
fournies par les développemenU de ^ et de S suivant les puissai^ees ascendantes de
( 36i ) r et de r' . Il sera également facile de trouver les conditions qui devront être remplies pour une extrémité libre ou pour une extrémité âxe de la verge élastique en équilibre. En effet, s'il s'agit d'une extrémité fixe, les formules (sôo), (25 1) et (284) des pages (5o2) et (3og) donneront (a3) 7o,o = 0 ,
Quant aux conditions relatives à une extrémité libre, on les obtiendra en remplaçant, dans les formules (28a) , (286) , (288) % la pago 3og, d par G -j- 1 » et les quantités (21) par les quantités (22).
Si l'on voulait considérer une verge élastique et rectangulaire, non plus dans l'état d'équilibre, mais dans l'état de mouvement , il faudrait, en regardant cette verge comme une plaque solide dont la largeur serait très-petite, substituer aux formules (1) les formules (5o) de la page 537, savoir,
Or^ ces dernières étant semblables aux formules (i5) de l'avant-dernier article, il est clair que, dans l'état de mouvement , les équations propres à fournir les valeurs de Ço»« et >}o,e > ou de 70*0 et ^oto * pour une verge élastique rectangulaire, se déduiront des équations propres à fournir les valeurs de go et Ho ou de 70 et ^o 9 pour une lame élastique , à Taide des mêmes transformations que nous avons opérées dans le cas de l'équilibre. Ainsi, par exemple, en remplaçant, dans les formules (82] et (8g) des pages 263 et 264, So , I0 » Xof X^, Y., y,, y, par Ço,o • io,o , ^0.0, ^,.o , l'a»© • Yxto » Y^fo » on trouvera, pour tous les points situés sur l'axe d'une verge rectangulaire naturellement droite et d'une épaisseur constante.
Ajoutons que les conditions (g) et (10) ou (11) et (12), établies dans le cas d'équilibre ,^ et relatives à une extrémité fixe ou à une extrémité libre de la verge, continueront de substituer dans Tétat de mouvement, excepté la dernière des conditions (12) j qui devra être resiplacée par une autre déduite de la formule (giHP^S^ >64], savoir.
Lorsque la force 7 est constante et constamment parallèle à elle-même , on a
et les équations (26), (27) deviennent
(5o) e»illn2l4,^'''°>° ^y.
Alors aussi» en réunissant la première des conditions (12) à la condition (s8) , on trouve pour une extrémité libre de la verge élastique en mouvement
Dans le cas particulier où la force accélératrice s'évanouit , les formules (99) et (3o) donnent simplement
(32) a.i:i^=il!-L^
^ ' dx^ ^ dt*
Si la verge élastique en mouvement était supposée naturellement droite , mais d'une épaisseur variable» alors, en remplaçant dans les formules (i53) et (iSy) des pages 281
et 282 Ço par Ço*o » ^îo par >ïo,o » "^^ P.®^ "n — ^* on trouverait, au bout d*un
temps quelconque t , et pour tous les points de l'axe,
Ces dcrDÎèrcs équalions subsisleDt, dans l'hypothèse admise, pour tous les points situés sur Taxe de la verge élastique. Quant aux conditions relatives h ses deux extrénnîlés, elles coïncideront, pour une extrémité fixe, avec les formules (25), («4). et pour une extrémité libre avec les formules (344) . (545) , (S55) de Tavant-dornicr article, savoir.
UU d-J
ds ' ds^
Ajoutons que, si le rayon de courbure t devient constant, la formule (356) de la page 321 donnera
^^'f ^ y- ^ÎT^ ^^ ds^ ^v« ds^ j d?
Les diverses équations ci -dessus établies déterminent, dans l'état d'équilibre ou de mouvement d'une verge élastique et rectangulaire, d'une épaisseur constante ou d*une épaisseur variable , et dont l'axe droit ou courbe est renfermé dans le plan des x , ^ , les déplacements Ço,o t >}ofo ou 70,0 , ^oto d'un point de Taxe mesurés parallèlemeot à ce plan. Si l'on voulait déterminer en outre le déplacement («,0 d'un point de Taxe dans le sens de la coordonnée z , ou même les déplacements S , 1 , C d'un point quelconque , on y parviendrait sans peine en remplaçant r par r' dans les formules de l'article précédent , puis en développant les quantités A,B,C\DtE,F,if Y] , ( suivant les puissances ascendantes de r,r\ et par conséquent les quantités Ao $ At f y^a , ... fio » Bi • -ff» f ••• Co t C, , C, , ... Do » Dt t /), , ... Eo 9 El , JÇ, , ... Fo , F, , F, , ... ?o » Ç. • Ç, • ... «• , >î, • ». , ... suivant les puissances ascendantes de r. Parmi les formules ainsi obtenues, celles qui détermineront la valeur dp 2;o,« , dans l'état d'équilibre ou de mouvement d'une verge droite, d*une épaisseur
( 365 ) constante ou yariable, coïncideront éndemment avec celles que Ton déduirait des équations (7) , (lo) • (12) , (i4) . (27) . (3o) , (3i) , (33) , en substituant aux lettres h , n et Y les lettres i , K et Z,
Je terminerai cet article en indiquant quelques applications des formules qu'il renferme.
Observons d'abord que , dans le cas oii Ton suppose nulle la pression P et la force accélératrice ? , les formules propres à déterminer les valeurs de Ço»o t yioio ou de 7o»o » ^ofo , pendant le mouvement d'une verge élastique rectangulaire, sont entièrement semblables aux formules de l'avant-dernier article qui déterminaient les valeurs de Ç« , «o ou 7o , ^o pendant le mouvement d'une lame élastique. Par conséquent, dans cette hypothèse, les valeurs do Sot* et de no»o > relatives à une verge droite, qui, étant douée d'une épaisseur constante , présenterait deux extrémités fixes ou une extrémité fixe et une autre lïbfe^ coïncideront avec les valeurs de $0 > I0 relatives h une lame élastique droite, et fournies par les équations (1 14) et (1 15) ou (1 18) et (1 19) de la page s68. De même 4 étant donnée une verge courbe dont l'axe se trouve compris dans le plan des 05 , j , les valeurs de 70,0 1 ^0.0 relatives h celles des vibrations de la verge qui seront indépendantes de l'épaisseur mesurée parallèlement au plan dont il s'agit, coïncideront avec les valeurs de Vo, ^o relatives à une lame élastique courbe, et fournies par les équations (56o), (36 1) de la page 322. Seulement la quantité n, qui mesurera la vitesse du son dans une lame ou dans une verge élasliquo d'une longueur indéfinie sera déterminée, pour une lame élastique, par la formule (62) de la page 258, et pour la verge élastique , par la formule (8). Si l'on pose pour abréger
et si l'on réduit d'ailleurs le nombre 6 au nombre 3 , comme on doit le faire quand on veut exprimer que les pressions supportées par la surface libre d'un corps élastique dans l'état naturel s'évanouissent, les deux formules en question coïncideront, la première avec l'équation (110) de la page 267 , et la seconde avec la suivante
(55) ii=y^.
En comparant la valeur précédente de n , c'est-à-dire, la vitesse du. son dans une verge élastique k la quantité i/îïT • qui représente la vitesse du son dans un corps élastique [voyez la page 269], on reconnaîtra que ces deux vitesses sont entre elles dans le rapport de \/s à \/ë> M. Poisson avait déjà énoncé cette proposition , qui subsiste comme il l'a fait voir, quelle que soit la forme de la surface qui termine latéralement une verge élastique droite.
