pjz.+ ^(z

f/o 9 ^0 t'i^o désignant des fonctions de x ei y déterminés par les formules (Sg).

Les équations (4s) et (43) sont les seules qui subsistent , pendant le mouvement d'une plaque élastique naturellement plane et d'une épaisseur constante , pour tous les points de la surface moyenne. Supposons d'ailleurs cette plaque terminée dans son état naturel par des plans perpendiculaires au plan des x , J ou par une surface cylindrique dont les génératrices soient parallèles à l'axe des z. Si cette surface cylindrique est soumise k une pression normale $ différente de P , et si l'on désigne par

«, P et 7 = Y

les angles que forme avec les demi-axes des x ^ jr ci z positives la normale à la surface cylindrique» prolongée en dehors de la plaque; les conditions (54)t (55) et (Sa) des pages 556 et 338 du III.* volume , savoir,

(44) {Ao + *J?) cos« + F.cosp = o , F.coBa -f- {Bo + $) cosp = o ,

(45) /i.cosa + FiCosp = 0 , -F.cosa + ^.cos^ = o ,

devront être remplies pour tous les points do la surface moyenne situés sur dos portions libres du contour do la plaque. Au contraire, les formules (4o) et (40 des pages 536 o{ 357 du même volume , savoir»

(47) Ço=0, îïo = 0, Ço = 0,

(4B) 5i = o, *ïi = o

devront être vérifiées pour les points de la surface moyenne située sur des portions fixes du contour de la plaque. Il est bon d'observer i."" qu'en vertu des équations (4o)» les formules (4G) et (48) pourront être réduites aux suivantes»

, I dHo , rf'Ç. ^\ (d-V. . d'F. „\

rfg.

a.* qne des formules (45) et (49) combinées entre elles on conclara , en négligeant les termes proportionnels ou carré de • ,

. dF, /y -rfZ. rf'l7.\

-*^*p[^'+-z^-dn-j

(rfF. dB, (

dZ,

Il ne reste plus qu'à substituer, dans les formules (44)» (4^) et (49) ou (Si), les valeurs de /f 0 9 F09 Bo, At , Fi t j9i , fournies par les équations (33) et (4i).

Si Ton voulait considérer une plaque élastique , non plus dans l'état de mouvement » mais dans Tétat d'équilibre, il suffirait de supprimer, dans les équations (4^)» (43) et (49) • tous les termes qui renferment des dérivées relatives à t.

Revenons au cas oh la plaque élastique se meut. Alors les deux inconnues Ço > >i* » qui mesurent les déplacements parallèles aux axes des x ei y pour un point quelconque de la surface moyenne, pourront être déterminées à l'aide des équations (4^) réunies aux conditions (44) ou aux deux premières des conditions (47)» en sorte que les valeurs générales de ces inconnues seront indépendantes de la valeur initiale de (« , et par conséquent de la forme de la surface moyenne à Torigine du mouvement. De plus , après avoir déterminé Ço et Ho » on déduira des formules (39) les valeurs de 17o » P^o> et de l'équation (43), réunie aux conditions (45) et (5i), ou à la dernière des conditions (47) et aux formules (5o) , la valeur générale de Co« Si l'on suppose en particulier que , pendant la durée du mouvement , les déplacements £« » «lo > mesurés parallèlement au plan des x ^ y , restent très-petits relativement à l'ordonnée Co de la surface moyenne, ce qui exige que les valeurs initiales de Ço * «lo soient elles-mêmes trèspetites relativement à la valeur initiale de C« ; alors, en négligeant tous les termes qui renferment So ou «i» , on tirera des formules (Sg)

(5a) Do = o, V.=io.

Par suite les équations (40 • (4^) deviendront respectivement

' dx^ dy^ dxdy (U^ dy^ dxdy

^'Co

dx""

ÙJiih

rfj;4

el les équatioDs (âo) » (5i) se réduiront aux suivantes

Les diverses formules que nous venons d'élablir se simplifient , lorsqu'on suppose la plaque élastique extraite d'un corps solide qui offrait trois axes d'élasticité rectangulaires et parallèles aux axes des x, j, r. Alors les coeiTicients u , v, w, u', v', w', u'', v'', w' s'évanouissent, et les formules (26), (27)» (28), (29), (3o) , (5i), (52) se réduisent à

(57) a = a — — , b = b — — , ( = f, îl = o, t = o, f = f— --. ce c

tJ = — , t» = o .

Alors aussi on tire des formules (Scj)

C dx c dy c

Par suite les valeurs de A^ , B^ , F^ . A, , B, , F, , déterminées h l'aide des équations (33), (4i), deviennent

^. = -^j(ac-e-)-^4-(fc-de)i^-/>e

(fc d,,)^+(bc-d')^-/>d}.

\ •"" Uj- ^ dxj'

rfs*

rf'Ç.

/*. =— af

et tes formules (42) , (4^) donnent , pour un point quelconque de la plaque élastique ,

ac-c* rf'Ço , . rf'Ç. , afc-de rf'», , -, <<»Ç.

rf'uo , bc-d« dUo , afc-de i/*Ço

dfr'

(Ixdy

Quant aux conditions qui deirront être vérifiées, dans l'hypothèse admise, pour les points situés sur le contour de la surface moyenne» on les obtiendra immédiatement, si les bords de la plaque sont libres, en substituant les valeurs de Ao ^ Bo 9 Fo p ^t , B, , F, dans les formules (44) » (4^) » (56) , et elles coïncideront , si les bords de la plaque deviennent fixes , avec les formules (47) et {5u).

On peut encore remarquer la forme que prennent les équations (42) et (54) dans le cas oii Ton suppose la force accélératrice 7 et les pressions P, Ç réduites à zéro. Alors ces équations deviennent respectivement

^ dxdy ^ dy- ^^ dx- ^^'^ ^ dxdy ^ dy- ^ di'

dx^ d^r.„

dxdy d^Tio

dy^ dy^

d^Ko

dxdy dy^

dy^ ■U-- =(

dt^

(»4) On voit par ce qui précède comment les rarialions de l'élasticité influent sur la forme des équations qui déterminent les mouvements d'une plaque élastique. Les formules qu'on avait obtenues en supposant que l'élasticité restait la même dans tous les sens ne renfermaient qu'un seul coefficient dépendant de la nature de la plaque. Mais cette supposition ne s'accorde pas avec les phénomènes observés par les physiciens; et» pour obtenir des résultats comparables à l'expérience , il faudra généralement recourir aux formules (4s) , (54) . (64) 9 etc. , après avoir déterminé les six coefficients qu'elles renferment, et qui tiennent la place des quinze coefficients compris dans les équations générales du mouvement d'un corps élastique.

SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT

D'UNE VERGE RECTANGULAIRE