IV. • ANN&E

( «6 ) dx f^y \ '(r '^'^ !

\ dx ' dy ' \ dy ^ dx 1

dx ' dy ' \ dy ' dx I

Il est essentiel de rappeler que , dans les équations (i) , (y), (5) , o désigne la densité de la plaque» i*egard6e comme constante; P, 0? les pressions supportées i." par les plans qui terminent la plaque du côté dos z positives et du côté des z négatives, 2.* par les plans ou surfaces cylindriques qui la terminent laléralcmenl; X^ , l'« les projections algébriques sur les axes des x et y de la force accélératrice appliquée à un point quelconque do la surface moyenne; et a , S les angles formés avec les deaiiaxes des j? et j' positivrs par la normale élevée dans le pLiu (1rs x , j sur le cou tour de celte surface.

Concevons maintenant que » la plaque élastiffue étant réduite h une veri^e rectangulaire, on désigne, comme dans Tarticle précédent, par i, n, ^ les déplacements parallèles aux axes d*une molécule quelconque m qui correspond, dans Télat de mouvement, aux coordonnées X, y, z; par X y y , Z 1rs projections algébriques de la force accélératrice appliquée h cette molécule; et par yl , F , E; F , B , D; E , D p C les projections algébriques des pressions ou tensions exercées au point (x^y.z) contre trois plans parallèles aux plans coordonnés. Soient de plus r , r' les distances comprises dans Télat de mouvement i.° entre iaxe de la verge et la droite menée par la molécule m parallèlement \x Taxc^ des z , 2.'' entre la molécule m et le point de la même droite qui se trouvait primitivement renfermé dans le plan des ^ » y* EutiD supposons que l'on dé\eloppe les quantités ;,':.?, A', Y, Z , ^ , B , C\ D , E , F, considérées coumie fonctions de x , r el r\ suivant les puissances ascendantes de r, r' ; et joignons en conséquence à la formule

(4) ç ^ 5.,, + ?.,,r + ÇoM r' + — (f„o^' + «Çf.rr' + Ço..r'*) + ctc

toutes celles qu'on en déduit quand on y n^nplace la lellre S par l'une des lettres 71 , }^ , X , Y y Z , A , B , C , I) , E , F. Les fonctions de a? et de j , désignées dans les formules (1) , (2) , (3) par Ç» • "o . X^ , Y^ , Ao , Fo, Bo se confondront avec les valeurs de i,ri,X^Y,A,F,B correspondantes à r' = o. Donc elles seront données par des équations de la forme

(o) Ç. ^= Ço,o + 5i»o»*4"Ç».-o elC... , >Jo =riofo +*ïi»o^ + «afo h^^C*"*

Riniiarquons d'ailleurs que les deux quanlilcs dési^jnécs par Çoto > yioo dans les équalions (4) et (5) sont préciséiiienl les valeurs de Ç et de >î correspondantes à un point situé sur l'axe de la verge.

En résumé , l'on voit que , peudant le mouvement d'une verge droite et rectangulaire , l<*s déplacements Ço » >:o d'une molécule primitivement renfermée dans le plan des js , y , et les déplacements Soto » »o>o d*uu point primitivement situé sur l'axe, se déduiront des formules (i) , (2) , (3) , (5), dont la première et les deux dernières devront ô(re vérifiées pour tous les points de la section faite dans la verge par le plan des x , j , tandis que la seconde devra être vérifiée pour tous les points situés sur le contour de cette même section. Or les formules (1), {9^) , (5) sont entièrement semblables aux formules (2), (4), (22) des pages 246, 247» 25o du III.*' volume; et, pour tirer les unes des autres, il sufBt de remplacer A,F,B,J[,Y^i,ri par Aot'Fof Bo , Xo,

io,lo,>'o, p parle, ^=-^ par -^^ , g-^-^—par ^^j^ , enfin

?o > ^i » Ça * ••• *Io • *3i » Il • ••• par Ço»o 9 ?i>o r. Çâ*o » ••• "^oo • "^i*© » ^%to » .•#.••• viClB

posé, on pourra immédiatement transformer les équations qui expriment le mouvement d'une lame élastique droite et d'épaisseur constante, c'est-à-dire, les équations (46) de la page 255 du III.' volume, de manière à obtenir les équations du mouvement de la verge droite et rectangulaire qui, étant coupée par le plan des x, y , offrirait la même section que la lame élastique. En effet, pour opérer la transformation dont il s*agit, il suffira, dans les équations (46) de la page 255 du III.' volume, de substituer aux quantités

les quantités

et alors, en réduisant le polynôme

A» (it^ * 2 dt* ' dr

au seul terme — "''* , vis à-vis duquel les deux autres peuvent être négligés, on

trouvera

fto*

Il ne reste plus qu'à exprimer les quantités A^^o > A^,o , produites par le dévelop^ peinent de Ao suivant les puissances ascendantes de r, à Taide des dérivées partielles de £o>o f 'ïofo- Pour y parvenir, on observera d'abord que la section primitivement faite dans la verge par le plan des x , y était comprise ealre deux droites parallèles à l'axe des x et représentées par les équations

Or les deux courbes » dans lesquelles ces deux droites se transforment en vertu des déplacements infiniment petits des molécules » diO^rent infiniment peu de ces mêmes droites. Donc« si Ton désigne par « » 6 les angles que forme la trace du plan normal à l'une de ces courbes sur le plan des x , y avec les demi-axes dos a; et / positives, on aura sensiblement, c'est-à-dire» en négligeant les quantités infiniment petites,

(9) cosa = o, cosp=:qpi;

et les équations (ti) donneront à Irès-peu près , pour les points silués sur les courbes dont il s'agit ,

{10) /ï'o = o, /;. = — le-

De plus , comme une droite primitivement parallèle à l'axe des y et propre à mesurer la demi-épaisseur h de la verge dans Tétat naturel , changera très-peu de longueur et do direction en raison des déplacements iufinimcut petits des molécules « il est clair que» pendant la durée du mouvement, — /t , + '^ seront à très-peu près les valeurs de r correspondantes aux deux courbes déjà menlionuées. Donc, en vertu desformules (10) réunies aux équations (3) , on aura, sans erreur sensible , pour r = — A et pour r j^li t

L dx dy \ dy dx ]

\ dx ^ dy ^ \ dy ^ dx 1

^ ( >9 ) pu» en substituant , dan$ la |>reinière des équations (3) , les valeurs des fonctions

/y ' dy ^ dx '

tirées des foriuulcs (i i) > savoir,

dlo </.!. (blP-î>t>)P+it9? î>f-be dl,

dy "^ ds ~~ bf-î)' bC-î»* rf* '

rf,. (cp-î>tp)p-f'i' flt-cf «<5.

«(r ~ bf-îi' bf-î>' *<* '

et faisant pour abréger

ïif-bf . fî>-rf ,

ttbc-oi'-be'-ff'+aM

on trouvera

CoDcevons à présent qu'en ayant égard h la première des équations (5) , et à l'équation analogue

(i8) A. = yio.o + -^i.o^ + '^•»o — + etc.. ,

on développe les deux membres de la formule (17) suivant les puissances ascendantes de T. Si Ton y pose ensuite successivement r = — A , r = h , on en conclura , en négligeant les termes proportionnels au carré de A ,

(.9) ^„. = p.a.il^4.n, (20) ^.,. = pii«-£^.

D'autre part, en prenant a; et r pour variables indépendantes au lieu de x , j , et fiiisant

(bu)-î»o)P+î>'i? , {cv-im)P-(':C

^''' — bTï- = " ' — bFT' — = " •

on tirera dis équations (i3) réunies aux Ibniiules (i4)

' ' tir dx dx ^ dr dx

puis, m développant les deux membres suivant les puissances ascendantes de r, posant r^=±li , et négligeant les termes de Tordre de A , on trouvera

Par suite Téqnation (»o] donnera

Si maintenant on substitue dans les Tormulos (G) et (7) les valeur^ de //««o . -«^i.. fournies pur les équations (19) et (24) > on obtiendra les suivantes :

Les équations (^5) et (26) sont les seules qui , pendant le mouvement d'une vergo élastique naturellement droite, subsistent, pour tous les point» de Taxe, entre les variables indépendantes x ^ t , et les déplacements Ço>o # ^o»o mesurés parallèlemeot au plan des x , jr> Ajoutons que , les fonctions (o»o > >i»>o étant supposées connues, on déterminera sans peine les valeurs approchées des pressions Aof F^ , B^ et dei déplacements (o > ^9 relatifs à un point pris au hasard dans le plan des x , y. En effet les équations

(27) So ^^^ Ç050 "T" Çijo^ 5 îlo ^^ "ïojo "T"'ïi>o'' >

réunies aux formules (1 9), ()t3) el (24)» fourniront les valeurs de f», y;, , A^, aux quan-

iiiés prùs lie l'ordre de A*. Qiianl aux valeurs approchées de t\ , B^ , elles seront déterminées par des équations semblables aux formules {^y) de la page a5d du III.* volume, et que l'on déduira immédialemcul de ces formules en écrivant

au lieu de

l'\ B, Ç. , r:. , A\, y,, ^. , cl P,

On Iroiivera ainsi , en négligeant les leriîics proportionnels au cube de h ,

M ''—i\^*'(^--'^]k-'-^- fi.=-tf4f(i-...-^) ('.—).

Il est maintenant facile d'établir les conditions particulières auxquelles doivent satisiiiire les deux fonctions Ço>u > ^o.o pour les points situés aux extrémités de l'axe de la verge. Ellectivemcnt , si l'on suppose la V( i'|^c terminée du côté des x positives et du eôlé des x négatives par des plans perpendiculaires à l'axe, et qui supportent en chacun de leurs points une nouvelle pression désignée par P , on aura , pour ces mêmes poiiLls ,

(5o) yiz=p, F = o;

puis , en posant dans les formules (5o) r' = o , on trouvera

(30 Ao = — ^. Fo=:o.

Enfin, après avoir substitué dans ces dernières les valeurs de A» , F„ tirées des équations (28) et (29) , on en conclura

OU, ce qui revient au môme, eu égard aux formules (19), (aS) , (24), (26) et (26),

Les conditions (54) ot (55) devront «Irc remplies pour chacune des diMix extmniiés delà veryc élastique , si ces deux extrémités sont libres. An contraire , si ces extrémités deviennent fixes, ou plutôt, si, les exlrcmilés de l'axe étant fixes. les point» renfermé* dans les plans qui loruiincnl la vcrgo du côté des x positives ou négalîves, sonl assujettis de manière à n'en point sortir, on aura, pour les abscisst^s correspondantes aux plans dont il s'a,i!;il , non-seulement

mais encore

quelles que soient les valeurs de r,r, et par conséquent

(58) ;,.,. — To,

ou f ce qui revient au niùinc ,

Si la verge élastique offrait une exlrémllé libre et une extrémité fi\e , les conditions (5.V; , (55) devraient être vérifiées pour la première extrémité, et les conditions (56), (57), (5()) pour la seconde.

Les équati«>ns el condiiions ci-dessus établies siifllscnt à la détermination contplète des inconnues Ço.o . »îo.o qui représentent, pour un point quelconque situé sur Taxe de la verge, les déplacfmenls n)e«urés pnrallolement au plan des x^ r. Si Ton voulait déterminer en outre le diplacemcnt ^010 de ce point dans le sens de In coordonnée z , on y parviendrait sans peine en échanj^eanl entre elles, dans les calculs qui précèdent, les quantités qui correspondent à l'axe des y et h Taxe des r. Alors on retrouverait toujours les équations (C) , (19) et (20) , ainsi que les conditions (54)» (56). Mais les équations (7), (so), (25), (24)» (26) seraient remplacées par d'autres équations de la forme

(^^) " y (-5^4 — « -iteT-J + -571-= '2- -^- Tr '" + '^ -ir-] •

fi, C, n, , n, désignant quatre nouveaux coeiBcieoU dont les valeurs seraient dounéos ^r des formules semblables aux équations (i4) ou (si), et i l'épaisseur de la verge mesurée parallèlement à Taxe des z^ Pareillement à la place des conditions (53), (67) y (Sq) on trouverait celles-ci

(45) — 7-r- = »-7i7- • "*-t::t-=^o„ + — t:: ft

///»X j, wÇo50 43 "S090 1 ,,

En résumé » pour obtenir k valeur de l'inconnue Çoi 0 » il suffira d'intégrer Téquation (s5) de manière à remplir, pour chaque extrémité libre de la vergd, la condition (54)» et pour chaque extrémité fixe la condition (56), De même on obtiendra la valeur de l'inconnue i7o«o » ^ l'aide de l'équation (26) réunie aux conditions (55) , ou bien aux conditions (5;) et (og), et la valeur de l'inconnue Ço>o > ^ l'aide de l'équation (44) réunie aux conditions (45) » ou aux conditions (46). Ajoutons que, les inconnues Ço*o > loro » Çofo étant une fois déterminées , on pourra fixer la valeur approchée de ï à l'aide des formules (25) et (42) réunies à la suivante

(47) Ç = Ço,o + Çnur + Ço,ir',

OU, ce qui revient au même , à Paidc de la formule

«8) 5 = ï.,. + (*ik^- ^ + „-).+ («^-^ + n,).'.

Effectivement , si l'on regarde les épaisseurs 2 A et 21 comme des quantités infiniment petites du premier ordre , la valeur générale de $ , ou le déplacement d'un point quelconque de la verge élastique , mesuré parallèlement à Taxe des x , sera déterminé par l'équation (48) avec ifne approximation qui ne comportera qu'une erreur du second ordre seulement.

Si Ton voulait considérer une verge élastique, non plus dans l'état de mouvement,

IV*. AlflfÉB. 4

mais dans Télat d'équilibre, il suffirait de supprimer, dans les équations (a5) , (s6)« (.^4) , les dérivées relatives à t , savoir,

d*ioyo d*lHoyo d*Ko90

dt* • dt* • dr

}i dans la seconde des formules (55) ou (45) , le terme

dYojo dZ

qui, en vertu de l'équation (96) ou (44) ..^i^re très-peu do l'expreMion

dxdn ' dxdf '

Revenons au cas où la verge élastique so meut. Si Ton suppose cette verge extraite d'un corps solide qui offrait trois axes d'élasticité rectangulaires et parallèles aux axes des X , j, z » les neuf coefficients désignés dans l'article précédent par

s'évanouiront, et les constantes tt,t',^,^,^,f, U,t),lD seront déterminées par les formules (5;) , (58) du même article. En conséquence les formules (i4) » (>5)« (16) et (si) donneront

// V i- , dc-cf

(So) pix'

Lc-d' abc - ad* - be * - cf » + a def

de-cf ^ , df-bc .

On trouvera de même, en substituant aux quantités k , 1 , n\ 11' les quantités A, t p Ht 9 ^t » ^^ en échangeant entre elles i.* li^s deux lettres b et c , 2«* les deux lettres c et f , 3.* les pressions P et U^,

( tS)

bc-d» *

(«) "•=»■ "•"-bî^*-^"- •

Gela posé, dans Thypothëse admise» les équations (a6), (44)» qui fournissent les valeurs de «e»o » (o»o relatives à un point quelconque do Taxe de la verge» deviendront respectivement

tandis que Ton aura » pour une extrémité libre »

rfj!» ' rfx» "" ' <te

rf»t.,. „. rf'Ç.,. V . «'^«o

et pour une extrémité fixe

log) >2o,o = o , — — = o ,

Au reste » il n'est pas nécessaire de recourir à l'Iij^othèse dont il s'agit pour obtenir les équations (55) , (56) avec les conditions (67) » (58) » (59) , (60) , et Ton retrouvera encore ces diverses formules» si Ton suppose les valeurs de (««o » ^o»o constamment nulles» pendant le mouvement de la verge élastique» ainsi que les deux pressions extérieures P» 5?.

Concevons h présent que la force accélératrice f devienne constante et constamment parallèle à elle-même. Admettons en outre que les trois pressions extérieures P, ^ » P s'évanouissent. Alors on aura

(«6) Par tuile les équations (aS) . (55) , (5(>) donneront

d*lo,o , V '^'t

^ ' 6 dx* ^ dr —''

(63) fl.il .^1^4.^

3 i1f4 ^^ ai*

Dans le même cas, les condîlions (36), (Sg), (60) devront être remplies pour une cxirémilé fixe de la verge élastique. Mais les conditions (34) , (67) , (58) , relative! k une extrémité libre , devront être remplacées par les formules

(fi5)

dx*

d^fiofo

dx^ =**

Enfin, si Ton suppose que la force accélératrice 7 s'évanouisse, les équations (61), (69) , (63) deviendront respectivement

(67) ftv'''^"'« — '''^"•'^

dx* dl'

(68) a-— iliirL4. ^""«''^

3 dx^ ■ dr

(69) a» il ^'^->- + ^'^- =0.

^ •'^ 3 flx^ ^ dt*

La constante a , comprise dans la plupart des formules que nous avons obtenues , représente évidemment la vitesse du son dans une verge élastique droite, d*ane longueur indéfinie. C'est du moins ce que Ton prouvera sans peine , h Taide de réquation (67) , en raisonnant comme nous Tavons fait à la page t6g du IIL* volume. D'totra

(»7) part p s! Ton nomme i la dilatation linéaire de la verge élastique mesurée en un point quelconque x , y , z suivant une droite parallèle à Taxe des x , il suffira , pour déterminer i « de réduire , dans la formule (g) de Tarticle précédent , l'angle a à

zéro , et chacun des angles p , 7 à — ; en sorte que Ton trouvera

Donc Téquation

qui subsistera, en vertu de la formule (ig) • pour chacune des extrémités de l'axe de la verge élastique , pourra s'écrire comme il «uit

(711) ^=pû»f + n.

Ajoutons que les quantités a et n , dont la première est déterminée par la formule (i5), pourront être facilement exprimées en fonction des pressions P» $, et des quinze coeflicients a , b , c , d , e , f , u , v , w , u' , v', w', u', v'', w*, renfermés dans les équations (5), (6) de l'article précédent. En eflet^ l'équation (17) étant le résultat de l'élimination des expressions (is) entre les formules (3) et (10), et les formules (3) se confondant avec les formules (a5) ou (33) de l'article précédent, c'està-dire , avec celles que produit l'élimination des quantités

dx'^ dt * dy'^ dz ' dz

entre les équations (5), (6) et (aa) du môme article, il est clair que l'équation (71) pourra être immédiatement fournie par l'élimination des cinq quantités

^ ^ ^O.^ ^u.^ ^JL.^ ^'^^ dy ' dz' dz'*' dy ' dx'^ dz ' dy '^ dx

entre les formules (5) , (6) do la page a et les suivantes

Dans le cas particulier où les pressions P« $ s'évanouissent , la formule (71), ré duite à •

(75); ^=f*^'Sv

est celle que l'on trouve quand on élimine les expressions (73) entre les formules

et les équations (5) , (6) de Tarticle précédent. Alors aussi on tire de la formule (71)

Donc » pour obtenir le carré de la vitesse da son daûs une ver^ élastique qui a pour axe Taxe des x , il suffit de chercher ee que deviennent la quantité A , c'eat4dire, la projection algébrique sur Taxe des x de la pression ou tension p' sup- .portée par un plan perpendiculaire à cet axe» et la condensation ou dilatation ={rc mesurée parallèlement au même axe, tandis que les deux autres composantes de la pression p\ et les pressions p', p"' supportées par des plans perpendiculaires aix axes des 7 et s s'évanouissent; puis de diviser la quantité A=^^ip' parla condensation ou dilatation qpi et par la densité p. Cette proposition subsistant d'ailleurs , quel que soit l'axe de x , peut être remplacée par le théorème suivant.

TuitORBHB. Une verge élastUiuô étant extraite dCun corp$ solide homogène qui w! offre pas la même clasticUé dans tous les sens , pour obtenir le narré de la vitesse du son dans cette verge indéfiniment prolongée^ il suffit de chercher ce que deviennent, en un point quelconque du corps solide , la dilatation ou condensation linéaire zhi , mesurée paralèllement à Caxe de la verge » et la pression ou tension p' supportée par un plan perpendiculaire à cet axe, tandis que les pressions ou tensions principales se réduisent Cune à p\ les deux autres à zéro, puis de diviser ta ditatafion ou condensaiian zb I par le facteur p' et par la densité p .

Le rapport qui existe pour une verge élastique et rectangulaire, dont les faces latérales sont soumises à des pressions extérieures nulles , et dont l'épaisseur ou les épaisseurs soQt très-petites , entre la pression ou tension supportée par un plan perpendiculaire à l'axe et la condensation ou dilatation mesurée suivant cet axe» est ce que nous nommerons désormais l'élasticité de la verge. Cela posé , il résulte du théorème précédent que , dans une verge élastique» extraite d'un corps homogène» et indéCniment prolongée» la vitesse de propagation du son est proportionnelle à la racine carrée de l'élasticité.

Nous terminerons cet- article en indiquant quelques applications des formules qu'il renferme. •

(»9) Observons d'abord que, si la force accélératrice 7 et les pressions extérieures P. •$, P s'évanouissent, les valeurs des inconnues ^«10» *)ofo> (o>o » déterminées à Taide des équations (67) , (68) , (69) et des conditions (36) , (Bg) , (60) ou (64) , (65) , (66) , dépendront uniquement de la vitesse û, des trois dimensions de la verge élastique, et de son état inilial. Donc ces valeurs ne différeront pas de celles qu'on obtiendrait «n conaîdérant une verge élastique extraite d'un corps solide dont rélasticîlé resterait la même dans tous les sens; et elles seront semblables [voyez la page 365 du III.» volume] aux valeurs de ?» • «o relatives à une lame élastique droite. On doit en conclure que les relations trouvées dans le IIL* vohnne [pag^s «70 et suivantes] entre la vitesse a , la longueur ou l'épaisseur d'une lame élastique, et les sons produits par les vibrations IcHigitudinales ou transversales de cette lame, continueront de subsister pour une verge élastique homogène, lors même que l'élasticité de celte verge deviendra variable avec la direction de son axe. Ainsi , par exemple , si l'on nomme a la longueur de la verge élastique, et N le plas petit nombre de vibrations longitudinales que cette verge, Supposée libre , puisse exécuter pendant Tunité de temps, on aura

De plus le nombre des vibrations transvenvales exécutées par la même verge parallèlement h l'axe des y , ou parallèlement à l'axe des z , sera l'une des valeurs de — fournies par l'équation (i84) [p^g^ ^70 ^^ IH.* volume] ou par celle qu'on en déduit, quand on substitue l'épaisseur f àTépaisseur h. Donc , si les deux épaisseurs h et i deviennent égales , les vibrations transversales exécutées parallèlement aux axes dès y et z pi*oduîront toujours les mêmes ftoos. Il était important de voir si cette conclusion , qui peut paraître singulière quand on suppose la verge extrerte dlun corps solide dont l'élasticité n'est pas la même dans tous les sens , serait confirmée par l'observation. Ayant consulté , à ce sujets M. Savart , j'ai eu la satisfaction d'apprendre que des expériences qu'il avait entreprises , sans connaître mes formules , l'avaient précisément conduit au mémo résultat.

En considérant, dans cet article et dans le précédent, des plaques ou des verges élastiques extraites de cor|>s solides qui n'offraient pas la métat éiasifeité ea tous 9ens , j*ai supposé que ces plaques ou verges étaient naturellement planes ou naturellement droiteis et douées d'une épaisseur constante. Mais on pourrait, par des calculs du même genre, établir les équations d'équilibre ou de mouvement de plaques ou de verges naturellement courbes ou d'une épaisseur variable , et l'on obtiendrait alors des formules analogues à celles que j'ai données daas les derniers articles du III.* V0lame.