DES UGNES DROITES OU COURBES

DE FOBMB CONSTAITTE OU VABIABLE.

Comme les méthodes que j'ai employées dans les applications du calcul infinitésimal à la géométrie fournissent le moyen de simplifier en plusieurs points les calculs relatifs è la génération des surfaces par le mouvement des lignes , j'ai pensé qu'il ne serait pas inutile de reproduire ici de nouveau la théorie de ces surfaces. Tel est l'objet que )e me propose dans les paragraphes suivants.

S 1.^ Equations finies des surfaces engendrées par le mouvement des lignes.

Considérons une ligne droite ou courbe représentée par deux équations qui renferment, avec les coordonnées rectangulaires x , ^, z , deux paramètres ou constantes arbitraires C ot Cl- Si Ton résout ces équations par rapport aux constantes dont il s'agit, on en tirera

i; et u; désignant deux fonctions des variables x , j , z. De plus, si Ton attribue successivement aux constantes Q, Qt une infinité de valeurs arbitrairement choisies, la ligne représentée par les équations (i) changera de position , souvent même de forme, sans décrire aucune surface déterminée. Mais, si l'on établit entre Q et Ci une relation quelconque , si Ton suppose , pour fixer les idées ,

f(C) désignant une fonction de la constante C » '^^ équations (i), réduites aux deux suivantes

IIL* AHNiE. 4

(5) ^ » = Gf w = ?(G)»

représenteront une ligne dont la forme et la position seront complètement déterminée» pour chaque râleur particulière de la constante G* Donc» si Ton attribue successivement à cette constante une infinité de valeurs , la ligne en question se mouvra de manière à engendrer une certaine surface. Ajoutons que Téquation de cette surface sera évidemment celle que produit Téllmination de G entre les formules (t) , savoir,

(4) w — ff{v).

I.*' Exemple» Concevons que l'on demande Téquation générale en termes finis d'une surface eylindrique, c'est-à-dire, d'une surface engendrée par le mouvement d'une droite qui reste constamment parallèle à elle -> même. Si l'on nomme a, P^ y les angles que doit former cette droite prolongée dans un certain sens avec les demi -axes 4es coordonnées positives » et sc« » ^o , «« les coordonnées d'an point qu'elle renferme , elle pourra être représentée par les deifx équations compijses daqs 1|l formule

,c\ ^"^o y "jo ^"^o

COSa 005^ COS7

D'ailleurs on tire de cette formule

a;COS^ — jCOSa s= d?oCOS^«— yoCOSoe , â;C0S7 — ZCOSa =r «0OOS70 — eoC08a« ^

ou, ce qui revieul au même^

(6) «COSp — jrC0Sa = G> a?C0S7 — zC08a = G, f

G' Cl désignant, pour abréger» les deux quantités constantes a?oCosp — joCosa». a0oCOS7» — ZoCosa». Cela posé, si l'on attribue aux constantes G} Qt une infinité de valeurs , sans étoblir qntre G et G» aucuqe relation , la droite représentée par les équations (6) pourna. se mouvoir de manière à remplir successivement tout l'espace. Mais, si L'on suppoae Gt = ? (G) « les équations (6) » réduites à

(7) «cosp — ycosa=G r a?C0S7 — zco8a=^(G)>

représenteront la génératrice d'une surface cylindrique , et celte surface, représentée ellemême par l'équalion

(8) d?G0S7—- 2G08a=: f(â?C0SP*-7C0Sa) >

( «7 ) aura une forme et une position dépendantes de I9 fonction f •

On pourrait encore présenter l'équation finie d'une surface cylindrique sous une autre forme que nous allons indiquer.

Pour qu'une droite mobile reste parallèle à elle-même, il suiBt qu'elle soit la ligne dlnlersection de deux plans mobiles qui demeurent respectivement parallèles à deux plans donnés. Or les équations de ces plans mobiles seront de la forme

(9) ax + bjr^cz = C , Ax + By + Cz = Q^ ,

a , b , c , A , B p C désignant des constantes déterminées , et Q » G» ^^ constantes arbitraires. Donc les équations de la génératrice d'une surface cylindrique pourront s'écrire comme il suit :

(10) ax + by + cz=: Q y Ax + By + Cz = tf{Q). Si Ton élimine O entre ces dernières , on en tirera

(11) jéœ + By + Ct = (f{ax+by'^cz).

Il esl aisé d'en conclure que , pour obtenir l'équation finie d'une surface cylindrique , il suffit d'établir une relation quelconque entre deux fonctions linéaires des yariables X , jr ^ z. Dans le cas oii l'on réduit ces fonctions linéaires aox premiers membres des formules (7) , la formule (11) se trouve remplacée par l'équation (8).

a.* Exemple. Concevons que l'on demande l'équation générale en termes finis d'une surface conique, c'est-à-dire, d'une surface engendrée par une droite mobile qui passe constamment par un point donné. Si Ton nomme x» » jot z. les coordonnées de ce point « ou, en d'autres termes» les coordonnées du sommet de la surface conique, et a , p , 7 (es angles formés par la génératrice avec les demi -axes des coordonnées positives, cette génératrice sera représentée par. les équations (5), desquelles on tirera

y-yo cosp z-Zo C0S7