Îil^C08pC08^74- 2jj'C0SaC0s'74- 2U)*'c0SaC0SPC

31. 0» «» ÎD, «» ^. U. lï. m. ïi'. D'» 10'' ir» D^ lO'' désignant de nouvelles constantes qui seront exprimées à l'aide des quinze coeiBcients a^ b, c» d, e, f , u , V , w , u', v', w', u', ?', w^ L'équation (26) fait voir comment la vitesse de propagation du son , dans une verge rectangulaire infiniment mince , extraite d'un corps élastique , varie avec les angles a , p , y qui déterminent la direction que prenait dans ce même corps Taxe de la verge.

Concevons maintenant qu'à partir du point {x^y^z) on porte» sur la droite qui forme avec les demi axes des coordonnées positives les angles «» p, 7 » une longueur dont le

carré représente le produit ^i/p*» ^^ désignoni par x + ^f J'^J^ ^ + i 1^^ coordonnées de l'extrémité de cette longueur. On aura

cosa cosp CO87

et l'on tirera do la formule (s5)

(aS) m^^ + Bj^ + €z* + 2ÎDy«' + «€«•*" + a^x'y»

+ axHUy2 + dzx+ttïxy) + 2ynU'y2 + l)'zx + ttï'xy) + 2z'(U'y2+^^^

Cette dernière équation appartient à une surface du 4** degré qui a pour centre le point (^>7»2) » c^ > comme le rayon vecteur mené de ce centre à un point de la surface est d'autant plus grand que la vitesse a est plus petite , on peut affirmer que la vitesse A acquiert une valeur minimum quand ce rayon vecteur devient un maximum, et une valeur maximum quand ce rayon vecteur devient un minimum. Dans l'un et l'autre cas , les coordonnées x , y , z de l'extrémité du rayon vecteur vérifient la formule

2tx'+-/y+«z*+uyz+D«+ttïxy+ -^ (ttïx-+ttrr+tirz')+— (Dxvt)'y+trï')

ai

ax

= i^x«+0y>+ÎDz'+M'yz+trzx+tirxy+ ^ (Hx«+uy+UV)+^ (ttJx'+Hry+ttrz') ==== «x'+DyHCz'+U'yz+ÎTzx+lU'xy + — (lïx'+tï'y*+ iJV)+ -^ (^^^

Donc par suite, lorsque la vitesse u deviendra un maximum ou un minimum, on

aura

/ 3lcos*a + ^cos*p + (gcos»7 + Ucospcos'/ + l)cos7Cosa + ttIcosacosS

^^^ (tDcOS'a + ttï'cOS*? + ttf C08'7) + -^^^^ (DcOS » a + D'cOS-p + D'cos^y)

acusa ^^' . — . . — w 2C08a

= ^COS'a + JQCOS'P + Î5C0S*7 + n'C0sPc0S7 + 1)'C087COSO -j- {D'cOSaCOS^

= (gcos'a + JDCOS'P + €C0S*7 + ÏI''C0SPC0S7 + lJ'coS7C0Sa + tD'coSaCOS^

cosa

COSP M!«

^. J±JL- (|jcos*« + U^cos'p + t)'cos«7) +-^^ (Ucos«« + ircos-p + ll'cos»7)

(37) Si le corps solide que l'on considère offre trois axes d'élasticité rectangulairet entre entre eux et parallèles aux axes des x , jr , z , les neuf coefficients

s'évanouiront; et les formules (20) , réduites aux suivantes

a -— 4-f-7- + e---=pn»«cos*a, dx dy dz ^

donneront

dl ^ (bc-d*)co8»a+(de-cf)co8*p+(fd-bc)cos»y

dx ^ * abc-ad*-bc»-cf*+adef '

. V I ^ (de-cf)cos«a+(ca-e*)co8'P + (ef-ad)cos«y

^*^^ Wj' ^ * " .abc-ad*-bc*-cf» + 2def ;

£/Ç (fd-be)co8*a+(ef-ad)cos*P'f(ab-f')cos«7

rfT abc - ad • - be • - cf • + adef '

tandis que l'on tirera des formules (21)

Idiï . d^^ cospeosy d^ . dl ^ cosvcosa ^4-^-pû« — â— , -4-^=pû.. .

«ï I *** ^, cosacosS

Par suite l'équation (aS) deviendra

^'*^ ■wïr = 2l^^**"+flc®**P+€cos474-2jDcoa*pcos*74->«Jeos»y^^^

les valeurs de 3l»0*€*]9»(Er^ <lant respectivement

(58) bc-d>

abc-ad*-bc»-cf' + adcf *

ca-e*

abc-ad*-bc*-ef' + adef

ab-f»

abc-ad»-bc»-cf» + adef

ef-ad . I

abc-ad'-be'-cf*+adef ad '

fd-be ^i

abc-ad*-be*-cf'+adef a« *

de-cf

abc-ed*-be*-cf» + adcf af

et les diverses valeurs du produit n^p auront pour mesure les divers rayons yecteurs menés du point {x,y, z) à la surface représentée par l'équalion

2lx* + fly* + €** + aJDy'2* + a€2"x5 + a^x'y» == I.

Alors aussi, en désignant par a', il* , a^ et par a, , a, , As tes valeurs de a correspondantes h des verges dont les axes seraient parallèles aux axes coordonnés , on diviseraient les angles formés par ces derniers axes en parties égales» on trouverait i.*

•H^ = pfi' "71^ = ''^'

A l'aide des équations (35) et (36), on peut fixer les valeurs des coefficients 31 > 0 » C • 1D > € » ^» lorsqu'on a déduit de Texpérience celles des vitesses a', ûf^ ii''\ A, ; il, , A|, Ajoutons que, siT^n pose

COS« = COSp = COS7 = ± -7^=- ,

|a formule (3i) donnera

(4o) EnfiQ, si l'élasticité du corps est la même dans toos les sens /la condition (45) de la page SOI du troisième Tolume, savoir ,

(44) L = 3iB,

sera remplie, et les formules (43) donneront

Gela posé, l'équation (40 pourra être réduite à

(46) n. = liî = ll.

OU , ce qui revient an même , à

Cette dernière formule coïncide, comme on devait s'y attendre, avec l'équation (55) delà page 565 du troisième volume des Exercices-