ENTRE LES PRESSIONS OU TENSIONS
SUPPORTÉES PAR DEUX PLANS QUELCONQUES EN UN POINT DONNÉ D'UN CORPS SOLIDE.
Nous ayons prouvé^ dans le second volume des Exercices [page 4^] que» si par un point donné d'un corps solide on mène deux axes qui se coupent à angles droits» la projection sur le premier axe do la pression ou tension supportée par un plan perpendiculaire au second sera équivalente h la projection sur ce second axe do la pression ou tension supportée par un plan perpendiculaire au premier. Nous allons maintenant faire voir que la même proposition s'étend au cas où les deux axes forment entre eux un angle quelconque. Effectivement soient OL » OM deux axes ou plutôt deux demi -axes menés arbitrairement par un point donné d'un corps solide. Rapportons d'ailleurs tous les points du corps ù trois axes rectangulaires des x ^ y , z; et nommons
les angles formés par les demi-axes OL , OM avec ceux des coordonnées positives. Soient enGn
Pi f p» les pressions ou tensions supportées au point O , et du côté des demi-axes OL , OM , par des plans perpendiculaires h ces demi-axes »
^19 Pi » '•'x 9 \ les angles formés avec les demi-axes des coordonnées positives par les ( p. > ^a > p, , v, , pressions ou tensions | p» »
tr, l'angle formé par la direction de la force p, avec le demi-axe OM , «r, l'angle formé par la direction de la force p, avec le demi-axe OL ,
A , F , E p \ l<^s projections algébriques des pressions ou tensions supportées au point F , B , D , )Of et du côté des coordonnées positives, par trois perpendiculaires aux E f D , C , ] axes des x , y , z.
On trouvera
y:7iCos>, = -^co8a, -f-Fcosp, +jEC097i ,
(0 [ /^iC08f«i=FC0S3t,+BC0Sf,4-^C0S7x ,
/9(C09Vi = JScosa, + DcosPi + Ccosjt ,
{*) C05«r, =C0SX,C0Sa, + C0Sp,C0Spa-J"<^0Sv,C0S7, ,
et par suilo
( /?,COS«r, = ^COSûtjCOSa, 4-^COSf , C0SJ5, -J- CCOS71COS7,
l+^(cOSf..C057a+COSf5,COS7x)+E(COS7.COSa,+COS7,C09a,)+F(cOSa.COSf5,+CO?X,C^^^^
Cela posé, concevons que Ton vienne à échanger entre eux les demi-axes OL , OJi. En vcrlu de cet échange, le premier membre do Téqualion (3) se transformera dans le produit /},cosra , tandis que le second membre restera invariable. On aura en conséquence
(4) P:, tu S S- , :— /; 1 COi zr , .
Or les produits ;>.cosv, , pacosv, représenteront, au signe près, les projections de la force p^ sur la droite 031 , et de la force p^ sur la droite OL. On pourra donc énoncer la proposition suivante.
TniumÊME. Si par un point donne cCun corps solide on mène deux axes nui forment entre eux un ari^lc quclcorK/ue, la projection sur te premier axe de la pression ou tension supportée par un plan perpendiculaire au second sera équivalente à la projection sur ce second axe de la pression ou tension supportée par un plan perpendiculaire au premier.
Il est bon d'observer que de ce tbéorémo, ou de l'équation (5) qui le renfcrmo, on peut immédiatement déduire les formules (7), (8), (10), (11), (12), (i3) et (i4) de Tarticle précédent.
