D'DNE VERGE CYLINDRIQUE OU PRISMATIQUE A BASE QUELCONQUE

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Considérons une verge élastique qui se confonde ^ dans Télal naturel , avec un prisme ou un cylindre droit» dont la base, renfermée dans un contour de forme arbitraire» offre des dimensions très-peliles. Rapportons tous les points de l'espace à trois axes rectangulaires des X, j, z, en prenant pour axe dos x une droite comprise dans l'épaisseur de fa verge et parallèle aux arctes du prisme ou aux génératrices du pylindre dont il s'agit. Supposons d'ailleurs la verge soumise à une pression extérieure » mais constante, désignée par P ; et soient , pendant le mouvement de la verge ,

les projections algébriques des pressions ou tensions que les plans , menés par le point [x^y,z) parallèlement aux plans d^s j, z» des s, œ ctdes a?, j^, supportent du côté des coordonnées positives. Soient enfin Q oi R deux points correspondants à la même abscisse x , et situés l'un sur Taxe des x , l'autre sur la surface latérale de la verge élastique. Si l'on nomme « # P » 7 les angles formés par la normale h cette surface avec les demi-axes des coordonnées positives , on aura

(a) cosa = o, cos'P + cos»7= I ,

et par suite

(3) C0S7 = rt 8Înf>;

puis y en faisant coïncider le point {x^y^z) avec le point R , on tirera des formules

(4) de la page 329 du troisième volume

f cosp + £cos7 = o , {Z? + P)cosp + Z>cos7 = o, Z>cosp+(C4-iP)cos7 = o.

Ily a plus, comme les valeurs de A , B , C , D , E ^ F ne varient pas sensiblement lorsqu'on déplace le point {x^y^z) d'une quantité très-pelite, les formules (4) seron encore k très-peu près exactes , si l'on substitue au point R le point Q. Ajoutons

(44) que cette conclusion restera vraie , quelle que soit la position du point R sur le con* tour de la section faite dans la verge par un pian perpendiculaire à l'axe des x et correspondant à l'abscisse x. Donc» si ce contour présente une courbe continue, et dans laquelle la direction de la normale varie d'un point à un autre par degrés insensibles , on pourra considérer les formules (4) comme devant être vérifiées , pour un point Q choisi arbitrairement sur Taxe des x , quel que l'angle p , ou , ce qui revient au môme, quel que soit le rapport de cosp h cosy. On aura donc alors , pour tous les points de la verge situés sur Taxe des x ,

et par conséquent

il est d'ailleurs facile de s'assurer a posteriori que les valeurs de B , C , D , E ^ F,

fournies par les équations (6) , vérifient les formules (4) , quels que soient les angles ^ ot 7.

Si le contour do la section faite dans la verge par un plan perpendiculaire h l'axe des X offrait un polygone rectiligne ou curviligne , alors aux diverses positions , que pourrait prendre le point R , correspondraient au moins deux valeurs différentes du i^pport

^ — ^ ; d'où il est aisé de conclure que les formules (4) entraîneraient toujours lea forces 7 '

mules (6),

Soient maintenant ? la force accélératrice appliquée au point {x,y,z) , ç le déplacement de ce point dans le sens des x positives, X la projection algébriques de la force 7 sur l'axe des abscisses , et p la densité naturelle do la verge élastique. On aura [voyez les formules («5) et (28) de la page 166 du troisième volume]

dA ^ (iF dE . y d^i

D'ailleurs, quand on réduira les deux coordonnées y et z à zéro, les valeurs de B , C\ n , E , F seront celles que déterminent les formules (6). Donc alors Téqualioa

(y) donnera

dA . Y rf'Ç

De plus , comme les formules (6) coïncident avec les formules (74) de la page «7 ,

(45 ) quand on suppose dans ces dernières (j^z^P, les équations (5), (6) do la page 2, réunies aux formules (6) de la page 44 # fourniront une valeur de A semblable à celle que nous ayons précédemment obtenue [page 37] , en sorte qu'on aura encore

Seulement on de?ra remplacer $ par P dans la seconde des formules (i5) et (16] de la page 19* à l'aide desquelles on pourra toujours déterminer les deux coefficients û et n. Gela posé, on trouvera» pour tous les points de la verge situés sur l'axe des

Ajoutons que, si la verge est terminée par deux plans perpendiculaires à Taxe des x et dont chacun supporte une pression extérieure |) différente de P, on aura » pour les deux extrémités de cette verge , supposées libres ,

ou » ce qui revient au môme,

di n4-P (la) û«^H ?- = o.

An contraire , si Tune des extrémités devient fixe, il faudra , pour cette extrémité , rempkcer b condition (la) par la suivante

Dans le cas particolier où la force accélératrice ^ et les pressions extérieures P , P s'évanouissent, l'équation (10) se réduit simplement à

et la condition {\») h

L'équation (10) ou (14) réunie aux conditions (la), (i3) ou (i5), suflit évidemment pour déterminer le déplacement S d'un point quelconque de la verge élastique dans

(46) le sens de Tabscisse œ , et par conséquent les TÎbrations longitudinales de cette verge. Or ces équations et conditions sont absolument indépendantes de la forme de la section faile dans la verge élastique par un plan perpendiculaire à l'axe des x , et entièrement semblables aux formules qui déterminent les vibrations longitudinales d'une verge rectangulaire, c'est-à-r?' -^ aux formules (a5) , (67), (34) • (36), (64), des pages 20, 21, 22 et 2G. Donc ! .« \ibrations longitudinales d'une verge prismatique ou cylindrique à base quelconque seront les mômes que celles d'une verge rectangulaire. Ainsi , en désignant par a la longueur d'une verge prismatique ou cylindrique , et par N le plus petit nottibrc de vibrations longitudinales que celte verge, supposée libre , puisse exécuter pendant l'unité de temps, on aura toujours [voyez la formule (78) de la pagesi^l

(iG) iV = — .

De plusj quelle que soit la forme de la section transversale, a rcpréseatera la vitesse de propagation du son dans la verge indéfiniment prolongée , et pCi^ le rapport qui existe entre la pression A supportée par la section transversale et la dilatation

longitudinale --- , dans le cas oix les pressions extérieures s'évanouissent. Donc« en

prenant ce rapport pour mesure de l'élasticité de la verge , on pourra encore affirmer que la vitesse de propagation du son dans la verge est proportionneHo k la racine carrée de son élasticité.

Les résultats que nous venons d'exposer subsistent, de quelque manière que l'élasticité du corps , d'où on suppose la verge extraite , varie quand on passe d'une direction h une autre. Ils coïncident d'ailleurs avec ceux tiue M. Poisson a obtenus , en considérant une verge extraite d'un corps solide dont l'élasticité reste la même en tous sens. Seulement^ dans ce cas particulier , le coefTicient n devient indépendant de la direction que présentait , avant l'exlraclion . Taxe de la verge élastique.