IV.* ARWÉL
fS) fi:=o, y)=--o. C — — P
s!ihsiMcroiil , lt - trois pn niicr^s pour im poiol quelconque de la %'erge en mouvement, le» irois derniti':» pour r' = — i , r' = i , landU que Ton aura , pour r = — h et pour r = h^
Oij<nnt nux pressions A,B,C,D,E,F, elles seront déterminées par les formules (i i) et (12) de la pa^e 3, si la verge élastique osl extraite d*un corps solide qui nffie trois axes d'élasticité parallèles aux axes coordonnés , et dans le cas contraire par les foriDiiles (5), (G) de la pages. De plus, on prouvera, par dos raisonnements semblables à ceux dont nous avons fait usage à la page -j'iS dn troisièine volume , que , si Ton veut .«rendre pour variables indépendantes r et r' à la place des deux coordonnées 7» s« il suffira d'écrire partout r uu lieu de r , el r' au lieu de r , dans les formules dont il s'agit el dans les équations (!2). On aura donc alors, pour tous les points de la verge élastique,
\ ft.c dr dr
dn
E . dD . dC , ., //'Ç
\ dx * dr ' dr * ' ' r//'
Ajoutons que, pour tout point situé sur l'axe de la verge, on aiia évidemment
el pur suite
Cria posé . si Ton développe les quantités
con:;Mlérées cMîimc fendions de x , r , r' et t, suivant les puissances ascendante» tic r, r\ i'À si l'on joint en conséquence a la formule
(6) 4 ^■--- «0,0 + ç,,.r + Sc.r' + '- (?„or* + aÇ,,,^' + Ço»r'*J +clc. ,
toutes celles qu'on en lire quand on y remplace la lettre $ par l'une des lettres ^ , ^.X.Y^ZyA^B.C^D^EyF, on déduira sans peine des équalions (5) , réunies aux conditions (5) et (4) > celles qui serviront h déterminer, pendant le mouvement de la verge élastique , le< valt^urs des fonctions
'ÏOJO > ^Oyii 9
c'est-à>dire , les déplacements d'un point de Taxe mesurés dans le sens des coordonnées as, j, s- En opénint de celte manière, on se trouvera immédiatement ramené aux formules (aS), (26) et (44) des pages 'io et 23. De plus, lorsqu'on connaîtra les valeurs des fonctions Ç„,o , «o»© • ^oo t '>n pourra fixer les valeurs correspondantes de
à l'aide des formules («^o) et (42) des pages 20 et 22 , et la valeur approchée de ç ^ Taidc de Téqualion
(7) 5 = Ço,u 4- §ii«^ 4- 5oîi»*' •
Quant aux valeurs approchées des déplacements 1 , ç , que l'on peut considérer comme devant être fournies par les équations
elles dépendront non seulement des quantités î9o,o » Ç©.© > 'îo© > Çom , mais encore des deux suivantes
(9) *''»'» > ^lyo»
Il est importcinl d'observer que » si , les pressions P , ^ étant nulles , la verge élas> tique se meut de manière que chaque point de sou axe demeure immobile Jes trois fonctions
^ Çino 9 I090 9 Ç©jo
fi»*évanouir»nt , oliisi que les valeurs de ç,»» » Vt»« 9 S«m » ^om déterminées par les formules (23) et (42) des pages 20 et 22. Alors les vibrations de la vergf. seront du genre de celles que Ton nomme tournantes; et la valeur approchée de S sera nulle, tandis que les valeurs approchées de v , ç • réduites à
dépendront des quantités (9). Il y n plus . si l'on désigne généralement par i le
rayon vecteur mené , au bout du temps l , du point (x, uo,o » Ço,o) au point [x,y, z) , et par «r l'angle que forme ce rayon vecteur avec le demi -axe des y positives , on aura
(il) y — ïio5o = r = vcos*', z — Ço>o = r' = t8in«r ;
tandis qu'en nommant v — $ la perpendiculaire primitivenient abaissée du point (x — l,y — n,z — Vj sur Taxe de la verge , et «r — -^ l'un des angles formés par cette perpendiculaire avec l'axe des y , on trouvera
(12) j' — »i = (v— ^)cos(w — •}) , « — ; = (t. — *)sîn(«' — +).
D'ailleurs on tirera des formules (8) » (11) et (12), combinées entre elles ,
if 1 jcOs(w •^) = (l >Ixfo)C0S«r JioMSinv , f 1 jsin(w — '^) = — ç,,oCOs«r + (1 — Çp„)sin»- :
puis, on en conclura, en considérant les quantités — , •• comme infiniment petites du premier ordre, et négligeant les termes du second ordre ,
COS»" — ^J'ginw = *ïi,oCOSar-f-ïlo,,sinw ,
— sinw + ^cosw = ÇooCOS*' + Som sin*' ;
OU, ce qui revient au même j
— = f- C0S2«r-i sinucr ,
Donc, lorsque la fonction Ço,o et par suite les quantités »i,,o , (om s'évanouiront, on aura simplement
(i6) — = smaw, ^ = 1 cosaw.
(5i ) Eofio, si i 8*évaaouit, les équations (16) donneront
(*/) »Jo|i+Çx5o = 0,
et
D'autre part» il est facile de reconnaître que» dans les diverses formules qui précèdent»
— et 41 représentent à très -peu près la dilatation linéaire mesurée suivant le rayou'
t , et l'angle de torsion de la verge élastique autour du point situé sur l'axe des x à la distance x de l'origine. Donc» pour évaluer cet angle» ainsi que pour découvrir les lois des vibrations tournantes » il est nécessaire de fixer les valeurs des quantités 10», » Cx,o que renferment les formules (10) et (18). Tel est l'ojet dont nous allons nous occuper.
Considérons d'abord le cas où l'on suppose la verge élastique extraite d'un corps solide qui offre trois axes d'élasticité rectangulaires et parallèles aux axes des a; » j , z. Dans ce cas particulier» on tirera des formules (11) et (12) de la page 3 » en y remplaçant ^» r par r , r' , et en développant les quantités Ç»>i» ç»yi,5, C, D, E, F suivant les puissances ascendantes de r,r', à l'aide d'équations semblables à l'équation (6) »
(ao)
l/fo,o=a— f^ + f»i„o+eÇoM» ^o>o = f ■ "*-+b>i,»o+dg<,t, C^,o=e — r^+d>ï,»o+cÇo,i , l cix ax ux
/^o,i=a-7^^+f>ï,„+eî:o„, -Bo.i=f— r^+bï3,„+dÇo„, ^oM=c-^^^+dii,,,+cç«»,,
I Ux ax ax
-^f»o=a— - — +i*j„o+eç,,,» /;,,p=t— - — +l)7]„o+a;,»,» Cj,o=o— - — +ci*îa»o+c;,»,»
I ax ax ax
etc.
Donc alors , parmi les fondions
(22) -^OJO f Bo,o9 (^999 9 -DofO f ^OfO» /* 0»0 î
!(>!» tiois sirnnnleb
(«4) /)o,Q = d('ÏOM+Çoo) ,
seront celles qui dépendront des quantités
D'ailleurs, »\ Ion dévclpppo, suivant les puissances ascendantes de r» r\ les denx membres de chacune des formules (3) et (4) , en observant que les formules (4) subsistent pour r = ± /i , et les formules (3) pour r' = it: f ,. on trouvera 1 .• , quel que soit r' ,
li a \ a /
D,,o+D.,y+D,„~ +... + — {D,.,+D,,y+D,., — + ...] + fAc. .-0 . , a a \ a /
F^o + Z^-m'-'^- 4--^(/='3.. + ^'j..»-'4- ) +elc.-=o.
(,7) I /;..„ + n.,y + + Al (/»„. 4. i?,„r' + ) +cic. ---o ,
i)... + />...'•' + -^-Al(0„.^^„.,. 4. )4.elc. = o;
