IV.* ANNÉB

8 A*i' d^-it d**L

OU , ce qui revient au même , à

(54) 1 ' i±4,J.^Jjii^Upf-L + -i,\ilL,

AjouloDS qu*après avoir fixé la valeur do ^i à Taidc de réquation (54) » on coDclura des formules (Sg) et (48)

€oDcevoDs à présent que la verge élastique soit extraite d'un corps solide qui cesse d'offrir trois axes d'élasticité rectangulaires et parallèles aux axes des x , j , z. En raisonnant comme ci-dessus, on établira encore les équations (36), (48), (49)- Seulement les valeurs de Do,o » ^^1*0 » Pott ne seront plus fournies par les équations (24) et (25), auxquelles on devra substituer de nouvelles formules que nous allons indiquer.

Si , dans les équations (3o) , et dans celles des équations (3i) , (os) qui ne renferment pas les fonctions A\,o p ^o»i » on néglige les termes proportionnels au carré de h ou de t , on obtiendra non-seulement la formule (56) , mais encore les suivantes

(56) 2îo,o = — 10, 60,0 = — /'. /fo,« — o, Fo,o = o;

De plus , si , après avoir remplacé , dans les formules (5) , (6) de la page 2 , les variables y , z par r ^ r\ on y développe les quantités li,yi,%,A,B,C,D,E,F suivant les puissances ascendantes de r et r\ on en conclura

Do,.

EofO

Bofi

es,.

Z)oM

f-^+b>....+dÇ...+u'(..,.+ç...)+v'(-^ + ç.,.)+w'(i^+|...). ^e-îî^+(]«..o+cç,.. + u'(,.„+î;..„)+T'[-îî^+f,,.)+w'(-^+ç...). : u -:^+u'.„.+ uXM+d(>.o..+!:..,)+w'(-î^ + ç.,.) + t' (.^ + f.J .

dx dx

/ J £tto =

dloti . / , »w »/ .s ( tl^iofi , \ , I dut,, \

w-î^+w',..,+Av''ç,..+v'(,.„+!:.„)+u(i|^+Ç..,) +f (ii!^ + Ç...) ;

= f-^+b,.,.+dç... + u'(,...+ç.,.) + v'(^+ç...)+w'(-îî^+ç„.). = u-^+u'„„.+a'ç.,.+d(«.„+ç„.)+Tv'(-^+ç.„) +v'(.^+f,„) ,

<3^Çi>o , g^ »/ • \ f d^ijo - \ f dritfo ^ \

= w-^+Tv'..,o+>v'ç.,,+v'(..,.+ç.,o)+u(-^ •

( 5t ) Cela posé, admellous que Toa substitue les valeurs des fonctions

tirées des formules (09) dans les cinq équations (36) et (56). On pourra de ces cinq équations déduire les valeurs des cinq quantités

exprimées en fonction de

(64) -î^^. P et ÎP.

£n opérant de cette manière , on retrouvera nécessairement les formules («5) cl (4?) des pages so et 22, savoir,

(65) ç.,. + j!^ = k^ + „'. ,.„ = l-î!kl+„',

(66) ç„.4.j!^ = gi!!^ + „., ç„.. = C-^ + ",;

n'. II', II,, II, étant des fonctions linéaires de P et de ^i^ déterminées par des équations semblables aux formules (21) de la page (20); et, pour fixer ensuite la valeur de

il suffira de combiner les équations (65) , (66) avec l'équation (56) présentée sous la forme

(67) u-i^+uX..+ u'i;.„ + d(„... + ç.,.) + w'(^+ç...)+v'(i^+5...) = o.

en sorte qu'on aura

u + u'l+u''C+T'k+w'ô dU-

d dx

u'n''+u'n,+v'n'+w*ii,

L'équation (68) est celle qui, dans Thypolbèse admise, devra remplacer le système des formules («4) et (36). D'autre part, si, après avoir substitué les valeurs de

"»<i t ^o»t j "o»i » -"oit

tirées des équations (60] , dans les formules (57) , on déduit de ces fonnulM les valeurs do

'M» I » "«of a >

pour les subslitucr h leur tour dans la dernière des équations (60) , on obtiendra un résultat de la forme

g , h désignant des cocilicients qui dépendront des constantes a,b,c,d,e,f, u, V, w, u', v', w', u*', v', w^ Pareillement les formules (58) et (61) donneront

)., i désignant de nouveaux coefficients analogues & ceux que renferme Téqualion (71). Si maintenant on combine les formules (71), (72) avec les formules (48) et (49)» on trouvera successivement

(7a) -7r-=-jrr-

■Ei»o i^.Ml j ^gi%o ^ </ïo!il ^(tMo->î<»»)

i dx h (ù;

I/JT

\ dx \i dx dx \

puis on en conclura , en ayant égard à la première des équations (65) et à la première des équations (66)

</'(A«Çm„-I»>1o,.)

rfP

Les formules (68) el (76) serviront à déterminer les deux inconnues jio,. , Çi,o , quand on aura fixé, à Taîde des méthodes exposées dans l'un des derniers articles les valeurs de ?o.o. "«oio» ïo,o, c'est-à-dire, les déplacements d'un point situé sur Taxe delà verge élastique. Ajoutons que Ion tirera des formules (48) , (71) et (7a)

(77) ç.,.— ,ja i' ( h W* i ^/j; y "'^ I V //a? "*" h d^ )]'

nu , ce qui revient au même ,

IllI'JlllL IJ!111!i\ j^fdfi.^ g </'Uo\ f) h*^ g i» \ </'g..,oN h \ f/j "i (/j;' j"^! l </j "h (/a;' y \i h "h i j </3;' j

(78) Ç,,, = — -- J^ ji — ,

cl que l'équation (78) , étant jointe aux formules (<)8) , (76) , fournira le moyen de déterminer Tinconnuo Si,, .

Les formules (68) , (76) , (78) se simplifient, lorsqu'on suppose chaque point de l'a^ie des X immobile pendant la durée du mouvement, et les pressions P, ^ réduites h zéro. Alors en effet, les quantités

Çoyo 9 *!ojo 9 Çojo 9 ^^9 " > ï^i > tï»

étant nulles aussi bien que les pressions P , IC, l'équation (68) se réduira simplement à la formule (^7); et, en posant de nouveau

on tirera 1 .* de la formule (76)

i "^ h ou , ce qui rovieot au même ,

/a N 8 1 rf'^l» . /Z„„ y.,. \ /i iW'{.

a.* de la formule (78)

i h rf^J.

Dans la mcmc hypothèse , on aura encore

(8a) §051 = 09 Ç„o = 0 9 iï,,o = o, (;oM = o-

Par 6uile les formules (71) • (72) donneront

et les formules (8) se réduiront aux formules (10).

Il est maintenant facile d'apprécier le motif qui nous a déterminée à conserver les termes proportionnels au carré do h ou de i, dans les formules (4o) , c'est-à-dire, dans celles des formules (3i), (32) qui renforment les fonctions jB,,o » /''o,, . Effectivement, si l'on négligeait sans exception tous les termes dépendants de h et de i dans les formules (01) , (Sa) , on en déduirait non-seulement les équations (67) , (58) , mais encore les deux suivantes

et Ton conclurait de ces dernières , combinées avec les formules (83) , Or l'équation

exprime que l'angle -^ est indépendant de l'abscisse x , et cette circonstance ne peut s'accorder avec le mouvement d'une verge tordue , maiâ seulement avec le mouvement d'une verge qui tourne sur elle-même. Donc » pour découvrir, dans tous les cas ,

los phénomènes qui résultent de la torsion d'une verge élastique » il est nécessaire de conserver les lermcf proportionnels au carré de A ou de i dans les formules (4o) ; ce

qui revient h supposer que les fonctions

acquièrent des valeurs numériques très-considérables relativement à celles des quantités

que. renferment les fonctions Fo,i , i^.io-

Lorsque les forces accélératrices F, Z deviennent constantes, les quantités l'»,, » Z,,o s'évanouissent; et alors, en faisant « pour abréger

on tire de la formule (80)

Dans le cas particulier où la verge est extraite d'un corps solide qui offre trois axes d'élasticité rectangulaires et parallèles aux axes dos a;, y, s , les formules (71), (72) se réduisent aux formules (25) , el Ton a par suite

Ëniin , si Télasticité du corps solide est la même dans tous les sens , on trouvera

et la formule (87) donnera simplement

Les équations (68) , (76) , (80) , etc. » subsistent pour une valeur quelconque de l'abscisse x. Mais^ lorsqu*oa veut effectuer la détermination complète des inconnues

(57.) -*!•»« 9 Ctf« > 4» « SI faiil i <^* équations en joindre d'autres qui se rapportent aux deux extrémités de la verge élastique. Concevons, pour Gxer les idées» cette verge terminée^ dans son état naturel , par deux plans perpendiculaires à l'axe des x , et qui sup* portent en chacun de leurs points une nouvelle pression désignée par p. On aura, pour ces mêmes points

(90) ^ = — P, F = o. E = o. quelles que soient les valeurs de r,r'; et par suite

(91) iF'o.. = o, E,,o = o:

puis on tirera des formules (91) combinées avec l'équation (74)

/ V î ^5«<o g <^go»i . ^(^i>o->lo»0 __

^^ ' i dx h dx '^ dx '

Ajoutons que» si, les pressions extérieures étant nulles. Taxe de la verge reste immobile, la condition (gs) pourra être, en vertu des formules (38) et (89), réduite à la condition plus simple

Les formules (92) et (gS) sont relatives au cas où l'on suppose libres les deux extrémités de la verge élastique. Si ces deux extrémités devenaient fixes, ou plutôt, si, les extrémités de l'axe étant fixes , chacun des points renfermés dans les plans qui terminent la verge était assujetti de manière à rester toujours placé sur une même droite parallèle h Taxe , on aurait , pour If s abscisses correspondantes aux plans dont il s'agit , non-seulement

(94) $0f0 = 0, u«yo = 0, Çp>o = 0,

mais encore

(gS) >ï = o, Ç = o,

quelles que fussent l«s valeurs de r, r' , et par conséquent

(96) »lofi=0, Ç,,o = 0.

Donc , en supposant l'axe immobile et les pressions extérieures nulles , on trouverait , pour les deux extrémités do la verge ,

IV'. AlfNKB. 9

( 58 ) Si Ton voulait ilécouvrir les phéDomèDes produits par la torsion d'une vergo élastique» lion plus dans Tétat de mouvement , mais dans Pétat d'équilibre, il suffirait de supprimer les dérivées relatives à t , savoir

dP ^^ IF •

dans les équations (76) , (80) , (85) dont la dernière se réduirait à

Nous ajouterons ici une remarque importante. Si, après avoir coupé la verge, prise dans Tétat d'équilibre ou do mouvement, par un plan perpendiculaire à l'axe des x, > l correspondant h l'abscisse x , on considère le système des pressions ou lensions stipporlécs par les divers cléments de la section ainsi formée; à ce système correspondra imo force principale dont les projections algébriques sur les axes des x , j, z seront évidemment représentées par les intégrales

J Adr'dr, J J Fdr'dr, j J Edr'dr,

vi un momenl linéaire principal dont la projection algébrique sur l'axe des x sera exprimée par l'inlégralo

(100) J' y" (rfc' — r'F)dr'dr.

pourvu que Ton fasse coïncider le centre des moments avec le point où le plan sécant rencontrera l'axe de la verge. En d'autres termes, l'expression (100) représentera , au signe près, ce qu'on peut nommer le moment du système des pressions ou tensiens cidessus mentionnées par rapport à l'axe de la verge ; le moment d'une force par rapport .'i un axe* n'étant antre chose que le produit de cette force projetée sur un plan perpendiculaire à l'axe par la plus courte distance entre l'axe et la droite suivant laquelle die ogit. D'autre part, si, dans- les intégrales (99) et (100), on Mibstituo, pour A , A' , K y leurs valeurs approchées fournies par les équations

(loi) -^ = yin»o+/^oo»*+'^oiir', jP=Fo>o+Fi,„r + FoM^'> E = JEo,o+^i>or-4--Eoiir',

* La dcUnition de ce moment, plact;e au ba« de la page 256 du troisième volume , convient sealement an caf \>h h force est comprise dans un plan perpendiculaire k l'axe.

(59) ces intégrales deriendronl rcspectivcmcnl

{102) 4//o,oAî, ^Fo.olii^ l^E^yJn ,

(100) r r (r>^.,o — r''/^oM)c/r'rfr=4-(/t'A\.o — t'^i^cO/if.

Donc, en vertu de la formule (74)» Texprossion (100) pourra être remplacée par \v produit

Dons le cas particulier oh les déplacemcuits des points situés sur Taxe de la verge sont nuls 9 ainsi que les pressions extérieures , le produit (io4) se réduit à

(io5)

Dans le même cas^ si l'on applique à une extrémité libre de la verge une force dont la direction soit comprise dans un plan perpendiculaire à Taxe , cl dont le moment, par rapport h cet axe, soit désigné par ^ , si d'ailleurs on suppose le point d'application de la force lié invariablement avec les aulres points du plan , ou du moins avec ceux qui se trouvent placés sur la base de la verge élastique, on aura, pour l'extrémité dont il s'agit.

?} d'if

Pour montrer une application des formules précédenjes , considérons d'abord l'équilibre d'une verge rectangulaire qui , dans l'état naturel, ait pour axe l'axe des x , ci qui oflro une extrémité fixe, l'autre extrémité étant sollicitée, comme on vient de le dire , |)ar une force comprise dans un plan perpendiculaire à l'axe. Si l'on suppose les pressions extérieures nulles, ainsi que la valeur de x correspondante h l'extrémité fixe , et les déplacements d'un point quelconque de l'axe, si de pins en nomme a la longueur de cet axe , on devra intégrer l'équation (98) de manière 5 vérilicr pour a; r= o

(6o) la condition (97), et pour x=:a la condition (106). Or on tirera de l'équation (98) réunie à la condition (106)

et de l'équation (107) réunie à la condition (97)

Il suit de cette dernière formule 1.* que l'inconnue 4^ , ou l'angle de tension de It* verge rectangulaire» mesuré dan» un plan quelconque perpendiculaire à l'aie, est en rair son directe non -seulement de la dislance qui sépare ce plan de l'extrémité fixe, mais encore du moment de la force appliquée à l'extrémité libre » 9.* que , si la section transversale de la verge varie en demeurant semblable à elle-même» l'angle ^ variera ea raison inverse du carré de l'aire de cotte section» ou» ce qui revient au même » en raison inverse de la quatrième puissance de l'épaisscvr a A ou ^s. Ces résultats» semblables à ceux que M. Poisson a obtenus, en considérant la torsion d'une verge cylindrique! base circulaire » subsisteraient pareillement pour une verge cylindrique ou prismatique à base quelconque. Lorsque les épaisseurs s/i , se deviennent égales entre elles» la formule (108) se réduit h

Ajoutons que » si l'épaisseur 21 1 devient Inès-petite relativement à l'épaisseur a A » on aura sensiblement

Donc alors l'angle de torsion sera en raison inverse de la plus grande épaisseur et du cube de la plus petite.

Concevons à présent qu*après avoir tordu la verge élastique » en laissant à sa place chaque point de l'axe » on abandonne cette verge à elle-même sans lui appliquer aucune force. Les variables Ço»« » *»•#• . Ço.o conserveront des valeurs nulles pendant toute la durée du mouvement» et la verge exécutera des vibrations tournantes dont les lois se trouveront exprimées par l'intégrale de l'équation (85) • De plus , les vitesses initiales des différents points de la verge étant supposé» nulles, les valeurs de — et de —, tirées les formules (10) et (38) , savoir

devront s'évanouir à l'origine du mouvement» quels que soient r et r\ Par conséquent

la valeur initiale de — devra se réduire à zéro. Soit d'ailleurs i(x) la valeur dt

initiale de Tangle ^. Si les deux extrémité de la verge élastique restent libres , Téqua*

tion (85) , intégrée de manière que la condition (gS) soit remplie pour 0 = 0 et pour

as = a » donnera [voyez, dans le troisième volume » la formule (118) de la page 268]

(111) 4» = — Scos cos / cos f(Li)af*.

le signe S s'étendant à toutes les valeurs entières positives nulles ou négatives de n. Si» au contraire, les deux extrémités de la verge deviennent fixes, il faudra substituer la condition (97) à la condition (gS) , et par suite la valeur générale de ^ sera semblable h la valeur de Ç» fournie par l'équation (ii4) de la page 268 du troisième volume , en sorte qu'on aura

(ii«) + = — Scos sm / sm — ^fCf*)»;**

Il est facile d'assigner la nature de la fonction ({x) qui réduit la valeur de ^ fournie par l'équation (11 1) à un seul terme de la forme

(n5) i^ = .^:i-cos cos ,

n désignant une valeur particulière de n » et Q une quantité constante. En eflet, pour y parvenir, il suffit de poser t = 0 dans l'équation (1 13) qui donne alors

(114) i{x) = — cos ;

et Ton peut d'ailleurs s'assurer a posteriori que , si Ton substitue dans l'équation (111) la valeur de f(ft) tirée de la formule (ii4)> savoir

.2=1 cos Î-. ,

00 retrouvera précisément l'équation (ii3). Ajoutons que l'équation (ii3) exprime un

• ( 6t ) mouvement régulier de la verge élastique « dans lequel les mêmes vibrations tournantes se reproduisent périodiquement , la durée d'une vibration étant la valeur de t donnée par la formule

Le sou correspondant à un mouvement de celte espèce a pour mesure le nombre Oï? des vibrations exécutées pendant TuBité de temps» ou» ce qui revient eo même» la valeur de — déduite de la formule (ii5). Or on tirera de cette formule» en écrivant n au lieu de n ,

(ii6) ^ 9t^ = -i = :iiL.

Si Ton veut maintenant déterminer les nombres de vibrations tournantes correspondants aux sons les plus graves que la verge élastique puisse rendre» il suffira de prendre successivement n=i» n=s, n = 3» etc.... ; et Ton trouvera en conséquence

(. ,7) ^. = -, 91^ = " . ^X^=: — , etc....

On arriverait encore aux mêmes résultats en parlant de Téquatlon (112), c'est-à-dire, en considérant les vibrations tournantes d'une verge dont les doux extrémités seraient fixes.

Si» dans la première des formules (117)» on substitue la valeur de a tirée de l'équation (84) » on trouvera , pour le nombre Jos vibrations tournantes qui correspondent un son le plus grave.

'{T-mT-i^r

Donc lo !)On dont il s'agit est réciproquement proportionnel à la longueur de la verge élastique , et il ne change {>as , lorsque les épaisseurs uh , )ic croissent ou diminuent dans le même rapport, c'esl-h-dire, lorsque la srclion transversale de la verge varie en demeurant sr-tnliluble h elle-même. Ces conclusions se trouvent confirmées par des expériences d<; M. Savarl. Lorsque les épaisseurs 2A , 21' deviennent égales entre elles » la l'uruiulc (118) se réduit à

D'autre part^ si l'on suppose la rtfge extraite d'ua corps solide dont réiasticité soit la même en tons sens , on aura

h = i =e = f ; et par conséquent les formules (118) , (119) donneront respectivement

D'ailleurs , si , dans la même hypothèse , on fait vibrer la verge élastique longitudinalement • et de manière que le son produit soit le plus grave possible, le nombre A^ des vibrations longitudinales sera déterminé par la formule (78) d.< la page ïig et la formule (47) de la page 4o» c'est-à-dire, que l'on aura

' \ap/ 2a

Donc par suite on trouvera , en prenant h = i j

Enfin, si l'épaisseur at devient très-petite relativement à l'épaisseur 2 h , l'^qua-^ tion (118) donnera sensiblement

et l'on en conclura , en supposant que l'élasticité du corps reste la même en tous sens ,

af\J «•

»••») "^HWii

Donc lo son le plas grave produit par les vibratioDs loumantes d'une verge plaie et rectangulaire 9 ou » en d'autres termes» d*une plaque dont la largeur est peu considérable , varie en raison directe de l'épaisseur de cette plaque , et en raison inverse du prodoit de deux autres dimensions » ou» ce qui revient au môme, en raison inverse de la superficie de la plaque. La loi que nous Tenons d'énoncer est précisément celle que M. Savart a découverte « et à laquelle il a été conduit par Texpérience » ainsi qu'on peut le voir dans le tome XXY des Annales de physique et de chimie.