CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES

Oq a beaucoup écrit sur la résolution des équations numériques et sur l'élimination. On suit en particuluT que la première de ces^deux questions est l'objet spécial d*un ouvrage de Lagrange, dons lequel cet illustre géomètre a présenté» pour la détermination des racines réelles' d'une équation de degré quelconque , une méthode fondée sur la considération d'une équation auxiliaire, dont le degré est généralement plus élevée et dont l'inconnue a pour valeurs les carrés des différences entre les diverses racines de la proposée. On se sert de cette équation auxiliaire pour calculer une limite inférieure à la plus petite différence entre cfôiix racines réelles. J'ai fait voir dans V Analyse algébrique [note III ] qu'on pouvait arriver au même but , en considérant seulement le produit de toutes les différences des racines. Mais, pour tirer un parti avantageux de cette remarque, il restait à indiquer un moyen facile de former le même produit. Au restée dès que l'on connaît une limite inférieure à la plus petite différence entre deux racines réelles, on parvient sans peine non- seulement à calculer le nombre de ces racines, mais encore à en obtenir des valeurs de plus en plus approchées.

Une autre niélhode , également applicable à l'évaluation des racines réelles et des ra-cines imaginaires, a été donnée par M. Legendre, dans la seconde édition de la Théorie des nombres. En suivant celte dernière méthode, on réduit la recherche de l'une des racines de l'équation proposée à la résolution d'une équation binôme, résolution que l'on opère à l'aide des propriétés bien connues des fonctions trigonométriques. D'ailleurs, en s'appuyant sur la même méthode, on prouve directement que l'on peut sa^sfaire à une éqiialion de degré quelconque par une valeur réelle ou imaginaire de la variable. A la vérité, la démonstration que M. Legendre a donnée de cette proposition, et qu'il considère comme s'étcndant à toutes sortes d'équations algébriques ou transcendantes , parait sujette à quelques difficultés; mais on peut les surmonter, lorsque l'équation est algébrique dans tous les cas possibles, et lorsqu'elle devient transcendante, en apportant quelques restrictions à la proposition dont il s'agit, comme je l'ai fait voir dans les Leçons sur le Calcul différentiel.