IV.' AWWÈE
On pourrait citer encore diverses méthodes relatives à la résolution des équations numériques et développées ou seulement indiquées dans les ouvrages de Newton « de Halle» d'EuIer, de Lagrange, de M. Budan, de M. Legendre, de M. Fourier, etc. Mais ces mélhodes, dont quelques-unes supposent déjà connue la valeur approchée d*une racine de l'équation que Ton veut résoudre , ou sont appuyées sur des théories étrangères aux éléments d'algèbre, par exemple, sur la considération des séries récurrentes, n'offrent pas de règles certaines pour la détermination à priori du nombre des racines réelles. On doit toutefois excepter les méthodes qui ont été annoncées par M. Fourier , dans lo tome VII des Mémoires do l'Académie des sciences , et que le nom de l'auteur recommande à l'attention des géomètres, mais dont on no pourra se former une idée précise qu'au moment où il aura publié l'ouvrage qu'il prépare sur cette matière.
Quoi qu'il en soit, j'ai pensé qu'il serait utile, pour ceux qui se proposent de cultiver les sciences mathématiques, d'offrir ici des méthodes simples et générales, à l'aide desquelles on puisse déterminer le jsombre des racines , soit réelles, soit imaginaires, d'une équation de degré quelconque, et les calculer approximativement^ sans recourir à Téquaquation auxiliaire dont l'inconnue a pour valeurs les carrés des diffSérences entre ces racines , et sans employer des notations étrangères à ceux qui ne possèdent que les premiers principes de l'algèbre. Ces mélhodes , qui seront développées dans les paragraphes suivants, fourniront en même temps les moyens de simpliiier la 'théorie de l'élimination, et de lever les diflicultés qu'elle présente.
§ I .*' Sur la résolution des équations du premier et du second degré à coefficients réeb,
et sur les expressions imaginaires*
Considérons l'équation du premier degré
(i) aoX + a,=o ,
dans laquelle ^o , a, désignent deux constantes réelles. Si l'on fait pour abréger
l'équation (i) , divisée par a» , deviendra
(3) x + A = o , et l'on en tirera
( 67 ) Considérons œainlcnant Téquation du second degré
(5) aoX* + a^x + «3 = 0,
^o , a^ f a, désignant trois constantes réelles. Si Ton Tait pour abréger
(6) ^ = -, ' ^ = -, Téquation (5) , divisée par a^ , deviendra
(7) x^ + Ax + B = o.
Avant de résoudre généralenaent cette dernière , examinons d'abord le cas particulier où Ton aurait
Dans ce cas, Téquation (7) » ou plutôt Téquation binôme
(9) • x> + jB = o donnera
(10) «• = — jB,
et on la vérifiera , si B est négatif, en prenant
(11) aî = ±v7irT.
Donc alors Téqualion (9) admettra deux racines réelles , savoir,
(12) 'a; = — v/ITF, (i3) x=\/irB.
Ainsi, par exemple, l'équation binôme
(i4) as' — 1=0
offrira les deux racines réelles
Mais» si B devient positif , si l'on suppose, par exemple, B=^ i , l'équalion (9) , réduite à
ne sera plus vérifiée par aucune valeur réelle de x , puisqu'une semblable valear rendra toujours la somme x* -|- i égale ou supérieure à Tunité , el par conséquent positive. Dans le même cas , les valeurs de x , données par les formules (i s) et (i3) » savoir,
(i8) aî=— |/rri (19) x = ]/:T.
ne seront plus que des expressions algébriques qui ne signifieront rien par elles-mêmes» et qui, pour cette raison , sembleraient devoir être exclues de Palgèbre. Néanmoins il peut être utile de les conserver dans le calcul. C'est en effet ce qui résulte des observations suivantes.
En analyse on appelle expression symbolique ou symbole toute combinaison de signes algébriques qui ne signifie rien par elle-même, ou à laquelle on attribue une valeur différente de celle qu'elle doit naturellement avoir. On nomme de même équations symboliques toutes celles qui , prises à la lettre et interprétées d'après les conventions généralement établies, sont inexactes ou n'ont pas de sens , mais desquelles on peut dé<Iuire des résultats exacts en modifiant et altérant, selon dos règles fixes, ou ces équations elles-mêpes ou les symboles qu'elles renferment. L'emploi de ces symboles ou de ces équations est souvent un moyen de simplifier les calculs , et d'écrire sous forme abrégée des résultats assez compliqués en apparence. Or, parmi les expressions ou équations symboliques dont la considération est de quelque importance en analyse, on doit surtout distinguer celles que l'on a nommées imaginaires. Nous allons montrer comment l'on peut être conduit à en faire usage.
Soient
plusieurs quantités réelles positives ou négatives. Si Ton multiplie les unes par les autres, les expressions symboliques
(ao) oL + pyr,, a' + p'v/r, , a" + y\/Z, etc.,
en opérant d'après les règles connues de la multiplication algébrique, comme si ^17 était une quantité réelle dont le carré fût égal h — - 1 . le produit obtenu se composera de deux parties. Tune toute réelle, Taulre ayant pour cocllicient |/T7 , et restera le même , quel qui; sqil l'ordre dans lequel on aura effectué les diverses multiplications. Or cette simple remarque peut êt»e rniployée fort utilement dans la recherche des propriétés générales des nombrrs ou dos quantités réelles, el fournit, par exemple, le moyen d'établir la proposition suivante. ^
1." Théorème. Si Con muUiplu Cun par CaiUre deux nombres entiers dont chacun soit la somme de deux carrA, le produit sera ettcora la somme. de deux carrés.
(69) Démûtiêtration. Soient
(ai) «• + ?%- 7' + *'
les deux nombres entiers dont il s'agit, a' , p% 7», ^»' désignant des carrés parfaits. Ces deux nombres pourront être considérés comme résultants, le premier de la multiplication des facteurs symboliques
(22) « + PV^-"i, a— PV/^i,
le second de la multiplication des facteurs symboliques
(23) 7 + ^V^"i, v-^»/"i- Donc le produit
pourra être considéré comme résultant de la multiplication des quatre facteurs symboliques
(25) « + PVA, ^ — PV/"», 7 + ^V-""»» y — ^y/Ti.
D'ailleurs, si l'on multiplie i.** le premier facteur par le troisième, s.^ le second par le quatrième , les produits ainsi formés seront respectivement
puis , en multipliant l'une par l'autre les expressions (26) , on trouvera pour résultat définitif la quantité positive
(«•/-P*)' + H+P7)'- On aura donc
(27) («7 - p^y + («^ + hy = («' + p^Kr + 0^) .
Or cette dernière formule comprend évidemment le théorème 1.".
Corollaire 1." Si , dans la formule (27), on échange entre elles les lettres ^ et 7 , on en tirera
Il y a donc en général deux manières de décomposer en deux carrés le produit de deux nombres entiers dont chacun est la somme de deux carrés. Ainsi, par exemple, on tire des équations (27) et (98)
(70) Corollaire a.' Les formules (27), (28) subsistent évidemment dans le cas même où les lettres «. p. 7, ^ cessent de représenter des nombres entiers, et désignent des qaanlîtés réelles quelconques , positives ou négatives.
On voit, par ce qui précède, qu'il peut être utile, dans la recherche des propriétés {générales des quantités réelles, de considérer des expressions symboliques do la forme
(29) a + PV/-"-
Lue semblable expression, dans laquelle a , p désignent deux quantités réelles, est ce qu'on nomme une expression imaginaire ; et l'on dit que deux expressions imaginaires
« + fV-""M 7 + ^V/"»
sont égales entre elles, lorsqu'il y a égalité de part et d'autre i.« entre les parties réelles «et 7, a.* entre les coefficients de j/!7, savoir p et ^. L'égalité de deux expressions imaginaires s'indique comme celle de deux quantités réelles par le signe =; et il en résulte ce qu'on appelle une équation imaginaire» Gela posé, toute équation imaginaire n'est que la représentation symbolique de deux équations entre quantités réelles. Par exemple , l'équation symbolique
équivaut seule aux deux équations réelles
Lorsque , dans l'expression imaginaire
le coefficient p de [/T s'évanouit, le terme pl/T est censé réduit à zéro, et l'expression elle-mCme à la quantité réelle a. En vertu de cette convention , les expressions imaginaires comprennent comme cas particuliers les quantités réelles.
Les expressions imaginaires peuvent ôlre soumises, aussi bien que les quantités réelles, aux diverses opérations de l'algèbre. Si l'on effectue en particulier l'addition , la soustraction ou la multiplication de deux ou de plusieurs expressions imaginaires, on obtiendra pour résultat une nouvelle expression imaginaire qui sera ce qu*on appelle la samme, la différence p ou le produit des expressions données; et l'on se servira des notations ordinaires pour indiquer celte somme, cette diflîtSrence, ou ce produit. Par exemple, si l'on donne seulement deux expressions imaginaires
on trouvera
(3o) (« + PV^.) + (74-*V^0 = « + 7 + (P + *)V/^«.
(3.) (,4.p^/r.)(,,|.*^/r.) = sc-v+(?-*)V/^'.
(3a) (» + pv/r.) X (7 4- *i/"0 = «7 - f-o" + ("* + ?7) l/"« •
Diviser une première expression imaginaire par une seconde , c'est trouver une troisième expression imaginaire qui , multipliée par la seconde , reproduise la première. Le résultat de cette opération est le quotient des deux expressions données. On se sert, pour l'indiquer , du signe ordinaire de la division. Ainsi
représente le quotient des deux expressions imaginaires
o^ + Pi^ij 7 + ^V^-"-
Elever une expression imaginaire à la puissance du degré m {m désignant un nombre entier) , c'est former le produit de m facteurs égaux à cette expression. On indique ïapuifêancc m"' de ^e-J-Pj/TT par la notation
(a+pv/r.)".
Ainsi y en particulier, la notation
(a + pv/r,)^
représente le produit de l'expression a + (^\/T par elle-même.
On dit que deux expressions imaginaires sont conjuguées l'une à l'autre, lorsque ces deux expressions ne diiTèrent entre elles que par le signe du coefficient de ^17 . La somme de deux semblables expressions est toujours réelle , ainsi que leur produit. En effet les deux expresssions imaginaires conjuguées
(aa) a + PV/-"^, a — pv^ri
donnent pour somme aa» et pour produit a*-}-^*. La racine carrée de ce produit; ou
(7« ) esl ce qu'on nomme le module de chacune des expressions (29). Pour que le module (35) s'évanouisse , il est nécessaire et il suffit que Ton ait en môme temps ar=o, , ^ = o , c'est-à-dire , en d'autres termes , que les expressions (22) se réduisent l'une et l'autre h zéro.
Remarquons encore qu'en vertu de» principes ci-dessus établis Cégalité de deux expressions imaginaires entraîne toujmrs Cégalité de leurs modules.
Quelquefois on représente une expression imaginaire par une seule letlre. Cela posé, soit (34) x = p + q\/'::
une semblable expression » p et q étant deux quantités réelles quelconques. On ponrra se proposer d'assigner à ces deux quantités des valeurs telles que la valeur corre^^pondanle de x vérifie une équation donnée du second degré , par exemple , l'équation (7) o" (9)* Alors la valeur de x deviendra ce qu'on nomme une racine imaginaire de l'équation (7) ou (9). Ajoutons que cette racine imaginaire se transformera en une racine réelle , dans les cas où la valeur de q sera nulle. Si l'on suppose en particulier l'équalion (9) réduile h l'équation (i4) ou (17), on la vérifiera évidemment en attribuant h X l'une des valeurs réelles (i5) , (16) , ou l'une des valeurs imaginaires (18) , (ig). Donc ces valeurs représentent des racines réelles de l'équation (i4) et des racines imaginaires de Téquation (17).
Revenons maintenante l'équation (9) ou (10). Pour la résoudre généralement , c'està-dire, pour trouver toutes les valeurs réelles ou imaginaires de x qui peuvent la vérifier, posons comme ci-dessus a5=p + 7i/~« Elle donnera
(55) p* — q' + ^pq\/^ = — B,
(-1 >e |)iiil;tgera r,i\ deux équations réelles, savoir,
(jG) P^ q*=:~B, 2^7=0.
Or <ui ne peut satisfaire aux é<|ualions (36), par des valeurs réelles de jt et do q,
qu'en supposant
ou
La première supposition n'est admissible que dans le cas où l'on a
et l'on tire alors des formules (37)
(Ao> x = p + q{/^ = ±:[/ZIT .
Au contraire la seconde supposition n'est admissible que dans le cas où l'on a
et l'on tire alors des formules (58)
Donc, dans tous les cas possibles» l'équation (lo) admettra seulement deux racines, savoir y deux racines réelles fournies par les formules (12) et (i 3) , si B est négatif, et deux racines imaginaires, mais conjuguées, fournies par les formules
(43) x = — iî'v/^, (44) a; = JBV-*
si B devient positif. Si la quantité B s'évanouissait, les deux racines de l'équation (10) seraient égales entre elles , et chacune des formules (12)^ (i^) > (4^) , (44) donnerait
Passons maintenant à l'équation (7). Cette équation pouvant s'écrire comme il suit
on en tirera
Celte dernière, étabt semblable à l'équation (10), se résoudra de la même manière; et d'abord , si l'on suppose
(48) ^=ou>iï,
