IV. • AWWÉE

clic (lounera

(49) x + ^=dz^^-B .

cl par consf!^quenl

(ôo) x = -±±z^£.-B .

Donc alors rcquation (7) admettra deux racines réelles, savoir»

(5.) x = --^-y/d:2f. (5s) x = -^-^y/dl-B .

Si l'on suppose au contraire

la formule (47) donnera

vi par conséquent

Donc alors l'équation (7) Sdmcllra deux racines imaginaires, mais conjuguées l'une à l'autre, savoir,

Nous terminerons ce paragraphe en indiquant quelques propriétés des expressions imaginaires. Ces propriétés sont comprises dans les ihéorémes que nous allons énoncer.

s.' TuÉORÊME. La somme de deux expressions imaj^inaires offre, ainsi que leur diffcrence, un tnodule compris entre la somme et la différence de leurs modules,

Démonstration. En effet soient

les expressions imaginaires proposées. Leur somme et leur différence

offriront pour modules les deux quantités

Gommo on aura d'ailleurs , en vertu de la formule (28) ,

(61) {ay + p9y= ou <(a' + P')(7' + ^'). il est clair que la valeur numérique de la somme

(62) «7 + fio" sera inférieure ou tout au plus égale au produit

Donc cette somme sera renfermée entre les deux limites

Donc, par suite, chacune des quantités (Go) sera comprise entre les deux limites

c'est-à-dire y entre la somme et la différence des modules des expressions (58).

Corollaire. La somme de plusieurs expressions imaginaires offre un module inférieur à la somme de leurs modules.

3.* TnÉonÊMK. Le produit de deux expressions imaginaires a pour module le produit de leurs modules.

Démonstration. En effet , le produit des expressions imaginaires

(58) « + PV/-1, 7 + V"^»

étant lui-même une expression imaginaire conjuguée à celle qui représente le produit

des deux suivantes

(65) « — PV/-!, 7-^V^.,

chacun des produits en question aura pour module la racine carrée de la quantité

qui résulte de la multiplication des quatre facteurs (58) et (65). Donc ce module sera i^quivalent à

{66) {oL-+p')Hr+9*yy

c'rsl-à-dirc, au produit des modules des expressions (58). Corollaire i." Le produit de plusieurs facteurs imaginaires

a pour module le produit de leurs modules.

Corollaire 2.* Si, dans le corollaire qui précède, on suppose les divers facteurs imaginaires égaux entre eux , et leur nombre égal à m , on reconnaîtra que la m* puissance d'une expression imaginaire a pour module la m* puissance de son module.

Corollaire 3.* Gomme le produit de plusieurs modules ne peut devenir nul, sans que l'un de ces modules s'évanouisse , et qu'une expression imaginaire dont le module s'évanouit se réduit nécessairement h zéro; il est clair que le corollaire i.*' entraînera encore la proposition suivante.

/|.* TnÊORKME. Le produit de plusieurs facteurs imaginaires ne peut s^ évanouir avec son module, qiCautani que Cun des facteurs se réduit à zéro.

On établit encore sans drfliculté les théorèmes suivants.

5* Théorume. Pour diviser une expression imaginaire par une quantité réelle ^ il suffit de diviser par cette quantité, (Ums Ccxpression dont il s'agit, la partie réclU ei le coefficient de ^/T.

Démonstration. En effet, diviser l'cxpre-sion imaginaire

a + pv/r^

par une quantité réelle 7 , c'est chercher une seconde expression imaginaire

X = p + q\/^, qui , étant multipliée par 7 , reproduise la première, en sorte qu'on ait

(67) 7(p4-vV/-1) = «+PV/^i-

Or l'équation symbolique (G7) équivaut aux deux équations réelles

desquelles on tire

et par suite

(68) X=rp + q^, = -^+^^-.

Donc, pour obtenir le quotient de l'expression imaginaire a + p^/!7 par la quantité réelle 7 , il suffit , dans cette expression , de diviser par 7 la partie réelle et le coefficient de y/T.

6.* THàonÊME. Pour diviser une expression imaf^inaire a + ^{/"^ par une expression semblable 7 + ^V^» *^ suffit de multiplier la première par une troisième expression imaginaire 7 — ^^/T qui soit conjuguée à la seconde , et de diviser le produit obtenu par le carré du module de 7 + ^\/^ •

Démonstration. En effet diviser a -4- Pv^rT par 7 -f- ^y/T , c'est chercher une expression imaginaire

qui soit propre à vérifier la formule

(69) (7 + ^V/^i)«^ = « + PtA.

D'ailleurs, si l'on multiplie par 7 — ^^" les deux membres de l'équation (69) , elle deviendra

(70) (7' + ^0^ = (« + PV/--0(7-^V/^0.

et Ton en tirera

Or cette dernière formule comprend évidemment le théorème 6.

Scliolie, Si l'on développe le second membre de la formule (71), en ayant égard au théorème 5 , on trouvera