IV.* ani«£e. tt
( 88 ) (îl6) J? = ±(— aJ^V^.", .
Ces dernières s'accordent» comme on deyail s'y alteodre, avec les formules (4o) cl (4s) du paragraphe i.*'
Dans le cas où « s'évanouit , l'équation (6) se réduit à
et Ton tire de la formule (i8) ou (19), 1.® en supposant p positif, 2.* en supposant p négatif,
Ainsi, en particulier, les deux racines de l'équation
(5o) aî« = v/=T
seront données par la formule
et celles de l'équation
(32) aj« = — j/T
par la formule
Revenons maintenant h l'équation (5) , et supposons que le coefficient A cesse de s'évanouir. Cette équation pouvant s'écrire comme il suit
(34) la: + ^y + B-^=o.
on en tirera
Or l'équation (35)» étant de la même forme quci'équation (6)» se résoudra de la niéme
manière, et fournira pour îc^ des valeurs semblables aux yaleurs de œ déler
minées par la formule (18) ou (19).
Exemple. Soit donnée l'équation du second degré
On en tirera
ja>-(|+2ï/:r)j=(|4-2v/n-) -(6 + 8^/17) .^-i^ + .t/-
D'ailleurs • si l'on remplace x par x — [--4"2V/-ij dans le premier membre de la
,5 formule (18) , et si l'on pose en outre a rn: ^ , (3=2, on lirera de cette formule
(38) *- (4 + ^^~) ==^ (t + '»^) • et par suite
Donc les deux racines de l'équalion (36) seront respectivement
(40) a; = -- + 2v/" — f-i. + 2vAW2, x = h2V/" + (^ +2V/m)=3 + 4i/^.
§ 3. Sur la résolution des équations binômes.
Considérons une équation binôme du degré n , la lettre n désignant un nombre entier quelconque. Si l'on réduit le cooflicient du premier terme à l'unité, cette équation se présentera sous la forme
A' étant une constante réelle ou imaginaire, et Ton en tirera
Donc , en écrivant , au lieu de — K , a 4- p ^/!7 , et attribuant aux lettres a , p des valeurs réelles, on ramènera l'équation (1) à la forme
Or on prouvera facilciuenl que cette dernière peut toujours être résolue par des valeurs rcrilcs ou imaginaires de la variable x. C'est en efTet ce qui résulte des principes que nous allons établir.
Supposons d'abord que le degré n se réduise à une puissance de a , c'est à-dire k l'un des nombres s , 4» 8, i6, ..... Alors l'équation (3) se trouvera réduite à Tune des suivantes
(4) a:' = a+^v/^r,, (5) .r4 — a + «;v/"i, (6) ar» = a+pV/-"i , (7) x'^ = a+p\/Ti , etc.
Or l'équation (4) a déjà été résolue dans le paragraphe précédent» 611 Ton a fait voir qu'elle admet deux racines de la forme p + 7 V^^« Do plus il suffira do poser
x^=j, y^ = z, z*^:=u, etc., pour obtenir, à la place de la formule (5) , le système des équations binômes (8) a:' = r. 7» = a + 3v/T;
U la place de la formule (6) , le système des trois équations binômes 9) a;' =7, 7* = c, z»=a + pv/n;
à la place de la formule (7) , le système des quatre équations binômes
(10) x*=y, 7' = «, 5» = u, u* = a + fv/";
etc...
D'ailleurs, la dernière des formules (8) étant semblable à l'équation (4). on en tirerff deux valeurs réelles ou imaginaires de j; et, après avoir substitué successivement ces deux valeurs dans le second membre de l'équation x* z=jr , on déduira de celle-ci quntro valeurs réelles ou imaginaires de x qui seront propres à vérifier l'équation (5). Pareillement on tirera des formules (<)) deux valeurs de z , quatre valeurs de jr, et en définitive huit valeurs de x propres à vérifier l'équation (6). De même encore on
tirera des formules (10) seize valeurs de x propres à vérifier l'équation (7); etc
Donc chacune des équations (4) , (3) , ((>) , etc.. , oOrira autant de racines que son degré renferme d'unités. On voit en outre que la détermination exacte de ces racines ne pré* i^rntera aucune difficulté.
Supposons maintenant que le degré n soit un nombre impair. Dans cette hypothèse.
(85) réquatifui (5) admettra certainement une ou plusieurs racines réelles ou imaginaires , si Tune des quantités a, (3 s'évanouit. En eflcl, soit 2m -f- ^ ^me valeur impaire de n. On vérifiera évidemment l'équation
ou
en prenant
(i5) aî = a*- + *, ou bien (i4) a: = — (— a) ""•+• ,
suivant que a sera positif ou négatif; et l'équation
(i5) *'' = fV/r.,
OU
en prcnaHt
(,7) a:=(— 1) ? •- + • v/^. oubien (18) x={—i) (fi) •-*• ^/^ ,
suivant que Ç, sora positif ou^négatif. J'ajoute que, si , n étant impair, les quantités a , ^ ne s'évanouissent ni Tune ni l'autre , on pourra cncoru trouver une valeur réelle ou imaginaire de x propre h vérifier l'équalion (5) , ou
(19) j;/.(« + P^/-)r=:zo
C'est ce que l'on démontrera sans peine en raisonnant comme il suit.
Représentons par p + 7V^^ **n© valeur imaginaire quelconque attribuée à la va* riable x , par
la valeur correspondante du binôme
(21) a;« — (a + fv/-),
ci par r,f, U les modules des trois expressions imaginaires en sorte qu'on ait
Le module A do rexpression (ao) deviendra, m vertu du théorème s , supériour h la différrnco
éi l'on suppose r" > p , r > o" ; el par conséqueut il surpassera le module p , si Ton u
(«6) r>[^2py'.
Au contraire R sera équivalent à la valeur numérique de p ou de a , et par conséquent inférieur à p , si l'on suppose
ou hiiMi
Donc la plus potito Viileur que puisso acquérir le module R de Texpresêion (ao) ou ('2 1 ) , tandis que x varie , est inférieure au module . p de a -f" P[/^ » ^^ correspond à une valeur de x différente de zéro, mais dont le module r ne surpasse pas (sp)*- D'ailleiir.4, si Ton attribue h la variable x une valei^distincte de p + 9V^' ^^ représentée par
le binôme (ai) se transformera on une fonction entière de z du degré n, savoir»
(29)* (/7+7V^» + O"---(«+PV/"0 = ^+<?V/^»+'»(p+7V/^)'''"'-+---+"(p+7V^0«''^' + «''-
* La formule (39) io. d>':(Iuit immédiatement de l'équation (ao) jointe k celle qu'on ulitient en remplumant 7 par p-^tj^in danH l'équation connue
.fl) (y+«}»=y+ny — '£ + ... +nyc- — '+2-.
Au rmle, IVmploi que nous faiM)n<i ici de la formule (ai) n'exige pa.t que l'on détermine Icii coefficients de toutes le« puijtàancrs de z qui enlrrnl dnii.s le second membre de cutle formule ou do la formule (a). On peut même} à la rigueur, calculer seulcnionl le roeflicient de z. Or, pour s'assurer que ce coefficient se réduit, dans la formuli- («I), Ji ny" — ', il suffit d'observer que l'un a généralement
•t par Miitc , en supposant r g = 2, = ...=£„ = s ,
( 8? ) Or, dans la formule (sg) , la somme des deux premiers termes du second membre , s^évanouirn , si l'on prend
Mais, si l'on prend #
c désignant une quantité positive très -peu différente de zéro, ce second membre deviendra une fonction entière de < qui offrira pour premiers termes les deux expressions imaginaires
Donc, si l'on divise cette fonction de e par P+Çv^^ » '^ quotient sera de la
forme
^1 » c^ » ••• , ^n-.i désignant des coefficients réels ou imaginaires, et Ton trouvera, en supposant la variable z déterminée par l'équation (3i) ,
(33) (p+^v/r,+.)n-(a+pv/"i) = (P + ÇV/-"0(i-^+^x«'+^3«^ + -..+^«-.«^
Observons maintenant que, si B n'est pas nul, le second membre de l'équation (53) offrira , pour de très-petites valeurs de s, un module inférieur à R. En effet, si Ton nomme
les nodules des expressions imaginaires
la somme des expressions
ou le polynôme (32) aura pour module [en vertu des théorèmes s , 3 ft de leurs corollaires] un nombre 0 inférieur à la somme des quantités
en sorte qu'on trouvera
D'ailleurs, pour <lc très-petites valeurs de i , le polynôme
(05) 1 -^i« — 3ta«* — ... — x„,x''-»
étniit très-pi'u diÛbrcDt de Tunilé » on conclura de la formule (34)
(30) 9<i, (3;) rjn<:n.
Donc, lorsque H ne sera pas nul, on pourra choisir e de manière que le modulo Blf de l'expression (33) devienne inférieur à R. Il tuit évidemment de celte remarque que le plus petit module de l'expression (si) ne saurait différer de zéro. Donc,
puisque ce plus petit module correspond à une valeur de r inférieure à (-ip) * , cl que l'expression (si) s*évanouit avec son module , l'équation (19) ou (3) admet une ou
plusieurs racines dont les modules sont renfermés entre les limites o, (sp) '.
Les principes que nous venons d'exposer ne servent pas seulement à prouver que, rlnns le cas oii n est impair, l'équation (3) admet une ou plusieurs racines réelles ou imn<;iiinires. Ils fournissent encore le moyen de déterminer numériquement au moioi rime dr ces racines. En ciffet , supposons que n étant égal à sm-|- > » on désigoe ptu* Xi la valeur de x donnée par l'une des équations (i3), (i4)> (^7)' (i^)- Aprèi avoir calcule les valeurs correspondantes des nombres x, , x, , ... x„, , on trouvera sans p<'ine une valeur de e propre à rendre positive la quantité (33), c'est à-dire, à vérifier la condilion (58) x,i4.x,c'+ ... + x„.e'»-'<i .
(lar il su (lira , pour y parvenir, d'attribuer à < des valeurs décroissantes, par exemple,
