IO
jusqu\^
ce
que
le
polynôme
i|ui décrr^it constamment et indéfiniment avec t , devienne inférieur à Funité. Or, • étant choisi do manière à vérifier la condilion (38) , il suffira d'ajouter à x^ le second meuibrc de la formule (31), pour obtenir une nouvelle valeur de ;b , à laquelle réponde une valeur de R plus petite que le module de l'expression cBi^-f*^"!" ^l/^* Soit X, cette nouvelle valeur de x. L'opération par laquelle on a déduit x. de
(89) Xg , étant plusUîurs fois répétée, fournira une suite do valeurs do x , auxquelles cprr rcspondront des valeurs de plus en plus pclîtcs de la quantité positive R ([ui représente lo module de l'expression
^n + a + PV/r,.
C4ela posé , soit
(4o) îPi » îTa » ^3 > ^4/ etc.,
la suite des valeurs de x .dont il est ici question. Tandisquc les modules des expressions
(40 ^i'*+a + Pl/"i » ^a" + « + PV/^i? ^B^+a + Pv/-"; , iP^n+a-^pj/- , etc..
deviendront de plus en plus petits , les termes do la série (4o) convergeront vers une certaine limUe qui sera nécessairement une valeur de x propre à vérifier Téquation (3].
Il reste à examiner le cas où lo degré n de l'équation (5) ne se réduit ni 5 un nombre impair, ni & une puissance de 2, Soit, dans colle hypolhèse, 2' -la plus haute puissance de 2 qui puisse diviser lu degré n. Ce degré sera le produit do a' par un nombre impair 2 m + î , cl Téqualion (5) ou
(4a) ^»'.C«'"+0 = a + f5V/ri
pourra être remplacée par le sjstèmo des deux formules
Or la seconde des équations (4^) > étant semblable à Téqualion (3), mais d'un degré impair, pourra toujours être vérifiée, d'après ce qu'on vient de dire, par des valeurs réelles ou imaginaires de 7 ; et, pour chacune de ces valeurs de y , l'équation
dont le degré se réduit à une puissance du nombre 2 , fournira autant de valeurs de x que son degré renferme d'unités.
On peut donc affirmer que, dans tous les cas , une équation binôme admet des racines réelles ou imaginaires.
Au reste , on s'assurera facilement que le module de chacune des racines de l'équation i (3) se réduit toujours à p*. Car, si l'on nomme r le module d'uno de ces racines, on aura, on vertu de ce qui a été ci-dessus [page 72],
IV*. ANNtu. l5
( 90 ) et par suite
S 4* Sur la résolution des équations de degré quelconque à coefficients réeU.
Si , dans une équaliou du degré n , on réduit à l'unilé le coefficient du premier tcrjiic , elle se présentera sous la forme
(i) 0?" + Ax''- ' + 2?a;«- » + ... + /x + iC = 0 .
Si d'ailleurs les coefficients A , B , 7, K sont réels et donnéàcn nombres, on
pourra, lorsque certaines conditions seront remplies, affirmer que l'équation (i) admet des racines réelles , et l'on établira sans peine les propositions suivantes.
8.* TnÉoRÊME. Si, en substituant Cune après C autre , dans le premier membre de C équation {\)t deux valeurs réelles et finies de x, par exemple x = a,x = b^ on obtient deux résultats de signes contraires, on pourra en conclure que Céquation admet au moins une racine réelle comprise entre a et b.
Démonstration, En eflet concevons que l'on fasse varier x par degrés insensibles depuis la liniiie x* = a jusqu'à la limite x = 6. Le premier membre de réquatio» (i) , ou le polynôme
(j) a" + ^a?'— '+^j?'— > + ... + /a: + iC
variera lui-même par degrés insensibles» en conservant une valeur finie, mais de maiiièrc à changer de signe; et il est clair qu'il s'évanouira au moment où il passera da positif au négatif, ou du négatif au positif.
Corollaire j. Il est bon d'observer que le polynôme (a) peut être considéré comme le produit des deux facteurs
(ô) x", et (4) . + 44.^ + ...+L+A,
dont le second diflère très-pou de l'unité, el par suite resto positif, quand onaltribueii la variable x une très-grande valeur numérique. Gela posé, comme l'autre facteur x'* change de signe avec x , dans le cas où le degré n est un nombre impair, il suffira évidemment, dans ce cas, d'attribuer è la variable x deux valeurs de la forme
( 9» ) a désignanl une quantité positive très-comidérabI«, pour que les valeurs corrcspon* dautes du polynôme (â) soient affectées de signes contraires. Donc alors l'équation (i) admettra au moins une racine réelle.
Corollaire 2. Si, le degré n étant un nombre pair» on. désigne toujours par a une quantité positive très-conaidérable » le polynôme (3) ou le produit des facteurs (5) et
(4) sera évidemment positif pour a;= — a. Si d'ailleurs la quantité K est négative, le polynôme (2) deviendra positif pour x = o. Donc alors ce polynôme changera de signe tandis que l'on fera varier x soit entre les limites a; = — a , a* = o , soit entre les limites a; = o, x = a. Donc par suite l'équation (i) admettra au moins deux racines réelles , l'une positive» l'autre négative.
g.* Théorème. Supposons que, dans le polynôme (2)» le dernier terme étant négatif, les termes positifs , s^ilen existe, suivent immédiatement le premier terme. V équation (1) admettra une racine réelle et positive, et n*en aura qu*une de cette espèce.
Démonstration, Soient
fi > pt » p»— 1 9 P»
les valeurs numériques des coefficients
£n vertu de l'hypothèse admise, l'équation (1) sera de la forme
(5) «'• + p««»-*+p,aî»— + ... 4- p,e«»-'* — p«+, «»-'--»-. p„«.,a? — p^—o,
m étant un nombre entier inférieur h n. D'ailleurs le polynôme
(6) a?" + p,«"-« 4- p.*»-» + ••• + P««"""'" — pm+i*""""-* — ... — pi.-i« -— p» est le produit des deux facteurs
(7) x—, (8) «,-+p.»-- +...+f (±^ + ...+>ilZi-. + ii|;
et U est clair que , si l'on fait croître x par degrés insensibles» mais indéfiniment , à partir de x = o , l'expression
(9) «"• + Pt»"— "^4-— +P-
croîtra en passant de la limite p» k Pinfini positif» tandît qae l'expression
clécroUra en porssanl de rinfini positif h zéro. Donc alors U différence (8) croUra sans cesse, en passant de Finfini positif à rinfini nâgalif. DoDC celte différenee s'i^fanouira , mais nno fois seulcmcnrt , pour une valeur posithre de x , ci l*oii pôaiYa ea dire autant du polynôme (6) qui forme le prcmrcr membre de l'équation (5).
Corollaire. Lorsqu'on suppose m = o , l'équation (5) se réduit h
(n) ar" — p,a?»-»— p,a;«-» — ... — p„^a? — p„ — 0.
Doue celle dernière admet i/ne racine réelle positive , et n'en a qu'une de colle cap(M:e.
Lorsque les cocfTicionts de l'équalion (5) ou (ii) sont donnés en nombres» on peut aisément déterminer la racine positive de celle équalion avec une approximation aussi grande qu'on le juge convenable, h l'aide de procédés semblables h ceux auxquels on a recours dans l'cxlraclion des racines carrées et cubiques. Il est d'ailleurs facile de trouver une limite jsupérieure h la racine donl il s'agit. On y parviendra en p^irliculier pour l'équation (il)* ^" suivant l'une des méthodes que nous allons exposer.
Soient p le pins grand des coefficients p, , p. , .... Pn-i , p« » et t. la racine posilive de l'équation (i i). On aura
(la) »."=p.v'— »+p,x "-» + .. .+p„«,v + p„,
cl par suile
v •• 1 ou , ce qui revient au môme ,
Donc la racine pôsrtive de rKqtratron (ii) sera nifériecrre àii plus gmnd d^i nobibtes
(l4) pt+>* P»+ »>.... P11-1 + * » pn + l.
De réqu.'ftioD (i9)v préscat<ée éov» lo forme. . . :
( 93 ) on conclut encore que les rapports
doÎTent être ou é^aiix entre eux et à — ^ eu les uns supérieurs , les autres inférieurs à — . DoQC par suite les rapports
np,
Hpa
wp«-i
npn
doivent être ou égaux, ou les uns supérieurs,- Ies> autres inférieurs h l'unité; et Ton pourra en dire autant des expressions
Or il en résulte évidemment que la racine z sera comprise entre le plus petit et le plus grand des nombres
(i8) îipi, ('ip^'f ••' (''P"-»)"""^» («PVi)*.
Observons maintenant que, si dans |e premier tnembré de Féquation (i i), on attribue h la variable x une valeur positive quelconque désignée par r , la valeur correspondante do ce premier membre sera
(19) r» -T..f»xr?^*-*f ^r"-* — - ... — Pk-iT.— p„ ,
ou, ce qui revient au môme, , .
/ V n( P» P» Pn — 1 Pn \
Or le produit ;(ap) est composé dbfloiixlact^an^qui^, pour des valeurs cpobsahtes (le^ r , croissent l'utf çt loiiiré , etjconvergest) 4é jireifnior vers lar Irmîtc' 00 , le secbàd vers la limite . i. Podc.oe produit ,^iit s'éwiiouit p«ur r ==: t> , deviendfa positif ^s que l'on aura r > f , par exemple, lorsqu'on supposera r = p -{- 1 , ou lorsqnf'éa prendra pour r le plus grand des nombres.Ci^);; de plus, le pTodutt dont il s'agit ou le polynôme (19) deviendra infini pour des valeurs infinies de r.
§ 5. Sur la résolution dei équations de degré quelconque à cocfflcieMs imaginaires^
Considérons » comme dans le § 4 • ^^^ équation du degré n , mais h coefficienU imaginaires. En réduisant le coefficient du premier terme à l'unité» on ramènera encore cette équation à la forme
(i) «»4-^j>»-«4-Ba?»-->4-,..4-/« + JK = o.
Seulement les constantes A , B , ..* I , K, et les valeurs de œ propres à ténCer l'équation {\) , pourront être imaginaires. D'ailleurs, si l'on désigne par p-^q!^^ une valeur imaginaire quelconque attribua à ia Variable sb , et par
les modules des expressions imaginaires
A , B, ... I , Kj^ P+vV^' le module du polynôme (a) ./«"-' +iîa?"-«4-...+/j?+JK
sera [en tertu des théorèmes s et 5] égal ou inférieur è h somioie
(3) P»r"—4-p.r»-* +...+pn-«r 4-p„, et par suite le module du polynôme
(4) iP»+^«'»-' + B«'»-»4-... 4-/jî4- X
[Toyez encore le théorème 2] sera égal on supérieur k la diBTérence
(5) r» — p,r»-'— p.r**-" — ... — p»,r-rp„,
lorsqu'elle sera positive^ c'est-à-dire, lorsque le module r" de 0" surpassera celui
du polynôme (3). Or l'expression (5) acquerra une râleur positive et différente de séro
[voyez le S 4] > ^^ 9"^ 1^ module r deviendra supérieur h la quantité positive » qui vérifie l'équation .
(6^ t.'»=:p,t*-»4-p»^""'^4-*««4-Pii-i*4-p«»
par exemple « lorsqu'on prendra pour r le plus jgrand des nombres
( 9fi )
OU le plus grand terme de la suite
Donc alors le module du polynôme (4) * étant égal ou supérieur à l'expression (5) , acquerra lui-même une valeur difTérenle de zéro. Donc Téqualiou (1) ne peut elre vérifiée par aucune valeur de x dont le module surpùsse la quantité i . Ajoutons que , si le module r, devenant supérieur à- v» croit au*delà de toute limite, on pourra en dire autant de l'expression (5) , et, à plus forte raison , du module du poljnomo (4)-
Concevons maintenant que l'on désigne pur P -f- Qv/T la valeur du polynôme (4) correspondante à a;=/)-|-*9^/rr» et par It le module de l'expression imaginaire P + QV^ • D'après ce qu'on vient de dire , le module B croîtra indéfiniment avec r. Donc les plus petites valeurs de ce module correspondront , non à des valeurs infinies, mais h des valeurs finies de r et de ce. D'ailleurs, si l'on attribue à la variable X une valeur distincte de p + 9 1/^ ' ®^ représentée par
le polynôme (4) se transformera en une fonction entière de -z du degré n , savoir'
(9) (/? + fV/^i+«)''+^(p+^.V/^i+r)«-'+.B(p+7V^i+0""'+---+/(/' + 7V^^^ qui pourra être présentée sous, la forme
P, , P. P„-, , Qt f Q%» •••• <?/»-. désignant encore des quantités réelles. Cela
posé , admettons d'abord que l'expression imaginaire P, ^ Qi\^ ne soit pas nulle. Alors, dans le polynôme (10) , la somme des deux premiers termes s'évanouira, si Ton prend
Mais . «i l'on prend '
S désignant une quantité positive très* peu différente de zéro, la même expression de-
(96) viendra uno fonclion entière de c qui offrira pour premiers termes les deux expressions imaginaires
P + QV^^ — «(P + <?i/-T). '
Donc , si l*on di?ise celio fouction de g ptr P 4* Ql/T » le quotient sera de k forme
Cl , c^ «n-t (lcsignaifi4f*dos coefficionts rdeb mi icaogioaires , ol l'^on troarera, on
supposant la variaMe z dctorminée par la formule (i s) ,
D'autre part , si l'on nomme .
les modules des expressions imoginaircs
on prouvota,cn raisonnant comme ci-dessus [page 87]', que ie tn'tidulc ô dtrpoljmome
est inférieur à la somme
et v^Tifie en conséquence la formule
des que Ton suppose s < i. Enfin la formule (i5) donnera évidemment , pour de Irès-petites valeurs de s ,
(lO) 0<i, (17) fiR<R.
Par conséquent, Iors(|uc U ne sera pa^ duI, on pourra choisir c de manière que le module 0/î de Texprcssion (i5) demeure Inférieur à R. Donc» si Texpresslon imaginaire P^ + QiV/-^ "^ s'évanouit pas, la plus petite valeur de R ou le plus petit module du polynôme (4) ae pourra différer do zéro.
(97) AdmettoDS à présent que Pi + Q,|/T 8'é?anouissc , et supposons que» parmi les expressions imaginaires
la première de celles qui ne sont pas nulles corresponde h Tiadice m. Alors, dans le polynôme (lo) réduit à la forme
(i8) P+<>v/r,+(p,„+ç^v^»)^«+(P^^.+ç^+,,/ri)z«-^»+...+(P„,.+ç„„,V^^^^
la somme des deux premiers termes s'évanouira , si Ton prend
( désignant une valeur de z propre à vérifier Téquation binôme
Mais , si Ton prend
< étant une quantité positive dilTérente de zéro , lo polynôme ( 1 8) deviendra une fonction entière de ' , qui ofirira pour premiers tenues les deux oxpro«sions imagiuoires
Donc, si Ton divise cette Tonction de i par /'H-Çv^T » le quolient sera de la forme
r, , c, ,... Cn^m désignant des coefficien If réels ou rmogioaires , et Ton trouvera, en supposant la variable z déterminée par Téqualion (21) ,
D'autre part, si l'on nomme
les modules des expressions imégiiiaire»
IV/Ann^e. 14
Ci 9 r, , ... r««.„,
on s'assurera , ea raisonnant comiae à la page 87 , que le module G ilu polynôme
vérifie la formule
lorsfju'on suppose t < i , et devient par suite inférieur à l'unité, lorsque i diffère très-peu de zéro. Donc » si It n*esl pas nul, le module ^R de Texprcssion (sS) sera, pour de très- petites valeurs de c » inférieur à // . Par conséquent ^ dans l'hypothèse iiilmise, la plus petite valeur de li ou le plus petit n^odule du polynôme (4) se réduir» encore à zéro.
Il est donc prouvé que, dans tous les cas, les valeurs finies de r et de a; » pour lesquelles le module R devient le plus petit possible , font évanouir ce module cl par suite le polynôme (4). Donc il exisle une ou plusieurs valeurs finies de x propres à vérifier l'équation (1). En d'autres termes, cette équation admet nécessairement une 00 plusieurs racines soit réelles , soit ima^ginaires.
La méthode par laquelle on vient d'établir i'exi^teoce des racines réelles ou ima^-
naires des équations de degré quelconque , peut encore servir au calcul numérique de ces racines. En effet, nommons ar, ,^0;, les deax valeurs de x ci-dessus désignées par p + 9V^M et p + 9l/T + ^* ^omv que le luodule du polynôme (4) diminue tandis que la variable x passera de la valeur a; = x. à la valeur a; = 0;» , il suffira de choisir le nombre i , de manière que le second membre de la formule (i5) ou
(25) devienne inférieur h l'unité, et par conséquent de manière 4{ue Ton ait
(26) x»t4-xat»+. .. + «,»-.. t»-»< I , ou
Or la condition (26) sera remplie , si Ton prend pour * uu nombre inférieur à la racine positive unique de l'équation
D'ailleurs cette équation, pouvant s'écrire comm^Jl.suil ■' \
fournira udc valeur pos^ilive de — inférieure au plus )2;rand des nombres
ainsi qu'à la plus grande des quantités
[voyez le § 4]» ^> par conséquent une valeur positive de « inférieure au plus petit dos . rapports
ainsi qu*à la plus petite des quantités
Donc le plus petit terme de la suite (3o) ou (3i) , étant pris pour f , vérifiera la condition (âC). De même on vérifiera la condition (27), en prenant pour £ un nombre inférieur à la racine positive unique de Téquation binôme
011 le plus petit terme de l'une quelconque des deux suites
X,+ l Xa+1 X„,„ + l
(7?-?n)x, ' ( (n-jii)x, ) * *" ( {«-m)7„,„ )
Ainsi /dans tous l<*s cas, après avoir choisi arbilTciircmenl lu valeur de x ci*diessus' repn'-senlée par x, ou p + ^^/T» ^° pourra de celle première valeur eu déduir«î une seconde x^ qui fournisse un moindre module du polynôme (4)- Cela posé , si Ton répèle plusieurs ibis de suile Téquation par laquelle on déduit ce, do x^ , on obtiendra évidemment une série de valeurs fini^'s de x auxquels correspondront des modules dr plus eu plus petits du même polynom/r» et si l'on déâi^çne oes valeurs par
(05) CD, , fl?» , œj , a?4 » ••• >
la limite vers laquelle elles convergeront, tandis que le polynôme (4) s'approchera indéfiniment de zéro» sera certainement une racine de l'équation (i)»
Soit maintenant a une racine réelle ou imaginaire de l'équation (i). On aura jden* tiquement
(36) a'* + Ja^-* + Ba"-* + ... + Ia + K = o ,
ou, ce qui revient au même»
Jt = — û" — ^û'— « — . fla«-» — ... — /a ^
et par suite
( x" + ^j?"- ' 4- Bi»"-» + .,. + /ir 4- il
( =2?" — a''-J-//(«'»-" — fl"-»)4-B(a;»-» — û^-* ) + ... + /(«—«)• Comme on a d'ailleurs» en désignant par m un nombre entier quelconque,
(36) «'" — . a*" = (a? — fl)(j?'"- « + ax""-^ + ... 4- a*"-» « + «'"- ' ) ,
la formule (Sj) donnera évidemment
Donc le polynôme (4) i qni est du degré n par rapport à a; » peut toujours être décomposé en deux facteurs» dont l'im soit linéaire et do la forme
Tautre étant un nouveau polynôme du degré n — 1 et de la forme
(40 a?"-'4-(«+^)*""'+(«*4-^fl+^)«*-'4-..4-(a''-'4-^a'«--»4.Ba'«-3+..4./).
De plus» en désignant par b une racine réelle ou imaginaire de l'équolion
(4a) x''-' + [a+A)x'*-*+{a*^Ja+B)x'''^+.. + {a'''-^+Ax'^-+Ba'^^+..+I)-o^
on prouvera encore que le polynôme (4i) peut être décomposé en deux fadeurs doni l'un soit X — 6 » l'autre étant un polynôme du degré n — - 9 et de la forme
(43) «'— + (^ + û 4- >')*'— ' + [^'+«^+«' + ^(^ + «)+i^]«"-^ + cic...
Donc le poljDome (4) sera le produit des fadeurs linéaires (c — a , x — b , par un pnijnome du degré n — a . En continuant de la même manière» on prouvera d(^finiiivement que le polynôme (4) est le produit de n facteurs linéaires et de la forme
par un polyuoma du degré zéro, c'csl-à-dire, par une constante; et, comme cette cons^ tante devra se réduire au cuefScienl de x'* dans le polynôme (4) » par conséquent à l'unité y on trouvera
(45) af' + Ax"-' + i?a?"— + ... + /j? + A = (j? — a){x - 6) .,.{x — i){x — k) . Donc l'équation (i) pourra toujours être présentée sous la forme
a, 6y •*. t , k désignant n constantes réelles ou imaginaires. Mais on a démontré [voyez le 4-* théorème] que le produit de plusieurs facleurs imaginaires ne peut s'évanouir qu'autant que l'un de ces facteurs se réduit à zéro. Donc toute valeur réelle ou imaginaire de x , propre à vérifier l'équation (46) , coïncidera nécessairement arec Tune des valeurs de x déterminées par les formules
c'est à-dire, avec l'une des constantes a , b ^ .... t , A:; et , comme clmcnne de ces constantes est évidemment racine de l'équation (46) , on pourra énoncer la proposition suivante.
10.* TuéoRÊHE. Quelles que soient les valeurs réelles ou les valeurs imaf^inaires (les coefficients A , B , .., I , K , f équation (i) a toujours n racines réelles ou imaginaires, et n*en saurait avoir un plus grand nombre.
De plus on déduira immédiatement de la formule (45) cet autre théorème.
!!.• Thèobême. Si Con désigne par a , b , c , ,.. i , k les n racines de C équation (0; le premier membre de cette équation ou le polynôme (4) sera le produit des facteurs linéaires (48) X — a, X — fc,...a5 — t, x — k.
Observons encore que , si l'on développe le second membre de l'équation (45) , elle deviendra
et que l'on. tirera de la formule (49) t en ayant égard au ihéofémc 7,
ah 4. ac + ... +ai + ak + bc+,.. + ùi + bk + ... +ik=z B ,
(5o) { ctc
abc.t '\-affe,..k + ... '\-ùc...ikr=i'qz i , abc...ikz=z±:K.
Or CP8 dernières équalions comprennent évidemment un théorème que Ton peut énoncer comme il suit.
] 2.* Tni^ORÊME. lA)rs<fUô, dans une équation du d**gré n , le cot/flcient du premier
terme e^t réduit à C unité, les coefficients du second ^ du troisième, du quatrième
du dernier terme, étant pris alternativement avec le signe — et avec lesif^ne +, sont respectivement égaux à la somme des racines , ou aux sonunes des produits qu*on
obtient en multipliant ces racines deux à deux, trois à trois, etc , ou enfin au
produit de toutes les racines.
Lorsque deux ou plusieurs des constantes a, 6, c,.«. sont égales entre elles » les facteurs linéaires correspondants deviennent ép;aux» et Ton dk que l'équntion (1) a des racines égales.
Lorsque, dans le polynôme 4» l<^& coeflicienl^ A , B , .... 1 , K sont réels» alors, en substituant successivement dans ce polynôme deux valeurs de x imaginaires» mais
conjuguées Tune h l'autre, par exemple,
on obtient évid'^jnmenl pour résultats deux nouvelles expressions imaginaires, qui sont encore conjuguées Tune b l'autre ou de la forme
(52) Z' + Çv/T. P — <?v/~.
P, Q clanl des quantités réelles. D'ailleurs, pour que chacune des expressions (5*) N'év.-,nonis.<e , il ser« nécessaire el il sulTira que Ton ait
(3) P = o, ^.:ro.
( io3 ) Donc ces deux expressions ne pourront s'é?anouir l'une sans l'autre, et si l'équalion (i) offre , dans l'hypothèse admise» une racine imaginaire d*e la forme /> + 9 V^T » elle eu offrira une seconde conjuguée à la première ou de la forme p — 9i/T- Dans le même cas, ceux des facteurs linéaires œ — a, x — 6, etc..» qui correspondront & deux racines imaginaires conjuguées, seront eux-n)êm€s conjugués entre eux ou de la forme
(54) x—p — q[/T;, ic — P + 9V/"»
et donneront pour produit un facteur réel du second degré, savoir,
(55) (aî,>)« + 7'.
Ces remarques fournissent les propositions suivantes.
i3.* TuÊ0BUH£. Si, dans Céqualion (1) , Its coefficients A , B , ,,, I , K sont tous réels, cette équation n*admettra qu*un nombre pair de racines imaginaires qui, prises deux à deux, seront conjuguées Cune à C autre.
i4.' Théorème. Si, dans le polynôme (4) , les coefficients A , B ,.... 1 , K sont tous réels, ce polynôme sera décomposabU en facteurs réels du premier ou du second degré.
Les deux théorèmes qui précèdent s'étendent évidemment à l'équation (76) du paragraphe 1 , et ou polynôme qui forme le premier membre de cette équation, c'est-à-dire, à tous les polynômes dont les coefficients sont réels , et aux équations qu'on obtient en égalant ces polynômes h zéro.
§ 6. Sur la détermination des fonctions ^métriques des rt^ctnes d*unc équation
donnée*
(1) aî"4-y<aî"— 4-fix"— + ...+/aî + Kz=:o,
dans laquelle A , B ,..,. I , K désignent des constantes réelles ou imaginaires. Si l'on nomme a , b , c , .,.. h , i , k les racines de cette équation. Ton aura , comme on l'a prouvé dans le § 5 ,
(a) / etc 9
flk..,i + fl6c...A + ... + Ac...i)fc = zp/ , abc...ik = ±,K.
Suil maintenant C uoe fonclioD entière «le chacune des racines a , 6 ^ c , ••• t « k , qui , comme les premiers membres des équations (2) , ue change pas de râleur» quand on échange entre elles ces mêmes racines. V sera ce qu'on appelle une fonction tymétrique des racines de Téquaiion (1)» et Ton pourra, sans résoudre cette. équation, déduire la valeur de U des valeurs supposées connues des coollicieiits A 9 B, C, ... I , K. On y parviendra en effet Irès-aisément Ix l'aide de la proposition suivante.
i5.* Thj&orkmk. Soient a, b, c, les racines supposées inégaUë de C équation
(]]. Concevons de plus que V représente une fonction symétrique de ces racines , et que, par un moyen quelconque , on ait transformé V en une fonction entière de a . du degré m , savoir,
(5) y a'" + aîtA"'-» + ••• + -"^^ + G = f^ #
S^ , 3Ti ,...§> G étant de nouveaux coefficients dont les valeurs se déduisent de oeUes des coefficients A , B , ... I , K, Si l'équation (3) subsiste tandis qu*on y remplacé la racine a par Cune quelconque des racines b , c , d , ,». , le polynôme
(4) ^«- + ;TrLa— «4-... + 5a + Ç:.
divisé par la fonction
(5) a'' + Ja'—' + ^a''— 4-... + la + K,
fournira un reste indépendant de a , et ce reste sera précisément la valeur de V*
Démonstration, En effet , dans i'hypotbëse admi&e, chacune des racines a , 6 , c» d... de l'équation (1) vériiiera encore la formule
(6) fx'- + !)Kx + ... + Sx + Ç. = U . D'ailleurs, si Ion désigne par
(7) Àx"-' -|- /Ad?"-» 4" ••• 4-«* + ^
le reste de la division du premier membre de la formule (7) par le premier oiembre do l'équation (9) , la formule (G) se réduira simplement à la suivante
Or cette dernière ne pourra être qu'une équation identique, en sorte qu'on aura néces-
sniroment
(9) >==0, ^ = 0, ... ç=rO,
( 105 ) et
(lo) TZ=U.
Car» s'il en était autrement, la formule (8) serait une équation d'un degré inférieur à ti , et pourtant elle admettrait n racines a , b , c , d , ... ce qui serait contraire au théorème lo. Donc, en divisant le premier membre de l'équation (6) par le premier membre de l'équation (i) , et par conséquent lo polynôme (4) par le polynôme (5) , on obtiendra un reste t indépendant do v ou de a , et ce reste, en vertu de la formule (lo) , sera précisément la valeur de U.
Pour montrer le parti qu'on peut tirer du théorème i5, concerons d'abord que l'équation (i) soit du second degré, et se réduise à
(u) X* '\'Ax + B = o.
Les deux racines a et 6 de cette équation vérifieront la formule
(la) a + bz:=i — A;
et , si l'on désigne par V une fonction symétrique de ces racines , il suilira de substituer à la racine 6 sa valeur tirée de la formule (12) , savoir,
pour changer U en une fonction entière do la seule racine a. Soit
(3) Pa'" + DTia'"-' 4- ... 4- Sa 4- G = t/
la fonction entière dont il s'agit. L'équation (3) continuera évidemment de subsister, ainsi que la formule (is), tandis que Ton échangera entre elles les racines a et 6. Donc, si ces racines sont inégales , le polynôme (4) > divisé par le trinôme
(i4) «•+pa4-7,
fournira [en vertu du théorème i5] un reste indépendant de a , et ce reste sera précisément la valeur do V .
Il est bon d'observer qu'en substituant dans U la valeur de b tirée delà formule (19) , on obtient pour résultat le reste auquel on parviendrait en divisant U considéré comme fonction de b par le trinôme
