IV.- Année. i

( io6 ) Donc , pour calculer la valeur d'une fonction symétrique V des racines a , b de l'équation (i i) , supposées inégales , il sufEt de diviser i.*" V considéré comme fonction de b par le trinôme (i5), 9.'' le reste de la division considéré comme fonction de a pAr 1^ Mpiaome (UV ^ «ouvmu reste, ainsi détormii^é. sera précisément k valeor c^iii^bée de U.

Concevons maintenant que Féquation (1) , étant du troisième degré, se réduise à

(16) x^+Ax* + Bx + C = o; ^

et soient a, b , c les trois racines de cette équation supposées inégales entre elles. On aura identiquement

(17) a^ + Aa^ + Ba + C=:o,

ou , ce qui revient au même »

C = — a» — /Ta' — ^a, ^

et par suite

«' + /ix* + jBoj + C = x' — a' + /i(a:» — a») 4- iî(a5 — fl)

= (x^a)[x* + {a + A)x + {a^ + Aa + B)]. Donc l'équation (16) pourra être présentée sous la forme

(18) {x — a)[x- + {a + A)x+{a* + Aa + B)] = o, et celle qu'on obtiendra en la djviaant par X'^a , savoir,

(19) x^ + {a + A)x+{a*+Aa'\'B)=o,

aura pour racines 6 et c. Gela posé, soit V une fonction symétrique des racinet a , b , c de Féquation (t6). Puisque réquation (19) est du second degré seulement, on déterminera sans peine la valeur de V considéré comme fonction symétrique de» racines b et 0, par la méthode que nous avons appliquée à la détermination des fonctions symétriques des racines de l'équation (u). On y parviendra en efl*et,en divisant U considéré comme fonction de o par le polynôme

.(ao) c + b + a + A,

puis le reste considéré comme fonction de b par le polynôme (21) b*+{a + A)b + a' + Aa + B.

Digitizied by

Le reste de la nouveile division sera une fonction entière de a , qni, divisée elle-même par le polynôme

(aa) a^ + Aa^ + Ba-^C,

fournira un troisième reste indépendant de a; et ce th>isième reste sera la valeur cherchée ^e V .

11 est important d*observer que, pour obtenir les polynômes (99) » (ai) » (so) , il suffit i.*" de poser x = a dans le premier membre de l'équation proposée, c'est-à dire, dans la fonction

(a5) x^ + Ax' + Bx-^C,

a.^* de retrancher le résultat ou le polynôme (ss) de la fonction (s3)« de diviser le reste par CB -— a , et de remplacer, dans le quotient ainsi formé , savoir,

(a4) x^ + {a + A)x + a* + Aa + B,

la variable x par la lettre 6 , 3.* de retrancher le nouveau résultat ou le polynôme (si) de la fonction (s4) « de diviser le reste par x — b , et de remplacer, dans le quotient ainsi formé, savoir,

la variable x par la lettre c.

Concevons encore que l'équation (1), étant du quatrième degré, se réduise à

(«6) «♦ + Ax^ + Bx* + Cx + D = o,

et soient a , b , c , d les quatre racines de cette équation, supposées inégales entre elles. On aura identiquement 1

(«7) rt* 4- Aa^ 4- jBa* + Ca' + 2) = o ,

ou , ce qui revient au même ,

D = — a^ — Aa^ — Ba* — Ca , et par suite

x^ + Ax^+Bx* + Cx + D=x^ — a^'\^A{x^^a^)'^B{x^^a^) + C{x — a) Donc l'équation (26) pourra être présentée sous la forme

( io8 ) («8) (oî — a)[aî' + (a + ^)a;' + (a*+^a + 2?)aî+(a^ + ^a- + iïa + f?)3 = o.

et celle qu'on obtiendra, en la divisant par x-^a , savoir,

(29) x^ + {a + A)x^ + {a^ + Aa + B)x+ {a^ + Aa* + Ba+ C) =0 .

aura pour racines b , c ci d» Cela posé , soit U une fonction symétrique des racines a , b , c , d de l'équation (26). Puisque l'équation (99) est du troisième degré seulement , on déterminera sans peine les valeurs de V considéré comme fonction symétrique dos racines b , c , d par la méthode que nous avons appliquée à la détermination des fonctions symétriques des racines de l'équation (16). On y parviendra en effet en divisant U considéré comme fonction de d par le polynôme

puis le reste considéré comme fonction de 0 par le polynôme

(3i) c* + {b + a + A)c+b* + ab + a* + A{b + a)+B,

puis le nouveau reste considéré comme fonction de 6 par le polynôme

(3a) 63 + (a + ^) 6» + (a- + Aa + B)b + {a^ + Aa* + Ba + C).

Le troisième reste que l'on trouvera en opérant comme on vient de le dire sera une fonction entière de a , qui, divisée elle-même par le polynôme

(53) «4 4. ^a^ + Ba^ + Ca + D,

fournira un quatrième reste indépendant do a; et ce quatrième reste sera la valeur cherchée de U .

Il est important d'observer que, pour obtenir les polynômes (33) , (Sa) , (3i) , (3o), il suffit 1/ de poser cd = a dans le premier membre de Téquation proposée , c'est-àdire, dans la fonction

(34) x^ + Ax^ + Bx^ + Cx + D,

2.** de retrancher le résultat ou le polynôme (33) de la fonction (34) , de diviser le reste par X — a , et de remplacer dans le quotient ainsi formé, savoir,

(35) x^+{a + A)x* + (a' + Aa + B)x + (a^ + Aa^ + Jîa + C) ,

( »09 ) la variable x par la lettre c , S."" de retrancher le nouveaa résultat oa le polynôme (Sa) de la fonction (35) , de diviser le reste par x — 6 , et de remplacer dans le quotient ainsi formé , savoir ,

(36) aî'4-(6 4-a + /i)a; + 6'+a6 + a'4-/^(a+6)+jff

la variable x par la lettre c , 4*^ ^^ retrancher le dernier résultat ou le polynôme (3i) de la fonction (36) , do diviser le reste par x— a , et de remplacer dans le quotient ainsi formé, savoir,

la variable x par la lettre d.

En continuant de la même manière, on parviendra généralement à déterminer les fonctions symétriques des racines d'une équation de degré quelconque , et l'on établira sans peine à ce sujet le théorème que nous allons énoncer.

i6.* THikoBEMB. Soient a , b , o ^ d , ... h , i , k les racines de Céquation (i) ,

(38) P = a;" + ^a5«-* + jBa5''-> + , ..+/» + «

le premier membre à cette équation , et U une fonction symétrique des racines a , b , c , ... h , t , k. Soient de plus

(39) ci., ^c). G,... 5. 5. ^

les polynômes dans lesquels se transforment i.^ la fonction P quand on pose x = a , 2.^ la fonction

quand on pose a; = 6 , ?»." la fonction

x-b quand on pose x = o , ^.' la fonction

quand on pose x = d , etc.... Pour déterminer la valeur de la fonction ^métrique V , il suffira de diviser i .* U considéré comme fonction de k par le polynôme

a.* fe raie considéré comme fonction de i par le polynôme

(44) 5 = î« + (A + ...+A+û)i+A» + ... + A«+a«+... + AA+Afl+... + *fl+^(î+A + ...+5+a) + B ,

5."" le nôuvean rôêU comidéré comme fonction de h parlepofynome ^ss4'-|-*"'»

etc Les différents restes ainsi obtenus seront indépendants ^ le premier de la racine

k , le second de la racine i » le troisième de la racine h , etc. , et te dernier de tous sera précisément la valeur cherchée de U.

D*aprè8 ce qui a été dit ci -dessus, il semble, au premier abord, qu*oa devrait restreindre le théorème 1 6 au cas où les racines de l'équation (i) sont inégales entre elles. Mais on doit observer qu'en dernière analysa la valeur de U , déduite de ce théorème , sera une fonction des coeiScients A , B ,..• I , K ; et même une fonction entière, puisque, dans chacun des polynômes dC , ^ , ^ • etc. , le premier terme a pour coefficient l'unité. Désignons par V) cette fonction entière. La formule

subsistera lorsque les racines a , b , c , .... h , i , k seront inégales , quelque petites que soient d'ailleurs les différences de ces racines. D'autre part on pourra faire varier les coefficients A , B , ... I ^ K , par degrés insensibles, et de telle manière que deux ou plusieurs de ces différences s'approchent indéfiniment de la limite zéro; et, comme la formule {/=0 continuera de subsister dans cette hypothèse, il est clair qu'elle sera encore vraie au moment où les différences dont il s'agit s'évanouiront , c'est-à-dire , au moment où des racines de l'équation (i) deviendront égales entre elles. Donc le théorème i6 s'étend au cas même où cette équation offre des racines égales.

Il est bon d'observer encore que- les polynômes dC, d> ^ O • yfi> » eHo sont

précisément ce que deviennent les premiers membres des équations (s) présentées sous les formes

B — ab — ac.,. ^^ai'^ak — bc... ^^ bi — bk,., — tk = o ,

(45) { elc

7it {abc.i-^-abc... fc-f-... + bc.ik) =o , \ Kq=a6c...t^ = 0 ,

quand oa substitue dans la second!» la mIoot de k Itrée de. h premièrt , daw lu Iroi» sitoia les valeurs de i et do s tirées das deu pfemîères , dana la ^atridme kn Valeurs de k , i, h tirées des trois premiteas^ ato...» Aînaî, eu particulier» sr Fou» suppose x = /^, les équations (45) deyiendront

^ (a6 4- od + arf 4- 6c + 6rf -H c j) = o , C + abc + abd + acd + écrf = o , C — abcd = o ; et Ton tirera de ces équations, en opérant comme on vient de le dire

/ ^ + tf + 6 + c + rf = o»

jff4.^(a4-64-c) + a» + 6» + c' + a6 + ac4-fcc = o,

Or les premiers membres des formules (4?) se réduisent évidemment aux polynômes- (3o)« (3i) » (Sa) et (33). Ajoutons qu'au lieu de diviser successivement la fonction symétrique V par les polynômes

on peut éliminer l'une après l'autre les lettres k , i , h ,,,. o , b\ a de cette même fonction à l'aide des formules

(48) X = o, 3z=o, ^ = 0,... G = o, ^ = 0, ct = o,

ou, ce qui revient au même, à l'aide des formulas (45).

Pour montrer une application des principes que nous venons d'établir » prenon»

(49) 1/ = 6 »c 4- 6c« + c«a 4- ca* + a»6 + «6* ,

a ^ b , c étant les trois racines de l'équation (i6) que nous réduirons à

x^ + Bx + C = o,

( lia ) '

en supposant pour abréger A = o* Alors, pour déterminer la valeor de la fonction symétrique 0 , il faudra diviser successivement le second membre de Téqualion (4g) par les polynômes {20), (ai)» (aa) , ou plutôt par les suivants

(5i) c4-6 + a, b^ + ab + a* + B , a^ + Ba + C,

considérés le premier comme fonction de o , le second comme fonction de b , le

troisième comme fonction de a. En d'autres termes» il faudra poser, dans Téquation

(53) 6«4-a6 = — a« — JB, 3.*

(54) a^ + Ba = —C.

Or, en opérant de cette manière, on trouvera

On aura donc

(56) 6»c 4- 6c» + c*a 4- ca* + a»6 + ab* = iC , ce qui est exact.

Prenons encore

a , b , c , d étant les quatre racines de l'équation (a6) que nous réduirons à

(58) x^ + Bx* + C^ + O = 0 ,

on supposant, pour abréger yj =0. Alors, pour déterminer la valeur de la fonction symétrique V , il faudra diviser successivement le second membre de l'équation (57) par les polynômes (3o), (3i) , (32) , (33), ou plutôt par les suivants

(59) </+c+6+fl, c* + (6+fl)c+6«+aA+fl*+B, ^'+aA»+fl»^+a'+^(a+A)+(7, a^-k-Ba^-^Cai-Df

considérés le premier comme fonction de d , le second comme fonction de e , le troisième comme fonction de 6 , le quatrième comme fonction de a. En d'autres termes, il faudra éliminer successivement de l'équation (57) les quatre lettres d , c , 6 , a , à l'aide des formules

c» 4- 6» + a* + 6c 4- ca + a6 4- i? = 0 , 6o)

(6 + a)(6* + a« + jff)4.C = o,

rt^4-JBa»4-6a + /) = o.

Or, en opérant ainsi, on trouvera

On aura donc (62) {a + b){a + c){a + d){b + c){b + d){c ^ d) = — C^;

ce qui est exact. Nous remarquerons que , dans cet exemple, l'opération se termine aprës la troisième division, en sorte qu'on est dispensé do recourir à la dernière des formules (60). Des simplifications du même genre se présentent dans un grand nombre de cas, et il peut même arriver que l'opération se termine après la première ou la seconde division. Ainsi, en particulier, si Ton suppose

a , b , c , ....h , i ^ k étant les racines de l'équation (1) , il suffira de diviser successivement V par les polynômes (43) et (44)* ou, ce qui revient au même, d'éliminer les deux lettres k et t de la fonction U à Taide des deux formules

(64) cX = o, 5 = 0,

pour obtenir la valeur de cette fonction. On trouvera en effet

U = a- + b*+c* + ...+h* + i' + {A + a + b + c...+li + iy

= A^ + ^{3--B)=A^ — ftB, et par conséquent

(65) a» 4- 6« 4- c' 4- ... 4- A' + i* + *• = ^' — 2 i» ; ce qui est exact.

Le produit des carrés des différences entre les racines de l'équation (1) , combinées deux à deux de toutes les manières possibles , est évidemment une fonction symétrique de ces

1V.*A1IHÈ1. 16

( 114 ) racines. Or il est facile de déterminer It valeur de cette fonclioa par les méihodei cidessus développées. Eu effet supposons d'abord n = a , et

a , b étant les deux racines de Téqualion (ii). Alors » pour déterminer V , il suffira d'éliminer successivement de la formule (66) les deux lettres a et 6 à t'aide des deux équations

(67) 6 + /i + /fz=o, rt*4-^a4-ir = o. Or on trouvera ainsi

(68) f/=(aa+v<)' = yi« + 4(a'4-^a)=^' — 4i». On aura donc

(69) (a — 6)- = ^»— 4/?; ce qui est exact.

Supposons en secoud lieu n = 3 , et

(70) t/ = (a — hY[a — 6Y[b -c)\

Comme b ci c seront les deux racines de l'équation (ig) « on aura identiquement

(71) (oB — 6)(a? — c) = »• + (a + A)x + a* + Aa + B , ai par suile

(7») (a — 6)(a — c) = 5rt' + 9 //a + i? ;

puis on conclura de la formule (69), en y remplaçant i.*" a et b pur b ri c , u»"" A et B par «4--^ et a* 4--^^ 4" -S»

(73) (6 — c)« = (a + Ay — 4 (a* + /*« + 2?) = /<• — 4i» — «^/« — Su* . Cola posé, la fonnule (70) donnera

(74) t=(3a" + 2^a + i')*(^' — 4fi — sÉ^tf — Sa')..

Si maintenant on divise le second membre de l'équation (74) par le polynôme

a54-yrfa' + fia + ^\ le reste sera indépendant de a » et offrira la valeur cherchée dft l< . On peut aussi

( ii5 ) obtenir cctto valeur, en éliminant U lettre a de la formule (74) > à Taide do Téquattoh

(17) a^ + Aa^ + Êa+C = o.

Or» en ayant égard à l'équation (17) > on trouvera

(3a> + %Aa + By = {A^ — 5ir)d* -f {AB — QC)a + É' — iAC , et par suite (75) V = iB- — lAC+{AB^9C)aJ^{A^^iB)a*][A* — iiB^%Aa^5a*'\;

puis, en développait le second membre de la formule (75)» et remplaçant a^ par — -/<a»— jffa— C, a< par —Aa^'^Ba* — Ca={A*—B)a* + {AB — C)a + AC, ou» ce qui ^vienf aa même, a^ par AC , a' par — C9 a* et a par séro, on aura

On trouvera donc défioitireinent

](77) {a — by{a — o)'{b^cy = A'B' — /tA*C-~itB^ — i-jC*^i&ABC. Dans le ca» partieufier où l'on a A^o , l'ëquâlîon (^5) se rédurt & £/ =s (Sifa* 4- g C« — ^«) (3«« + 4ir) ;

puis on en tire, en développant le second membre» et remplaçant a^ par — C , a ^ a* et a^ par zéro,

(78) U=z — AB'-2yC\ ou, ce qui revient au même,

(79) {a — A)*(a — cy{b — c)» = — 4B^ — 27c* .

Cette dernière équation détermine le produit du carré des différences entre les racines de Téqualion (5o). On peut d'ailleurs trfes-aisément revenir de la formule (79) à la formule (77). En effet, si, dans l'équation (16), on pose

(ii6) elle deviendra

Or, les racines de celle dernière élant évidemment (i-^-r-pb^— ,0-^^— ,

produil des carrés des différences entre ces racines sera toujours

{a — by{a— cy{b — cy ;

cl, comme l'équation (81} est semblable à Téquation (5o) , on tirera de la formule (79), on remplaçant dans lo second membre B par B — — , et C par C 5 — | ^

(8,) (a-.b)'{a-cy{b-cY = -!,[B-^y^27[c-^ + ^y.

Il esl d'ailleurs facile de s'assurer que les formules (77) cl (8s) sont identiques.

Des calculs semblables à ceux qu on vient de faire fourniraieul généralement la valeur de la fonction symétrique

c'est-h-dire le produil des carrés des différences entre les racines a , b , c , .,, h , t ^ k de l'équation (i). On doit même remarquer que ce produil pourra être immédiatement exprimé en fonction de a , si Ton sait déjà former le produit des carrés des différences entre les racines d'une équation du degré n — i. En effet, comme, en divisant par X — a l'équation (1) présentée sous la forme

(8j) ,ir« — a" + A{x''-' — ««-») + 5(a;'»-» + a"-') + ...+/(a: — tf)=o ,

on obtient la suivante

(85) a;"-' + (a+.^).a?"'» + (a« + ^a + B)a?"-' + .., + a''-» + ^(i"-» + fic<'»-'+ ... + /i=:0 ,

dont les racines sont b , c , *., t , k , on aura identiquement

!(x — b)(œ — c) ... (a? — OC^ — A) =

cl par suite

Digitizèd by V^OOQIC

( "7) (gy) (a 6)(a — c)...(o— «•)(« — *)=»«"— + (" — 0^«"""*4-(« — »)*«""' + •"+■'•

D*aulre pari, si, étant donnée une équation du degré n — i , on sait calculer la fonction entière du coeflTicieot qui représente le produit du carré des différences entre les racines, on aura encore

(88) (6 — c)V..(6 — t)'(6 — *)• {i — ky = f^,

V désignant une fonction entière des coelBcieiUs que renferme l'équation (85) , et par conséquent une fonction entière de a. Gela posé, l'équation (83) donnera

(89) V = r[iia«-« + (n — O^û»- * + (n - a) fia»- * + ... + aKa + /]» . Si maiutenanl on divise le second membre de la formule (89) par le polynôme (5) a" + //a--' + iffa"— + •. . + tf «• + /a + a: ,

le reste sera indépendant de a , et offrira la valeur cherchée de (/, On peut aussi obtenir cette valeur en éliminant la lettre a de la formule (8g) à l'nide de réijualion

(90) a'' 4- Aa^"' + fia"— + ... + lla\ + /a + AC = o .

Il est bon d'observer que le produit des carrés des différences entre les racines do l'équation (1) ^^ P^"^ s'évanouir à moins que cette équation n'admette des racines égaler. Dans lé cas contraire, ce produit se réduira toujours à une fonction. entière des coellicients A ^ B , C , ... 1 , K ; par conséquent, si ces coefficients offrent des valeurs numériques entières , celle du produit en question sera elle-même un nombre entier, et, si on la désigne par i)T>*, dT? étant une quantité positive, on aura

(91) ^X^ =^- ou > I.

On peut encore, à l'aide des priucipes que nous venons d'exposer, calculer aisément le premier membre d'une équation qui aurait pour. racines les diverses valeurs d'une fonction entière des racines a ^ b , c ,.,. i , k de l'équation (1) , puisque ce premier membre sera toujours une fonction symétrique de a , b , c , ,,. i , />. Cela posé, si l'équation (i) est du troisième ou du quatrième degrés on ramènera facilement sa résolution, dans le premier casa celle d'une équation du troisième degré, dans le second cas, à la résolution d'une équation binôme du môme degré. Supposons, par exemple, que l'équation (1) , étant du quatrième degré, se réduise à la formule (58). Pour la résoudre, il suffira, comme l'on sait^ do déterminer les trois valeurs que peut acquérir la fonction-

{a + b-^c — dy lorsqu'on échange entre elles les quatre lettres a, b , e, d. Or ces trois valeurs, savoir,

(9«) (a + 6__c — «/)', (a-fc + c — d)'. (a— 6-c + d)«.

seront les trois racines de l'équation auxiliaire

(gS) [j — (a 4- 6 c— rf)'][s — (a — 6 + c — d)'][« — (a— 6 — e + rf)«] = o ,

qui offrira pour premier membre une fonction symétrique de a , b , e , d. Désignons par

(94) zt^Vs*^Fz + fr

le polynôme que l'on obtient en développant ce premier membre. Le polynôme (94) et par suite ses trois coefficients V , F , tV seront des fonctions symétriques de « . b , c , d. On trouvera d'ailleurs , en ayant égard aux formules (60) ,

sî4.£/s» + f*4-^

(95) \ =[ï — (a4-6 — c — d)'][c — (a — 6 + c — </)■][« — (« — 6 — « + <<)•] = [«-4(« + *)'][« — 4(« + «)•][» -4 (fr + «)'].

puis on en conclura

= ,6((« + 6)«[(a+6)» + *5] + (a' + 6»4-iB)*J

— i6JB'— 4a4(6' + a6 + o'-t-Z?)|

(98) ;ir=-64[(a + fc)(«4-c)(* + «)]'=-64[(a + *)(a* + fc* + i»)? = -64C^'. Donc l'équation auxiliaire deviendra

Supposons cette dernière équation résolue , et désignons par s, . «. , >« ses trois ra-

Cn9) cinet. Soiealde plus" a , v , w Irois expretsioDs propres à Térifier noa-sralemeni les foroiales

(,00) tt»=^., (lOl) V = «., (10«) W* = C3,

desquelles OD tire u^v*w* = t,z^zi = ^C\ iii;w = ±8C; mais encore la condilioiv

(io5) uvw = ^C.

Alors » si Toja prend ^

(io4) a-ffc — c — rf=tt, ^ (io5) rt 6 + c — rf = r,

on devra prendre aussi

(io6) a — b — c + d = w,

attendu que Ton aura

(107) (fl+6-f-rf)(a-Hc-^)(a-6-c+(/) = 8(a+^)(a+0(A+c) = -8(a+A)(a' + ^'+5) = 8C,

et par conséquent -

(108) (a + fr— c — rf)(a — 6 + c — rf)(€r— 6 — c + d) = uvM;.

Si maintenant on combine les formules (io4) • (io5), (ie6) avec la première des formules (60) 9 on en déduira "^

Observons, au reste, i.' que des valeurs de u , v , w , tirées des équations (100) , (101) et (io3), satisferont touîoursè i'ét|uatioa(io9), s.^'quejùQS quatre équations continueraient d'élre vérifiées , si deux des valeurs dont il s'agit venaient 5 changer .de signe. Mais alors les valeurs des racines a, b , c , d, déteraiinéos par les formules (io<>) , seraient simplement échangées eotre elles.

% 7. Sur la détcrminalton des racines réelles d^une équation de degré quelcon(fue.

On a vu, dans le cinquième paragraphe» comment on pouvait constater Texistence, et même déterminer les valeurs des racines réelles ou imaginaire^ d'une équation de degré quelconque. Toutefois , lorsqu'on calculera Tune après l'autre ces diverses racines , à l'aide de la méthode indiquée dans le paragraphe dont il s'agit» il arrivera souvent que les racines imaginaires se présenteront les premières; et comme, dans beaucoup de ques-

iîoM , il importe surtout de connaître les racines réelles d'équations à coefficients réels , il ne sera pas inutile d'exposer ici une méthode simple à l'aide de laquelle on puisse évaluer directement ces mêmes racines. Tel est l'objet dont nous allons maintenant nous occuper.

àSoit toujours

( I ) x" + Ax" - • 4- iBoî»— + . .. 4- /x + K = o ,

l'équation proposée du degré n , A , B , ... I , K désignant des coefficients réels. Scient encore a , b , c , ... h , s , k les racines.de cette équation , ei

pi s pi , ... pn^t f pn

les valeurs numériques des coefficients

D'après ce qui a été dit dans le paragraphe 5, le module de chacune des racines a, b , c , ... h , i , k ne pourra surpasser la racine positive v de l'équation

ni le plus grand des nombres

(3) P.+»J p. + l , ... p„..,+l, pn+ly

ni le plus grand terme de la suite

(4) wp, , (np,)', ... (np«.)"", («pn)"^

n sera donc très-facile de trouver un nombre supérieur aux modules de toutes les racines réelles de l'équation (i). Désignons par r ce même nombre. Le module de chacune des diffiSrences

(5) a — 6, ji — c,... a — t, a— -^, b — c,... 6 — t, 6 — Ar,... t — A:

sera , en vertu du s.* théorème, inférieur à ar ; et comme leur nombre est précisé ment égal au nombre de combinaisons que l'on peut former avec n lettres prises deux à deux , c'est-à-dire » à

si l'on met de côté i*une de ces différences , par etempfe , d — 6 / le produit de toutes les autres offrira, en vertu du théorème 3 [corolldife i/'], im module inférieur à l'expression

D'ailleurs on pourra aisément déterminer, par les méthodes exposées dans le paragraphe 6; le produit des carrés de toutes différences dont il s'agit. Soit é)lo* la valeur numérique de ce produit, ST^ désignant une quantité positive. Cette quantité sera évidemment égale an produit dea modules de toutes différences ; et par suite le module ou la valeur numérique d'une seule différence a — b surpassera le quolîent qu'on obtient en di- ' visant le nombre ^ par l'expression (6). Dono, si l'on pose

(7) - ^ = -- — ^rrri »

«Il ^ sera onikooibre infiàrieurà la plus petite £fférenoe entre les racines réelles de l'équation (i).

Il est bon d'observer que le nombre à , déterminé par la formule (7), ne pourrait s'évanouii* que dans le cas où l'équation proposée admettrait dea racines égales. Nous exclurons dorénavant ce dernier cas; ce qui sera sans inconvénient, attendu qu'on peut toujours débarrasser une équation ^des racines égales qui la vérifient.

Lorsque les coefficients ^ , J? ,.../, K de l'équation (1) se réduisent à des nombres entiers , on a , comme nous Tavons déjà remarqué ,

(8) (3t> =^ ou > I ,

et par conséquent la plus petite différence entre deux racines réelles est supérieure au nombre A déleroitiiér par ta formule

(ar) * ""

Lorsqu'à l'aide de la formule (7) ou (9) on a calculé un nombre A inférieur à la plus petite différence entre deux quelconques des racines de l'équation (1), il devient facile de constater l'existence de toatea les racines de cett« eapèce , elf d'évaluer chacune d'elles avec une approximalion aussi grande qu'on ie jn^ c6a¥eiiaUe« Eiveffet, soit^ m

la nombfe entier immédiaiemeot supérlaur au rappott — . U est clair <|Me toulea lés

IY.*ANifi£. 17

racineB réelles de l'équation (i) seroDl reofcrmées enlre les limites — ma , +m\ , et que deux termes consécutifs de la progression arithmétique

(lo) —m A, — (m— i)A,... — 3A , — aA , — A , o , A , aA, 3A , ...(m — i)A p mA

ne comprendront jnmais cnlrc eux plus d'une racine réelle. D'ailleurs , lorsque dans le polynôme

(il) x" + Ax'"" + Bx"-* + ... +/j; + K

on substitue successivement, à la place de x , deux quantités entre lesquelles une seule racine réelle au plus se trouve renfermée , les résultats obtenus sont de même signe ou de signes contraires; pour parler autrement, la comparaison de ces deux résultais offre une permanence de signe ou une variation de signe, suivant qu'il n^existe pas de racine réelle ou qu'il eu existe une entre les deux quantités dont il s^agil. Par conséquent, si l'on prend les termes de la progression (lo) pour des valeurs successives de la variable a: , et que l'on forme la suite des valeurs correspondantes du polynôme (il), cette nouvelle suite offrira précisément autant de variations de signe que l'équation (i) a de racines réelles , et chacune de ces racines sera comprise entre deux valeurs consécutives de X qui, substituées dans le polynôme (ii)» donneront des résultats de signes contraires. Soit x^ et a*. = a;, + A deux semblables valeurs , et supposons

La racine réelle comprise entre a;, et x, sera évidemment renfermée entre Xt et (» si la substitution de £ au lieu de as, dans le polynôme (ii)« fournit un résultat de même signe que la substitution de x. ; mais elle sera renfermée entre S et s, dans le cas contraire. On pourra donc remplacer les limites a;. , x, , qui différent entre elles de la quantité A , par les limites x^ et { ou S et x» qui différeront

entre elles de la quantité — a . En continuant de la même manière, on iinira par res^

serrer une quelconque des racines réelles entre deux limites dont la différence, représentée par un terme de la progression géométrique

(i3) A, —A, —A, —A, etc.,

sera aussi petite qu'on le voudra; et par conséquent on pourra calculer celte racine avec une approximation aussi grande qu'on le jugera convenable.

Il est bon d'observer que, dans la progression (i6), on pourrait sans inconvénient

remplacer la valeur de à , tîrée de la formule {7) ou (9) , par une valeur plus petile.

Pour montrer une application de la méthode que nous venons d'exposer , considérons l'équation

traitée par Lagrange et plus anciennement par Newton. On aura , dans ce cas ,

et l'équation (9) réduite à

offrira une racine positive t. inférieure k |/r, puisqu'on supposant ^ < \/s on trouverait

Donc chacune des racines de l'équation (i4) aura pour module ou pour valeur numérique un nombre inférieur à

D'autre part , si Ton désigne par V le produit des carrés des différences entre les racines de l'équation (i4) » et par Sf^* la valeur numérique de ce produit , on aura , en vertu de la formule (78) du sixième paragraphe ,

(18) Ôt,- = 643.

Par suite on tirera de Téquation (7) , en prenant n = 5 et r = ^5 ,

Donc, si l'équation (i4) <^ plusieurs racines réelles, la différence entre deux de ces racines ne pourra être inférieure à l'unité. D'ailleurs , si l'on remplace ^ par l'unité , les différents termes de la progression (10} deviendront respectivement

( ••4) et comme les valeiirf correspondantes du premier jnembre de l'équation (i4) seront

il est clair que l'équation (i4) offrira une seule racine réelle comprise entre les liiutles 21 et 3. Ajoutons que» d'après ce qui a été dit plus haut, on peut à la limite 5 substituer le nombre s^sSC... Si maintenant on resserre de plus en plus les limités entre lesquelles la racine réelle de l'équation (i4) est comprise» on trouvera

(aa) x = 2,og455i4>*-*

Il ne sera pas inutile de remarquer que, dans beaucoup do cas, on peut, à l'aide de diverses considérations, faciliter la recherche dos racines réelles d'une équation donnée. Ainsi, en particulier, on conclut immédiatement des principes établie dans le parBgrephe'4 que l'équation (i4) admet une racine positive, mais une seule inférieurcà |/5 . D'ailleurs, en remplaçant x par — x , on tire de l'équation (i4)

(ao) x^ — aj;+5 = o,

et comme les deux binômes

iC^— aa;, 3 — ao;

sont toujours positifs pour des valeurs positives de x , savoir, le premier tant que l'on u x> [/^ > i94>4 » ^^ '^ second tant que l'on a x < 9,5 , il est clair que le premier membre de l'équation (23) ne pourra jamais devenir nul pour des valeurs positives de X. Donc par suite l'équation (i4) n'admettra point de racines négatives, et n'offrira qu'une seule racine réelle.

§ 8. Sur la théorie de C élimination.

Soient

(1) x'^ + Ax''-' +Bx"-' 4-... +Ix + Kz=o, et

(2) a;"* + Px'^-' + Ça;»— + . .. 4. 5aî + T= o ,

deux équations algébriques, la première du degré n , la seconde da degré m. Si Ton élimine entre elles la variable x , l'équation résultante de l'élimination exprimera la condition à laquelle les coefficients

(3) A. B....I. K, et P, Q,\::.S, t

doivent satisfaire, pour qu'une seule et même valeur de x vérifie tout à la fois les équations (i) et (a). Soient d'ailleurs

los valeurs distinctes de w ,. qui sont proptei^ à vérifier .réqM^ioB (•!)• Soient de méine

les valeurs distinctes de x qui sont propresr'& vérifier l'équation (à) ; et fiiisons

0x(^-p}(^-^)....(*-*)(6-Ox^..x(*-p)(A:.y)...(A.5)(A.o.

P<Hir quo lea éqiNiUoDa (i) ^ (s) 4ubai9toqt simultanément, il ser^k nécessaire et il suffira que l'un des facteurs du prodrfil V s'évanouisse, ou, en d'autres termes, que. ce produit lui-même se réduise à zéro. Dope l'équation de condition

pourra être substituée à celle que produirait Téliminalion de x entre les équations (i) et (a); J'ajoute que, si chacune de ces dernières offre seulement des racines inégales, il sera flicite de transformer le produit V en une fcmction entière det coefficients A , B ,... I , K; P, Q,...iS, T. C'est ce que l'on démontrera sans peine à Taide des considérations suivantes.

Les racines de l'équation (s) étant inégales entre elles et représentées par p , 7 , ... s, t, on aura identiquement

(8) {x — p){x^q)...{x — B){x — t)=x'^ + Px'^''' + Qx'"-* + ...+Sx+I, ^ par suite

(9) \ etc.

(A^p)(A— 9) ,. .(* — *)(* — l)=»«4.Pft«-'« + <?*«— +...4-M+r.

( laS ) Cela pofé , la formule (6) donnnera

D'ailleurs, les racines do réquation (i) étant supposées inégales, le second membre de la formule (lo) sera évidemment une fonction symétrique de ces racines, qui pourra être transformée par la méthode exposée dans le paragraphe précédent en une fonction entière des coeflicîents A , B , ... I , K et P , Q , ... Â\ T.

On arriverait encore aux mêmes conclusions en observant que la valeur de U , donnée par réquation (6) , peut s'écrire comme il suit,

(.l)-(p-fl)(p-é)...(p.|)(p-A)x(^-«)(^-^)...(^-i)(^-A)x...x(r-«)(<-A)...(f-0(^^

Or, si chacune des équations (i) et (i) n'offre que des racines inégales, on aura identiquement

(la) (j: — fl)(a? — 6)...(j? — i)(a; — ifc)=:a?'« + ^«"-'+Baf»-«4-...4-/«4-J[, puis ou en conclura

elc

^ (f — fl)(/ — ^)...(t — i)(« — A) = r 4- il/"-' + «<"— + ••• +/' + ^;

et la valeur de U , réduite à

(-i)'""(/j''+^p'^HBp"-'+..+/A>+A)(^"+^^"-'+B7"-«+..+/^+K)..(r+^f"-HB«*^^

pourra être facilement transformée par la méthode ci-dessus mentionnée en une fonction entière des coefficients A . £,.../, K; P, (?,... 5, T.

Si les équations (i) et (s) offraient des racines égales, il serait facile de les en débarrasser et de les remplacer par deux équations nouvelles dont chacune aurait pour racines les valeurs distinctes de x propres à vérifier l'équation (i) ou l'équation (s). Alors le

( î«7 ) premier aiembro de réqualion (7) pourrait être iransformé eD une fonction entière des coefficients renfermés 4ans les deux nouvelles équations. Ajoutons que, si» dans la même hypothèse , on désigne par a , b , ... i ^ k et par p , q ,.*. s , t non plus les valeurs distinctes propres à vérifier Téquatton (1) ^^ Téquation (s) , mais les racines égales ou inégales des équations (1) et (»), on pourra encore substituer l'équation (7) à celle que produirait l'élimination de x entre les deux premières » et transformer le produit V en une fonction entière des coefficients A ^ B , ... I , K; P , Q 9 ... S f T.

Considérons maintenant deux équations algébriques dont les premiers membres soient des fonctions entières des deux variables x ei jr, et supposons que la somme des exposants de ces variables soit égale ou inférieure au nombre n dans chaque terme de la première fonction , au nombre m dans chaque terme de la seconde, n et m seront les degrés des .deux fonctions , et si chacune d'elles renferme tous les termes qu'elle peut contenir, les équations proposées seront ce qu'on nomme des équations complètes du degré n. et du degré m. . Gela posé, si l'on divise la première équation par le coefficient constant do cc", et la seconde par le coefficient constant de x'" , elles se présenteront sous les formes

(i) a5" + /*a3— +^aj'— + ... 4-iaî + iS: = o,

(«) x'^+Px"'-' + Qx'^-^'\'...+Sx + T = o.

A p B f ... I , K désignant des fonctions entières de jr dont les degrés seront respectivement égaux aux nombres 1, 2,...n — 1, n. et P, Q,...S,T d'autres fonctions entières de y dont les degrésserontrespectivement égaux aux nombres 1, 2,... w* — 1 , m. Concevons à présent que Ton cherche les divers systèmes de valeurs de « et de j< propres à vérifier simultanément les équations (1) et (a). Il est ctair que, dans chacun de ces systèmes , la valeur de y sera nécessairement une racine de Téquation (7), V désignant une fonction entière des coefficients A. B , .....I , K; P, Ç,.... S , T, et par conséquent une fonction entière de / , savoir celle dans laquelle peut se transformer le second membre de la formule (10), quand on représente par a. b ,....i, k les racines égales ou inégales de l'équation (1). D'ailleurs, pour opérer la transformation dont il s'agit, il suffira , conformément au théorème 16, de di- Tiser successivement le second membre de la formule (10) , considéré comme fonction de k , par le polynôme

k + i + ... + b + a + A; paît lo reste, considéré comme fonction de i , par le polynôme

eic..«..

La tbnction V étant ainsi déterminée, toutes les valeurs do y , qui permettront de vérifier simultanément les équations (i) et (2) , devront satisfaire & Péquation (7).

II est facile de s*assuror que la fonction entière de y , désignée par V , e9t d'un dc^rr inférieur ou tout au plus égal à mn. En effet, comme les degrés des fonctions

sont représentés par les nombres

I, dy... n — 1) n ; . I9 3,... m — i» m; les valeurs des rapports

""" » r » ••• , » « » » ""^r » •• • '■■■"" ♦ "TT »

resteront finies pour des valeurs infinies de j , et Ton pourra en dire autant des valeurs de z propres à vérifier les deux équations

c'est -à-dire, des rapports

a if i k P 9 * ^

Donc le produit

\v"r/ IrV/ ' \r"r/ v 'y]\yyl'*\yyl "* \y'^l\y y/*\yyl'

qui, en varta de la formule (6), sera éifiivatent au rapport •

conservera lui-même une valeur finie pour des valeurs infinies de j; ce qui exige que lo degré de la fonction de y, désignée par f/ , ne surpasse pas mn. On se trouve ainsi ramené à un théorème connu, et que l'on peut énoncer comme il suit.

17* Théorème. Etant donnécM deux équations algébriques en x et y» Puneéa degré n , l'autre du degré m , on peut en déduire , par l'élimination de x , une équation en y dont le degré sait tout au plus égal au produit mn .