D'ÉQUILIBRE OU DE MOUVEMENT POUR UN SYSTÈME DE POINTS MATÉRIELS
SOLLICITAS PAR DBS FOBCBS d'aTTRACTION OU DE RÉPULSION XUTUELLB.
J'ai fait voir, dans le troisième voiume des Exercices de Mathématiques [pages 188 et suiv.] , comment on pouvait établir les équations d'équilibre ou de mouyement d'un système de molécules ^ui s'attirent ou se repoussent » en supposant ces molécules très-peu écartées des positions qu'elles occupaient dans l'état naturel du systcnic. Pour obtenir les équations dont il s'agit, il suffit de substituer, dans les formules («52) ou (54) des pages 197 et ig8, les valeurs de X , 1) , 3 déduites des formules (sS), {26), (3o) et (3i). Ces valeurs se simplifient et se réduisent aux quantités X, , 1), • 3i déterminées par les formules (3i) , toutes les fois que les aeconds membres des équations (^7) et (3o) s'évanouissent. C'est ce qui arrivera , par exemple, si les masses m , m' , m" , ..^ des diverses molécules sont deux à deux égales entre elles, et distribuées symétriquement de part et d'autre d'une molécule quelconque m , sur des droites menées par le point avec lequel cette molécule coïncide. Gela posé, soient, dans l'état naturel du système, a , 6 , c les coordonnées d'une molécirie quelconque m , rapportées à trois axes
rectangulaires des x , jr , z , r le rayon vecteur mené de cette molécule à une autre molécule m très-votsine , a, p 9 y les angles formés par le rayon vecteur r avec les demi-aS^es des coordonnées
positives, f{r) la force accélératrice qui mesure Faction de m sur VX , rfcinmf(r) la force motrice correspondante, ppise avec le signe + ou 'e signe
-— , suivant que cette force est attractive ou répulsive, f{r) une fonction do r , distincte de f{r) , et déterminée par l'équation
(I) /(r)=-b[rf'(r)-/'(r)]. '*
Soient de plus
les coordonnées de la molécule m , relatives à un état d'équib'bre ou de mouvement dans lequel on suppose appliquée li cette molécule une force accélératrice f dont les projections algébriques sur les axes coordonnés sont désignées par X p Y, Z. Les
lV.*ANirÉB. «8
( i3o ) qiiaiililé» E, n, ; rcpréicnleronl les dcplaccincnU Irès-pellls de la molécule UT mesurés parallèlement aiu axes des ar , y » ^ » et , si , eD réduisant les valeurs de X , l) , 3 h celles de Jt, , l), , 3, , on fait pour abréger
D = S |^±'^''cos|;co87/'(r)l , e = S r±'^^C08yC0S«Ar)"| , ^=S r±'^'cos«c05?A»')l;
(5) L = s[^co»4a/{r)], 3/=S[î^cos«p/(r)], ^=Srîl^cos«7/(r)].
(6) P = S[Ycos'pcos«7/Cr)], <? = s[^cos'7COs'a/(r)], il = s[^cos»aco8»p/(r)]; 1 ^ = s[~cos'aco8Sc«S7/(r)], f = s['^cos'acos7/(r)], ff = s[~co8'aco8?/(r)l,
{.'"= s['^'co.,f-ca$'7/(r)], r" = S[?^^os,cos'7/{r)] , JF» = s[Î^cos«08?co8«7/M], on aura, en vertu de la formule (3i) de la page ig6 du troisième volume,
* da* db' ^ dc^ ^ dbdc deda ^ dadb
da* db^ ^ dc^ da* db^ de* da* db* de*
\ dbdc dcda dadb dbdc delà dadb dbdc dcda dodk]
l) = etc
3 = ctc
Dans les équations (8) ,.les coordonnées primitives a , 6 , « sont considérées comme variables indépendantes. Si Ton voulait prendre pour variables indépendantes x» jr» « au lieu de a , 6 , e*, il suffirait» comme on l'a prouvé k la page t07 du troisième volume , d'écrire partout or au lieu de a, y ou. lieu- de fr, t a» lien de c\ On aurait donc alors
ax' «7* (Zï* rf/rfï dzrf* dxdy
//%'* i/z» //«• //v' ff«« //«■ //v»
i/j?' dj^ dz* dœ^ dy^ dz^ dx* dy^ dz"*
\ dydz dzdx dxdy dydz dzdx dxdy dydz dzdx dxdyj
l) = clc
3 = etc
En substituant ces deruières valeurs de Jt , t) , 3 dans les formules (34) de la page J98, savoir,
00 obtiendra les équations différeuliclles propres à représenter le mouvement du système des molécules m , m% m" , ... , et Ton 4rouvera
j dl^ dx^ dy* dz^ dydz dzdx dxdy
dx' dy* ^ dz^ dx^ ây- dz^ dx^ dy'' dz^
\ dydz dzdx dxdy dydz dzdx dxdy dydz dzdx dxdy)
rfP dx^ dy^ dz'' dydz dzdx dxdy
dx* dy^ dz* dx* dy* dz' dy* dy^ dz^
\ dydz dzdx dxdy dydz dzdx dxdy dydz dzdx dxdy/
dt* dx' dy* dz* dydt dtdx dxdy
^ \ dydz dzdx dxdy dydz dzdx dxdy dydz dzdx . dxdyj
Si h système n*ë(aît pas en iDouvcnient, mais en cr|uilibrc, il faudrait réduire à zéro Ici premiers membres des formules (ii).
Soient maintenant
A la densité du système au point {a , b , c) ^ dans Tétat naturel ,
P la densité au point {x,j, z) dans Tétat de mouvement,
V la quantité positive ou négative qui mesure la dilatation ou la condensation do volume autour de la molécule tll , dans le passage du premier état au second »
p\ p" f p"' les pressions ou tensions supportées au point {^fj»^) dans Télat de mouvement, et du côté des coordonnées positives , par trois plans perpendiculaires aux axes des x , des j et des z ,
.1 , F , E ; F , B . D ; E , D , C les projections algébrique^ des pressions ou tensions p , p\ p'. On aura, en vertu des formules (17) et (Sg) des pages 219 et
:^53 du troisième volume des Exercices,
dx ^ dy^ dz *
Oc plus , en prcuanl x , y , z pour variables indépendantes , et joignant les équations [*ih), (2G). (27) , (28), (29), (3o). des pages 222 et suivantes, aux formules (5), (4), (.')), (6), (7) du présent article, on trouvera
-*='H-+'S)+'-'f+-ef)
Wî^
/ «='|'»+«£+'^$+<ï+-'ê+«f+oîi
Enfin, si l*on substitue, dans les équations (i4)> la valeur de p tirée des formules (i«) et (i3), savoir,
on en tirera, en regardant les déplacements S» *i » C coqime infiniment petits « et négligeant les infiniment petits du second ordre ,
On peut, en supposant constantes la densité ^ relative ii l'état naturel du système et les quantités
{19) a, 0. €. lD,e,J. L, M, N, p. Q, R. v,v, w. V, V. W\ V\ V\ W\
rerenir facilement des équations (17) et (18) aux formules (11). En effet on tire des équations (aS) et (98) delà page 166 du troisième volume
rf*« ^ , dF , dB , dD
rf/' d*K
do) "^ dy "^ dz '
7 , dE .dD , dC
dt* =p^''"7r+"^+"5r
puis on en conclut « en divisant les deux membres de chaque équation par p = (i — ^à)^ ,
dn —-^^ (i-v)A \dx ^ dy ^ dz I '
d'r> y ' (dF dB dD\
~Sr~~ '•' (i-«)A \dj) "^ <fy "^ di I '
\ dr "*" {i-v)A \dx "*" rfj <fc j '
( i35 ) Or, si» dans les formules (19) , on remplace les pressions A , B , C ^ D , Ë , F par leurs valeurs tirées des équations (17) , (18) , alors» en négligeant les infiniment petits un second ordre et réduisant en conséquence le binôme i -*v à Tunité, on retrouvera précisément les formules (1 1).
Lorsque, parmi les sommes comprises dans les équations (5) , (4) , (5) , (6) , (7) » celles qui renferment des puissances impaires do cosa » de cosp » ou de 00S7 se réduisent 5 zéro,t;*osl-à-dirc» en d'autres ternies , lorsque les quantités
(!ii) D, «, J^, f/. F, W. V\ V\ W\^ V\ F\- W
^'évanouissent, le système des molécules* m » m-, mr^ .«.^ peu^ ôtre considéré comme oiTrant trois axes d'élasticité rectangulaires et parallèles aux axes des x^ j, z. Si, dans le même cas» on désigne par (r-, // » / les valeurs dos coefliGieots !2l , 0 y (t , en sorte qu'on ait identiquement
a=c, 6=//, (tc^/.
les formules (11) coïncideront avec les équations (68) do tapage so8 du troisième volume, et deviendront respectivement
^ ' dx^ ^ ' ify* ^ ds* dxdy ^ dtdx dr
Alors aussi les formules (17)» (18) s'accorderont avec les équations (49) » (5o) de la page 23o du troisième volume , ei s& réduiront à-
E=\iQ + G)§ + iQ + I)^\.,
Dans le cas particulier où TélasUcité du syslème que l'on considère resle la luénie en tous sens autour de chaque point» les conditions (4i) et (45) des pages 19g et soi du troisième volume se troofent remplies, en sorte qu'on a
(a6) Gz=U = I, L = M = N~iB, P = Q = ni
cl les formules (a3) , («4) , («.5) donnent
C = \a{R + G)^ + {II—G)M + G\^.
( »57) Enfin j si le syslème est constitué de manière que l'élasticité reste la même en tous sens autour d'une droite parallèle à l'axe des z , on aura simplement
(3o) G = /I, L = M = IR, P = Q,
et les formules (a3) , («4) , {^5) donneront
(5.) B={(«-C)g + (5« + Ç)^ + ((?-C)5 + cji. (J5)! B=j(0 + C)£+(0-+/)§]i,
Lorsque» dans les équation^i (17) » (18) » on pose , pour abréger ,..
(54) 2lA = 0, flA = b, «A = f, JDa = Î>, (eA = <, .Jx=(;
£A = «, JfA=ab, iVùî=0, PA=qid, Q^a*=.e , JlAssf , :„
f £A = «, JfA=ab, Ntiszc, PA=qid, <?â*=.e, JlA=:f, :„
( U^=a , rA=T, /rAî=l^, r'A=u',' r'A=T', TVL^-^, r^A=u', r'A=t'j'»"À=eir*,
elles deviennent respectivement
^ «to^ «fy^ rf«^ Ur^rfyj^ \rf«^rf«|^ \éy^dx}*
«te ^ <fy \ <'« dj * dtl
Si Ton admet que, dans l^élat naliirel du système des molécules m , m", m', etc. . tes pressions p\ p', p"\ et par suite leurs composantes ou les sii fonctions ytf, £, C , D , Ef F s'é?anouisssent, les coefficients désignés par les lettres
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5 les formules (i i) » (17) t (iS) , ou par lot lettres G , H , l dans les équations , (s4) f (^5) » se réduiront k zéro» ainsi que les constantes représentées par
6 les formules (36)» (57). Alors les équations (24), (sS) et (aS) coïncideront avec équations (65), (64) et (68) des pages s33» a34 et sSS du troisième volume des reices; tandis que les formules (36) , (87) reproduiront les valeurs de'' A , B , C ^ E , F que nous avons précédemment obtenues à la page a.
