A L'AIDE DE LAQUELLE ON DÉTERMINE LES INÉGALITÉS SÉCULAIRES
DES MOUTEMENTS DES PLANÈTEa
jaoeœ
Soit
une fonction réelle homogène ci du second degré. Soient de plus
(a) ?(«>r,«v..)^ x(-^>/î«>-)^ ^'(•^fa» «>•••)> «te,
les dérivées partielles de fip.y^z^...) prises par rapport aux variables as , j, ;.... Si Ton assujettit ces variables à l'équation do condition
les maxitna et minima de la fonction s seront déterminés [voyez les Leçons sur le calcul infinitésimal » page aSa] par la formule
D'ailleurs les diverses fractions que renferme la formule (4)> étant égales entre ellei, seront égales au rapport
qui » en vertu de la condition (3) et du théorème des fonctions homogènes » se réduira simplement à
2/'(aî, /,»,...) = «*- On aura donc encore
ou, ce qui revient au même,
(6) -L^{x,j.z,...)=sx, -^y^{x.j.z,...) = ajr, ■^^{x,j.z....)=s:. etc.
Soit maintenant
Téqualion quo fournira réliminatlon des variables as » j , z , ... entre les formules (6)r Les maxima et les minima de la fooctioji
ne pourront ôlro que des racines de Téquation (7). D'ailleurs cette équation sera semblable à celle que Ton rencontre dans la théorie des inégalités séculaires do^ mouvements des planètes , et dont les raciaes , toutea réelles , joubsent de propriétés dignes dp remarque. Quelques-unes de ces propriétés étaient déjà connues : nous allons les rappeler ici» et en indiquer de nouvelles.
Soit n le nombre des variables x , jr^ t DéstgnoDs d'ailleurs, pour plus de
commodité, par
i^xx » ^fj * '*»• » etc«.#» les coefficients des carrés -
»•, y*. t\ etc—
dâM la fonctKKn homogètte ê ^f(m^y,t,...) ^ et par '
■ ■ . ij
les coefficients des doubles prodoils
99Kf, %XZ^ ... «y»i... p
ensorte qu'on ait
(8) * = -rf«»*+^,,J^'+ii««' + ...
+ %Ass^ +: »-^«»a» + ••• + «^/-iT» + ••"
Les équations (6) deviendront
yf^rOÎ + -^^ r7 + ^J*^ + ... = ly .
etc.. .. ; \\i pourront s'écrire comme il suit :
[A„ — #)x 4- A^yy 4- AxB^ 4- •••• = o I Aj,rX+ [Ajy — 9)jr + A jtz -{-... =0 ,
lin) <
//x.a; + Aj^y 4- (-4.. — #)s 4- = o ,
etc.
Cela posé » il résulte des prindpes établis dans le troisième chapitre de V Analyse algir brique [$ s] <Iuo 1^ premier membre de l'équation (8) » ou S , sera une fonction alternée des quantités comprises dans le tableau
Agg^'^êf Agyt A^B p •••
etc.
savoir» celle dont les différents termes sont représentés , aux signes près » par les produits qu'on obtient , lorsqu'on multiplie ces quantités » n k n , de toutes les manières possibles , en ayant soin de Cuire entrer dans chaque produit un (acteur pris dans chacune des ligues horizontales du tableau , et un facteur pris dans chacune des lignes verticales. En opérant ainsi» on trouvera, par exemple, pour n = a ,
(12) S={A„ — s){Ary — $)-^A\y;
pour n = 5 ,
( /txx - s) [Ajjr - s) {A^ - #) - A*jb{Axx - *) ■ A*„{Ajj - #) - A*,j{A„ - *) + 2A,j A^^Aj^ ; pour n = 4»
I A\.{A^r — *) {Ajj — #) + ^ V-('^«— ') (^« — *) + -^V.(^« — s) {A,^ — s) 1
'^^iAy^Aj^A^[Ax»-i)'\-As^/ixmAn,{Ayy'9)-\-AryA^A,J^Ann'ê)'\'AsfAxMj^{A^^''S)]
+ A*jijA*au + A*x%A^j^ + A^xuA*jM
2 [^x/ « « Aj-uAau + /ï*j /Ixi. '^j'» « »tt + -^x» '^xn Aj^Ajru ] !
et généralement on obtiendra pour S une fonction de s , qui sera entière et du
Concevons à présent que l'on désigne par
(i5) êtfSM9***Sn
les n racines réelles ou imaginaires de l'équation (7). Soient de plus
(16) 05, J JTt, Zti »,,/,, «,; etc., Xn^ JnftH
des systèmes de valeurs de x , y, z ,,,. correspondants à ces mêmes valeurs de $ , et choisis de manière à vérifier les formules (5) /et (10). La première des formules (10) donnera
(i^xx — it)x^ + A,jy, + A^,z, 4. ... = 0 , et
{Asm — <.)aj, 4- A,yy^ + ^,.s, + ... = o ;
puis Ton en conclura , en éliminant le coefficient ^^xx »
(17) (*. — 9z)XtX^ 4- Asj{x^J* — «.J^O + ^»{x^^t —»,«.) 4- ... = o . En raisonnant de la même manière» on tirera de la seconde des* formules (lo)
(18) A,j{jrtXt —/,»,) 4- (•.—«.)/. J. 4- ^Aj^^t — r«*>) + •.. = o i de la troisième
(«9) ^«(««CCi — Z,Xn) 4- ^»A^*yi — ^« J») + (fa — #.) 2.2. 4- ••• = o »
Ole... Ënfio, si Ton ajoute membre à membre Ie3 équations (i7), (i8)» (19)» etc. , on trouvera
(20) (or.st» + JâJ» + '. 2. + •••) (*f —■<•) = o • Donc, toutes les fois que les raciaes #, , f, seront hiégales enih elles» on aura .
(21) ♦ ».aît4-J'iJ« + 5«»»4--*='0»
et , si réi|uation (7) n'offre pas do racines égales, les râleurs de x, j, z ,... correspondantes à ces racines, vérifieront toutes les formules comprises dans le tableau suirant:
/îr,'+7,* + c,'+. =0, x,a?,+j',jr,+z,c,+..=o. etc.. a;,cc„+jij^M+r,C|,+ ..=o,
U'aJ^«+JaJ'i+*a2;, + ..=o, aî,"+ j,'+«,'+ = 1, ctc... a;,a;„-#-j,j«-#-r,ri,+. . =?=o,
lelc... etc.. etc«.. «tc«.«
i a:„a:,+7„jr,+5„ «,-♦■.. =o, »«a;,+jr„j',+z„c,+..sa:o, etc.. aî»"-#-7»'+2i.'+ =s#.
Soit maintenant R ce que devient la fonction S / lorsque, dans le tableau (ii)i on supprime tous les termes appartenants h la première colonne horizontale , ainsi qii'è la première colonne verticale; et Q oe que devient la même fonction, quand on sapprime en outre les termes renfermés dans les deuxièmes colonnes horizontale et verticale. Enfin désignons par P„, ce que devient «S , lorsqu'on supprime dans le tableau (il) les termes qui appartiennent h la même colonne horizontale que le binonie A^^^êr ' avec ceux qui appartiennent à la même colonne verticale que -4^ — # , ou biea encore les termes compris dans la mémo colonne verticale que A^*^^» et ceux qui sont renfermés dans la même colonne horizontale que A„ — s. Les polynômes A, Q, Pjcx » Pxj f ^x. » ... Pjy . Pjtf*- Pt* seront , ainsi que S , des fonctioBS entières de ^ «. De plus on aura évidemment
et l'on conclura des équations (lo) , en faisant abstractipn de la'première,
•«XX PjiJI *x%
Posons d'ailleurs , pfur abréger , . . . \
(25) X = P,^ = R. Y=z — P,^, Z=: — P,, etc.,
La formule (24)» combinée- avec la formule (3), donnera
et, si l'oD désigne par
(27) X,, Y,, Z,, etc.. ; J:. , y, , Z. , etc.. ; etc.. ; An . 1^„ , Z„ , elc...
le» système» de valeurs de X, Y, Z , elc. . . , correspoadanls aux racine» #, , *,,... ^/i de l'cqualloD (7) , on tirera de la formule (26)
= olc... =±
, ^=-^=-fl. = clc =±— — J—
(28) ( ^' ^' ^' " i/(^.'+ya'+z,«+...) •
etc.
Jn Zn
^« l'n z« v/(^»„+y»„+zv+...) •
Les valeurs de oTi , 7, , 2, , ... seront complètement déterminées, aux sigiies près , par la première des formules (28), à moins que la supposition # = «, ne fasse évanouir simultanément les fondions X=R , F» Z,....; et, comme on peut faire une semblable raisonnement à l'égard de a;, , jr, , z, , ... , etc.. , a;„ , jr„ , Zn , ... » il est clair que les expressions (16) seront, aux signes près, complètement déterminées par les formules (28) , à moins que des racines de Téquation (7) ne vérifient en même temps la for-, mule
. ii- ■.:■ ' • ■■ :*. ..i. î"" ..' ■•• •■ '
Ajoutons que, si les racines 5, , «, sont inégales, on tirera de la formule (21) , combinée avec les deux premières des formules (28) , .
(5o) . X,X^ + ¥,Y, + Z,Z, + eic...=o.
En partant de la formule (3o) , on prouve facilement que l'équation (7) ne saurait admettre déracines imaginaires^ tant que les coefficients Agjc, Aj,j, Aj,^,.,, Ajj , Ajsp»*» Au , ... restent réels. En effet, si l'équation (7) offrait alors une racine imaginaire delà forme X + fAV/^>. ^11^ ^^ admettrait une »eQCi|ld&i<)oi^)uguée. ^ la première pu, de.la forme X — 1^[/^; et , en prenant ce;» racine» ppuf St et #», on obtiendrait pour Xt et -X", des valeur» de la forme
