IV". ANNÉE
(3i) x, = sïi+ait^x/T: x,=3ïL — ifc>)/:T.
DïL , dt? étant des quantités réelles. Par suite le produit (32) X,X, = 3ïC-^Sfl>-
serait nécessairement positif ou nul; et « comme on pourrait en dire autant des produits 1^, IT, , Z,Z. , .... » il est clair que la condition (3o) ne saurait être remplie, excepté dans le cas où Ton aurait
(35) JC, = -Xa = o, F, = F, = o, Z, = Z, = o, etc..
c'est-à-dire « dans lé cas où chacune des racines s^ , s, vérifierait les équations
(54) Pxx = o, P,^ = o, P„ = o, etc....
Donc» si l'équation (7) , du degré n , admettait des racines imaginaires , ces racines seraient propres à yérifier en môme temps Téquati^n Pxx = o . ou
(89) fi = o,
qui est de même forme » mais du degré n — 1 • En raisonnant de la même manière , on fera voir que» si Féquation (29) admet des racines imaginaires, ces racines seront propres à vérifier en même temps Téquation
qui est de même forme » mais du degré n — a ; et ainsi de suite. Donc , si réquatioo (7) offrait des racines imaginaires » ces racines devraient satisfaire à chacune des équations de la forme
(36) 5 = 0, R = o, Q = o', etc....
D'ailleurs , en prolongeant la série des équations (36) , on parvient facilement à one équation du premier degré , qui coïncide avec la dernière des suivantes :
(37) -^x, — 5 = 0, Ajj — * = o, Au — * = o, etc.. ;
et cette équation du premier degré n'admet pas de racines imaginaires , mais une seule racine réelle. Donc l'équation (7) n*a paq de racines imaginaires.
( »47 ) Concevons à présent que l'on combine la première des équations (lo) avec la formule (24). On obtiendra la suivante :
(38) {^xx'-'i)Px^'-ÀxyPxjr — -rfx.P*.— ... =0 ,
qui devra coïncider avec l'équation (7) ; et en effet il snilit d'observer de quelle manière
les polynômes S , Pxx $ Pxj » Pmb » se forment à l'aide des quantités renfermées
dans Je tableau (11)1 pour reconnaître que l'on a identiquement , c'est-à-dire» quel que soit s ,
(50) {jérx — ê) Pxx — ^^j P^.r — ^.«Px* — . .. = iJ,
Ajoutons qu'en combinant la seconde, la troisième » etc..» des équations (10) avec la formule (24)» o^ obtiendra encore des équations identiques, savoir,
I^xj «XX "— \^ry ■*" Sj *xr •"" ^YtPxz •" •• • ^^ O y Ajc^Pjcx — ArtPxt — (^„ — 5)Px. .... = O , etc
Cela posé , imaginons que l'on prenne pour s une quelconque des racines de l'équation P,, = o , ou
Les formules (69) et (4o) donneront alors
Axy Pxy -^ A II Pxi -f- = *3^' »
{Ayy — 3) Pxy 4- -^ >. Pj.. + •• • = ^^ ?
Ay^9xy^{A^^—^)P.^'\'... = ^,
etc.
Le nombre des formules (4i) étant égal à n , si l'on efface Tune de celles qui offrent zéro pour second membre, les antres suiTiront pour déterminer, dans Phypothèse admise, les valeurs des n — 1 quantités
Pxy > * a» t etc
en fonction de S et des coeflîcients A^r , A^^ •••■^r> — * » -^r, »... ^«t — « , etc. Si , pour fixer les idées, on supprime la seconde des formules (40 » la valeur de P^y , tirée des autres, deviendra , eu égard aiTx noCaCioni adoptées.
Prr =
xj
Donc» pour chacune dos valeurs de • propres V vérifier l'équation (229) , on aara
et par conséquent les quantités Q , S seront affectées do signes contraires , si l'âne et l'autre diffère de zéro. Cette remarque fournit une nouvelle démonstration de la réalité des racines de l'équation (7) , et permet en outre de fixer des limites entre lesquelles ces racines se trouvent comprises, ainsi qu'on va le faire voir.
Supposons d'abord » pour plus de simplicité , que le nombre des variables x, jr, ; , ... soit égal h 3. Les équations (10) deviendront
1{Arx — *) a? -f- ArrJ + -^xt« = O , ^'J^^ + {AjTJ — *)r + -^.r.« = O ,
lït Ton tirera des deux dernières
les valeurs de P„ ou R . />,, , P„ et S étant respectivement (45) « = />„= {A^f — s) {A., - «) — A,r.* ,
Pxy'^^ Ax^\An —~ S)--^ Ax%A ^tkf
* X« ^= Ax% {.Art -^ 8) — Axj A y% \
{Axx-^){Ay,—$){A,,—z)^Ay.^{^Ax»^z)^Ax^-{Ajj^9)'^Ax)^{À,.— 9)J^%AxyÀ^Aj^^
Gela posé y on aura identiquement
(^x, — *)« — ^r^ Px, — ^x.Px. = J? ,
( «49 ) fît , si Ton prend pour $ une quelconque des racines de FéquatioD (39) » les formules (48) donneront
1Axj*xj "t* Ax%Mrx% = — «y j {Ayy — *) Pxy 4- ^,.Px. = O , ^y^Pxj + (^M — *)P,. = o .
Enfin » si l'on combine la première des formules (49) avec la troisième , on en lirera
Axj\At% ^9j - A,M Ajs
ou » ce qui revient au même ,
la valeur de Q étant
Donc à chacune des racines de l'équation (7) correspondront des valeurs de Q et de S propres à vérifier la formule (43) , et par conséquent affectées de signes contraires. En résumé » les valeurs des polynômes
(Sa) A„ — ê,
et
(53) {A XX - s) {A y y - 9) {A,, - 5) - Ar^{Axx - «) - Ax^^{Ajj - 0 - ^*/"(^« - *) + a ^xrA^Ar, r
correspondantes à l'une quelconque des racines de l'équation
seront affectées , si elles ne s'évanouissent ni Tune ni l'autre » de signes différents.
Soient maintenant ê\ 9' les deux racines réelles de l'équation (54) > rangées dans leur ordre de grandeur, en sorte qu'on ait
Ces racines , qui sont toutes deux réelles , puisqu'elles se réduisent aux deux valeurs de 9 données par la formule
( iSo ) TërifieroDt la condition
de laquelle on tirera » en ayant égard à l'équation (54) »
ou , ce qui refient au même ,
Donc les deux valeurs du binôme ^„-— « correspondantes aux deux racines de Téqualion (54) » seront affectées de signes différents » si aucune d'elles ne s'évanouit; et par suite la racine unique A^^ de l'équation
ou
(Go) Ç = o,
sera renfermée entre les deux racines de l'équation (54) ou
à moins qu'elle ne se réduise à l'une d'entre elles. Donc, attendu que la condition (ââ)
entraîne la suivante
on aura
(6a) >^„ — *'= ou >o , et y^„ — *"= ou >>o.
Cela posé« soient S\ S" les deux valeurs du polynôme (53) ou de S correspondantes aux valeurs s\ ê'* de la variable s. Si aucune des deux racines ê\ s' ne vérifie l'équation (60) ou Téquation (7) , S' sera une quantité affectée d'un signe contraire à celui de /#„ — 8\ et 5' une quantité affectée d'un signe contraire à celui de y^„ — *". On aura donc
(63) 5'=ou<o, •S''=ou>o.
D'autre part, le polynôme (53) ou S se réduit pour « = — ao à l'infini positif, et pour « = 00 à l'infini négatif. Donc, si dans ce polynôme on substitue successivement, au lieu de s , les quatre valeur.^
lef résultats des subslitulioos seront généralement aflbctés des sîgaes
et par conséquent l'équotion (7) ou
(66) {Àsx-s){Jjj''s){A,,'s)''Jj,*{A^x-s)''A^,*{Ajj-s)-A^j^{j4^^s)-h!iA,jrA»J^r,=::o
admettra trois racines réelles , savoir une racine inférieure à s' , une autre comprise entre les limites s' , s' , et une troisième supérieure à s'.
Supposons maintenant que la fonction (i) renferme quatre yarla&les x » y , z , u. Dans ce cas la fonction S sera déterminée par la formule (i4)» et les fonctions B , Q par les deux suivantes
D'ailleurs, les fonctions (67) et (68) étant semblables, la première à la fonction (55), U seconde à la fonction (45) , on prouvera , en raisonnant comme dans le cas précédent , que Téquation :ff = o a généralement trois racines réellcfs , dont Tune est comprise entre les valeurs réelles de s propres à vérifier l'équation du second degré
(69) (i^« — *) {Auu — s)^A^u = Op
tandis que les deux autres racines sont l'une inférieure et l'autre supérieure aux valeurs^ dont il s'agit. Gela posé, soient s', s", s'" les trois racines de Téquation
(70) [Ajj's){A^,'â){A^'syA»,*{Ajj''s)'Aju^{A„''syAj^{Auu'*)+^^jM^:rM^»u = Or rangées par ordre de grandeur^ et désignons par
le» valeurs de Q et de 5 correspondantes à ces mêmes racines. Q sera une quantité affectée du même signe que la valeur de Q correspondante à # == »» 00 , c'est-àdire, une quantité positive, et l'on aura par suite
Donc, en ayant égard h la formule (49), on trouvera généralement
D'autre part, le polynôme (i4) se réduit, pour « = •— oc , ainsi que pour j = «, ^ Tinfini positif. Donc, fi dans ce polynôme on substitue successivement, au lieu de s , les cinq valeurs
(75) j = — 00, S = ê\ ê = ê\ ê' = ê'\ *=oo,
les résultats des substitutions seront généralement aflectés des signes
Donc l'équation (7) , dans le cas dont il s*agit , admettra quatre racines réelles respectivement comprises entre \t% limites
Les mêmes raisonnements , successivement étendus au cas où la fonction $ renfermerait cinq, six, ... variables , fourniront évidemment la proposition suivante.
I . ** Théobêxe. Quel que soit le nombre n des variables x , y, £»•••» Inéquation
et les équations de même forme
(76) R = o, Q = o, etc...., auront toutes leurs racines réelles. De plus , si Con nomme
les racines dt Céquation
(«9) iî = o
rangées par ordre de grandeur, les racines réelles de Céquation (7) seront respeetivtment comprises entre les limites
{78) —00, s\ s\ *'''.. ..fCn-O, 00.
( i53 j D'après co qui a été dit ci -dessus» il ne peut rester de doutes sur l-exaoti^od» du théorème i .*', si ce n'est dans le cas où quelques valeurs de s vérifieraient à la fois deux des équations
(36) 5 = 0, iî = o, Q = o, etc.,
'prises consécutivement. Observons d'ailleurs que, si Ton nomme
(79) S\ ' S\ S'\ ... iS^'-o
les valeurs du polynôme S correspondantes aux racines 8\ s*" , $*'* ^ ••• s^"*"'^ de l'équation (29) , et
le produit de toutes ces valeurs , K sera une fonction symétrique des racines %\ s",
ê"\ tf^"'"'^, qui pourra être transformée en une fonction entière des coefficients
Agx 9 Axy » Ag^ , ... Aj^ , Ay% f ••• An t ••• » et s'évanouira toutes les fois que les équations (7) et (29) auront des racines communes.
Il est facile de vérifier le théorème 1.* dans le cas où les quantités A^x , A^y . Ax% > •>• Ajy , AjM f ••• Au • ... s'évanouissent toutes à rexceplioo de celles qui , dans le second membre de la formule (8}» sont multipliées par la variable x, ou par le carfé de l'une des variables x, jr, 2 , ... Alors eu effet l'équation (29) , réduite h
(81) {Arj^^s){Au'^s){A„u-'S)...7=0j
aura pour racines A^j , A„ » Auu Donc , si » pour fixer les idées , on suppose
(82) A 77 ^^ " »• ^^ ^uu > • • • f
on pourra prendre
JD WMtre côté, comme^ dao# Thypothèse admise, le tableau (1 1) se rédun*a au suivant
Axf 9
Ax% j
Axu 9
Axjr f
Ayj-^t,
ÀIx» f
Axu f
^•Ml— *>••'
etc
.• AlfWÉE.
SI
( »54 ) on eura évidemment
\ ^jy'~^ Jlg»-* Jt^g-'S \
puis on en conclura , en désignant par S\ S", 5'%... Les valeurs de S correspoih dantes aux valeurs «' = A^j , s" = /^„ , «'" = Ay„ de la variable 9 ,
etc
Enfin» il est clair que S se réduira, pour « = — ^oo, à Tinfini posilif^ et poar « = 00 » à ( — i)". Donc , si dans le polynôme 5 on substitue successivement , au lieu de « » les n + 1 valeurs
(87) - 00 , 5' = -<,, , 5" = .-^^ , i'" :.:= ^^^ , ... + CO ,
les résultats des substitutions seront alternativement positifs et négatifs. Donc Téquation (7) offrira» dans Thypothèse admise, n racines réelles qui» prises consécutivemeDt et deux h deux» renfermeront entre elles tes racines de Téquation (29).
Dans le cas que nous venons de considérer» les quantités 5'» 5'» S'",... ne s'évinouiront jamais» et par conséquent une même valeur de a ne pourra vérifier simaltanémeût les équations (7) et (8 1 ) » à moins que Tun des coefficients A»^ » A„ , A^ .... ne se réduise à zéro. Donc la fonction entière de ces coefficients», désignée par K et déterminée par Téquation (80) » offrira ordinairement» dans le cas dont il s*agit» une valeur distincte de zéro. Il en serait de même » à plus forte raison » si aucun des coeffieieols Axx f Axj f Ax% • ••• Ajj » Aj^ »... ^«s ... ne s'évanouissait. En résumé» la quantité K. ne peut être identiquement nulle » et vérifier l'équation
( i5S) (88) K=zo,
quelles que foienl les valeurs attribuées aux coefficients A„ » A^ty » An » •••• Ajj ,
Il est maÎDlenant facile d'étendre le théorème i .^ au cas oii quelques valeurs de la variable s vérifieraient à la fois deux des équations (36) prises consécutivement. Admettons» pour fixer les idées» quc^ parmi ces équations , les deux premières» savoir, 5 = o » i? = o » soient les seules qui offrent des racines communes. La condition
(88) sera remplie; mais elle cessera de Tétro généralement si Ton attribue è Tun des coefficients renfermés dans la fonction K un accroissement infiniment petit c Soient àS , ^B les accroissements correspondants des fonctions 5 et R. Les équations
(89) 5+a5 = o, (90) il 4- Ail = 0
n'offriront pas de racines communes » et les racines de la dernière » rangées par ordre de grandeur » seront de la forme
(gi) *'+A«S s''+^s\ «'"+Aj'", ... 5C»— O+AjC—O,
^$', A«'« ^s"\ ... Atf^"*"'^ désignant des quantités infiniment petites qui s'évanouiront avec t. D'ailleurs on conclura du théorème i.** que Téquation (89) admet n racines réelles , respectivement comprises entre les limites
(ga) -00, s' + ^y, s"+às\ *'"4-A^'", ....«Cn-O+A^C-O, aO J
et cette conclusion subsistera » |)Our des valeurs de • aussi rapprochées de zéro qu'on le jugera convenable. Donc elle subsistera encore pour 1 = 0, c'est-à-dire , que les n racines de l'équation (7) seront réelles » et renfermées entre les limites (78). Seulement , dans le cas particulier dont il s'agit » quelques-unes des racines de l'équation (7) pourront se réduire à quelques-unes des quantités *', s\ ê"\ .... J^"" '^ qui généralement leur servent de limites.
On pourrait raisonner de la même manière» quelles que fussent» parmi les équaliens (56) , celles qui, prises consécutivement» offriraient des racines communes; car cela ne
peut arriver que dans le cas où les coefficients Axa 9 Axjr » Am» Ajjr » A^, # ••••
A„ vérifient une ou plusieurs des conditions
(gS) iSC = o, i=o» Jlf = o, etc....
{ »8fi) L , M ,... désignant les polynômes dans lesquels se transforme K , lorsque du système des variables a; « 7 , s , ... on rctraoche la variable x ^ ou les deux variabks
X , jr, ou les trois vi^iables x , j , s , ... etc Or, pour que les conditions (qS)
cessent d'être vérifiées » il suffira d'attribuer à un ou à plusieurs des coefficients qu'elles
renferment des accroissements infiniment petits t, c\ c^, Séieht ^R , &5.
^Q p etc les accroissements correspondants et infiniment petits des fonctions &,
B f Q , .... Le théorôme 1." subsistera pour les équations
(94) S + àS—Q, et
(95) it + Ait=o, <? + AÇr=o, etc.,
tandis que 1 , t , g" s'approcheront indéfiniment de zéro; et par conséquent il
continuera de subsister pour les équations (7) et (76) , au moment oii c , g , i" ,
s'évanouiront. Seulement alor^ deux des équations (36) , prises consécutivement, pourront avoir des racines communes.
Si , comme on Ta déjà fait , on nomme
(i5) 5, , #, , $3 , ... *„^, , Sn
les racines de Téq^attoti (7), et si ou les sup|K)«e rangées par ordre de grandeur, deux de ces racines, prises consécutivement , par exemple , ên^ et ^m^-i » ne pourront devenir égales entre elles, sans coïncider avec la racine s^"*^ de l'équation iI = o ou Pj,, = o. Donc, si l'équation (7) admdl des racines égales , chacune d'elles vérifiera encore la formule Pxx = 0 que Ton obtient à la place de l'équation (7) , lorsque du systèîne des variables ^ , j, z , .... on retranche la variable x. PÂreillemeni thacuse des racines égales vérifiera les formules
P^^ = o , P„ = o , etc. . . ,
que l'on obtient eu retranchant du système x , j , z la variable /,• oala variable z , etc Bn général Y si deux, troîi, quatre, ... raciiies de Téquatioa (7) deviennent égales entre elles , chacune de «es raciaea fournira évideuiment une valeur de s prqire à vérifier imb^ seulement l'éqaâtîon (7) , mais encore touies celles qu'on en déduit , lorsque du système a; , j , s , ... on retranche une, deux , trois , ... variables arbitrairement choisies. Alors aussi les coefficients A^x » -^xj % Ax$, » ••• -^^7 t Aj^ , ... A^^ t ... satisferont à une ou à plusieurs des conditions {95). Mais ces conditions cesseront
(107 ) d'être vérifiées» lei pat eooaéfpenfc 1^ racioet de i*équaMoQ (7) deviendront toutes ioé^ gale», êi Ton aitriibaeeujLiK^effiGieiiis reofer^ftéti daxis le» pitemiers coembrea da» foroiule» (93) dea accroiaBeinenta infioiineiil petits» Soient CDCore
{16) a?,, jg , »i,... ; 05,, j,, 2....; etc.; Xn , jn * •«,...;
dea système» de valeurs de x , y , z , .... corroapood^Qts ^ux valeurs a, » 5» « *n
de la variable s , et choisis de manière à vérifier les formule (3) et (10), en sorte qu'on ait
{^xx — ê^)x^ + ^m^Jx-krA^B^t 4? .,. = O , {96)
etc ;
[Asx — a,)»,r|-i^*/j^. + -^«f. 4-^«- ^=0 » -4*j^»t + Mj'^.— «t)/» 4-*4^»« + — — o , Ax»x^ + /<^,j. + (^„ — a,)». + ... = o , etc ;
{Aj^ En) Xn + AsjJTn + AxM^n + ... = 0\
^ As^Xn + {Ajy — 9n)yn + ^x.«„ + •• • = O . (96) /
-4x.»» + Ay^y^ 4- (y<^ — a„)a„ 4- ,.. =r o ,
etc ;
et de plus
(97) ^i'4-j<.»-hV4-... = i, aj.*H-y,«4-«.»-4--..=el, etc.., a?„'-^jn*4-an'-f-... = i.
Si la fonction de /<„ , /i,, , -4,. , . . . AjyAy,\... A^.... , ci-dessiv désignée par K, ne se réduit pas à zéro , des racines de Téquation (7) ne pourront^tre ni égales entre
( 1.58 ) eties, ni propres à vérifier réqaation (99); et iesqaaDtitéfl(i6)» ainsi que noasfeToos fait voir, se troureront, aux signes près, complètement déterminées par les formules (sS), Ajoutons que ces quantités satisferont à toutes -tes équations comprises ^dans le tableaii (29). Gela posé, si, en désignant par
de nouvelles variables dont le nombre soit n, on attribuée x, j, s lei
valeurs que déterminent les formules
î = «,ï + «gu + s,Ç 4'..-.»
etc ,
on aura ,.en vertu des équations (ss) ,
puis , en vertu des équations (g6) , respectivement multipliées par "S , les autres par r , les autres par (,•••, et ajoutées entre elles^
Ajcx'oo + A^jjr + A,nz + ... = «.cr.ç + «.a:,n + «icciÇ + ... . A,^x + Ayyj + Ay^z + ... '=s^y^\ + «,j.ii + #3/1? 4. ... ,
elc
Enfin, en ayant égard aux formules {22), 011 lirvra i.* des formules (98) respectivement multipliées par (c , 7 , s , ... ou par x, , j. , s. , ... ou par ccs 9 Js t ^3 » ••• » et ajoutées entre elles
etc...*. ;
( 159 ) ».*^ des équations (i-oo) respeclivemeDl multipliées pour x » y^ s > ••• f et ajoutées entre elles»
( ^xxX* + ^y^j* + A„z* + .•• + a/5fx/C»y + s A,^xz + '.\. + ^A^.jz + ...
{ =s,V + s,yi* + 8,V +
Il suflira donc généralement de lier les Tariables x , j , s » •»•• aux Tariables ç , >i , ç , ... par les Tormules (98) , pour que les équations (99) et (102) soient simultanément vérifiées. Celle remarque entraîne évidemment la proposition suivante , que )^ai donnée dans le dernier volume des Mémoires de C Académie des Sciences*
2.* Théorème. Étant donnée une pnction homogène et dû seeond degré de plusieurs
variables x , y ^ z , .... , on peut toujours leur substituer d'autres variables i , r. ,
<;,... liées à X, y , z,... par des équations linéaires tellement choisies que la somvu
fies carrés de x , y , z , ,,^ soit équivalente à la somme des carrés de S , >i , C ,
et que la fonction donnée de x , y, z , ,.^. se transforme en une fonction de S » 77 ,
ç , ... homogène et du second degré, mais qui renferme seulement Us carrés de l,^,
La démon^ration du théorème s, ci-dessus indiquée» suppose il la vérité que, dans la fonction donnée , les coefficients
ne satisfont pas à la condition (88). Mais» si cette condition était vérifiée, il suffirait, pour qu'elle cessfit de l'être, d'attribuer à l'un des coefficients dont il s'agit, un accroissement infiniment petit c ; et, comme on pourrait faire converger e vers la limite xéro, sans que le théorème 3 cessfit de subsister, il est clair qu'il subsisterait encore au moment où c s'évanouirait.
Dans le cas particulier où les variables x , y , z sont au nombre de trois seulement., l'équation (7) se réduit 2i celle qui se représente dans diverses questions de géométrie et de mécanique, par exemple, dans la théorie des moments d'inertie ; et le théorème 1.*' fournit les règles que j'ai données dans le troisième volume dos Exercices comme propres à déterminer les limites des racines de cette équation. Alors aussi les équations (22) sont semblables à celles qui existent entre les cosinus des angles que forment trois axes rectangulaires quelconques avec les axes coordonnés, supposés eux-mêmes rectangulaires, et le théorème 2 correspond à une proposition de géométrie , savoiri que par le centre d'une surfece du second degré on peut mener trois plans perpendiculaires l'un à l'autre , et dont chacun la divise en deux parties symétriques.
( »6o ) J'obsôrréral , M terlûinant cet â)rtlcle« ^*nu moment où )t ti*eil aftis mmm écrii qu'une partie , M. Sturm m*a dit être parveDU à démontrer fort f implcment lea théorèmes 1 et 9. Il ae propose de publier incessamment le Mémoire qu'il a composé à ce sujet , et qui a été offert k l'Académie des sciences le même jour que le présent article.
