IV. • ank^j
(ô) zfif)
devienne sensiblement ^al à zéro « quel que soit d'ailleurs Tangle p » ou du moins de manière que ce prodoii reste toujours fini ou infiniment petit» et ne cesse d*ètre infiniment petit, en demeurant fini, que dans le voisinage de certaines valeurs particulières de p . La somme des résidus de /'{t) corrospcndanis à celles des racines do Féqualion (2) qui offriront des modules renfermés entre deux nombres finis r^ , R se troovcra représentée par la notation
et pourra converger vers une limite déterminée. Candis que ces deux nombres s^appnK cheront sans cesse , le premier de zéro , le second de l'infini positif. Or cetto limita sera, dans l'hypothèse admise , ce que nous appellerons la valeur principale du résidu intégral
<£(( /(-) )) • D'autre part, la formule (64) de la page si 2 du premier volume donnert
Si, dans cette dernière équation, on prend successivement pour r^ les différents termes de la série (4)> l'intégrale
convergera évidemment vers une limite nulle, et rej[presaioo (6) vert une limite correi^ pondante , déterminée par la formule
qui est semblable à l'équation (16) de la page 249 du second volume. Gela posé, il ne restera plus qu'à faire converger if vers la limite 00 pour obtenir, dans Thypothèse admise, le théorème i."^ de la page 255 du second volume.
Supposons maintenant
et adcnettont qu'en «UribuaDt au modole t« de la variable z les Vateara ififiDÎment petites
(4) . p » .. p« > ft» •••
on puisse les choisir de manière que le produit
devienne sensiblement égal à zéro » quel que soit d'ailleurs le rapport — '\ ou dumôihs
de manière que le produit reste toujours fini ou infiniment petit, et ne cesse d'être infiniment petit, en demeurant fini, que dans le voisinage de certaines valeurs particulières
du rapport — . Alors » au lieu de la formule (9) » on obtiendra la suivante
puis, €Si sub^iluABt à ta> foUc^ioii tr(i) sa valeur tirée de l'équation (10) » et raisoft* naai comme 00 l'a faîl à la page a5a daeeCond volume» on retrouvera' encore la fi»tniuie (9) et le théorème ci-dessus mentiooné. Seuleibetife le réaidn de /(a) , relatif à s =: o, devra être considéré comme faisant partie do la somme désignée par la notation
C/((y*(2) )) » et comme équivalent à Fa const^ante ^m-^i » dans le cas même où lu
fonction fr{z) deviendrait infiftie pour une valettr nulle de z. Par conséquent, dans rhypothèse admise , il faudra , pour obtenir la valeur principale du résidu intégral
Z^{{f{z) )) , ajouter la constante A^^^ h h Kmîte vetti FaqtfeUe convergera l'expression (6) , tandis que les non]J>res ro , B s'approcheront indéfiniment, le premier de zéro , le second de l'infini posiiifr
On étendrait avec la même faeilité fes théorèmes 2 « S , 4 <les pages a58, 874 et 376 du second volume au cas où, la fonction f{z) étant déterminée par la formule (10) , le produit zv[z) remplit pe«r dei Vtflefm tnfinioient petitea de la friable 0 ,• hsa conditions précédemment énoncées.
Pour vérifier sur une valeur particulière de hr fonction f{z) les remarques que l'on
vient de faire , supposons
. b e^^'-e-^^' sm —
( i64 ) a et 6 désignant deux constantes. L'équation (2) aura pour racines les valeurs de comprises dans les deux séries
(i4) i— i/rr, ±:-^l/T, ±— i/.i, etc..
etc.
On
Dît
Do plus ie produit (5) . ou
-tf"
•«• cos -
deviendra infiniment petit i«^ pour les valeurs infiniment grandes do t , dont les modules différeront sensiblement de ceux des expressions (i4) » s*' pour des valeurs infiniment petites de :: , choisies de manière que les modules correspondants de —
rent sensiblement de ceux des expressions (lo). Gela posé , il suit de ce qu'on a dit plus haut que le théorème i." de la page aSS ou plutôt lo théorème a de la page 858 du premier volume subsistera pour la fonction (i5). On aura donc
r, 1 ni'
cos- y
pourvu que Ton considère le résidu intégral
comme représentant la limite vers laquelle converge l'expression
tandis que les nombres r^ , R s'approchent, lo premier de zéro, le second de l'infini positif. Il est d'ailleurs facile de constater l'exaclitudo de la formule (17). Car on a
^ / 2ab 2ab lab ^ab
sin— e"ô-«* • , l ~ ^-IT , ^IS^ ^"S^T
,ov r f — ^ r ~^ -I- ~
cos-^ ((.(e- + e— ))) (e"^ + c~ e"^+/^
et, en combinant entre elles par voie d'addition les deux équations qui précèdent, on reproduit évidemment la formule (17).
Supposons maintenant (20) /W:
Le produit
b «.''■+«"•'*' ces -
. b ««»-«—«• zsxn —
^«»+tf— «» cos —
sera encore infiniment petit pour des valeurs infiniment petites de z choisies de manière que les modules correspondants de — diffèrent sensiblement de ceux des expressions (i5). Mais ce même produit cessera de s'évanouir, et deviendra généralement égal à
; b pour des valeurs infiniment grandes de z , savoir à + ^ » si la partie réelle de l'exposant az est positive , et à — 6 , si la partie réelle de l'exposant az est négative. Ajoutons que le produit
se réduira évidemment à zéro. Gela posé, le théorème 3.* de la page S74 du second vo* lume donnera
( i6«) Pour constater l'exactitude de cette dernière formule, il taffit d'obterrer que les résidai partiels compris daoa le résidu intégral
:((r::ii4À)
sont, deax à deux, égaux, mab affectés de signes contraires. Supposons enCn
L'équation (a) aura pour racines les valeurs de z comprises dans la série (i4) et dans la suivante
(«6) ±-. ± — , d: — , etc
^ ' TT aTT Dît
De plus le produit
^ sin — b Ê
deviendra infinineat pelîl i**" pour les valeurs infiniment grndes de t dont les modules dilI%reront sensiblement de ceux des expressions (i4) » ^.^ pour des valeurs infiniment petites do z choisies de manière que les modulea de — diffhrent senfiblemeat
de ceux des expressions (26). Cela posé, le théorème 2 de la page 258 du second volume subsistera pour la fonction (26) , en sorte qu'on aura
et par suite
=((iSS^(4-T)))-
ab ab ab ab ab ab
