etc
tf^+«^ «*' + « ^^ c^'+c"*"^
>a6 ao^*"^ SWij 31 a^^ ^^ afl^l ' 51 afl6 ' m? afl^J' '
Sî, pour aJbréger» l'on ùii %ab = «a: , la formule (29) deviendra simplement
Ix -Ix \x -Ix Ix -Ix
En remplaçant dans cette dernière x par xv^ * ^^ ^^ tirera
(3i) -taDg-+-taDg-+-tang-+...==(--cola.j+^(--cot-J + 5(--cot-]+elc.
Il est bon d'observer que» peur établir directement la formule (Si)» il suffirait de prendre
il \ /•/ \ * •^^^ i^^Ti a»l (32) /W = 1 1»
ou bien encore
sm— —
(wr
((c))^ désignant Tune quelconque des deux yaleurs de t propres à vérifier l'équation
En effet, dans Tun et Tautre cas , le théorème a de la page aSS da second volume en-^ traînera la Tormule
qui se réduira simplement à l'équation (5i). Remarquons d'ailleurs que» dans le cas où la fonction f{z) est déterminée par la formule (53) , cette fonction devient généralement infinie pour une valeur nulle de z. Mais» comme dans le même cas le produit zf{z) s'évanouit avec z , la constante précédemment désignée par Am^u t et par suite le résidu de f(*) , relatif à z = o , doivent être censés nuls.
On pourrait faire beaucoup d'autres applications des principes ci-dessiis exposés. Si , pour fixer les idées , on prenait successivement
i{z) sïn az sin- (36) /(») = ■
F(z) 008 as cos —
î{z) cos az 008 — (57) /(«)= • i-
F(«) sïnaz sin —
({z),¥{z) désignant deux fonctions entières de z, et la fraction ; ; étant irré-
ductible, on trouverait i.*"» en supposant le degré de £[z) inférieur au degfé de F(:) , et la fonction F{z) non divisible , ou divisible une fois seulement par z ,
p// f(«) sïnaz sin-\\
H F(«) COSflZ C08-^^
2/ en supposant le degré du produit 5 • f (c) inférieur au degré de F{z) , et la fonction ({z) divisible par z ,
// ({z) cosaz 008 -\\
VI F(») sin 02; siû- Il
( »69) On trouverait de même i.* en supposant le degré du produit z[{z) inrérieur au degré de F(z) , et la fonction F{z) non divisible par z ,
(4.) i//JM.L U = „,
Il F{z) cosaz.cos- ] j
s."" en supposant le degré du produit t^({z) inférieur h celui de F(s) , et la ronction i{z) divisible par z ,
(4.) i//J(fL l\\ = „.
n F(«) sinflï.sîn- j j
On obtient des résultats dignes de remarque en développant les formules (38)» (Sg), (4o), (4i). Si » pour plus de simplicité, on prend
f{z * ) désignant une fonction rationnelle de z » les formules dont il s'agit deviendront
(45) lU f )) = o.
Il 008 02 COS— Z fi
Il COSfli COS- f{z^) W
%\ smo^ sm— z il
n COSAie.COS— Z / JL
(46) iii-^^m-\\=...
l\ sinaz.sin— z II et , en les développant , on trouvera
ir
3ir 5 ^ 5f
= - <l^tanga» lang- -iiii-i^ ,
