XXX
rapports — » -r- » — , ... , on en tirera
cl par 5tiile
etc.. ,
Donc, atlendu que les seconds membres des formules (ii) ci. (iS) sont composés des mêmes Tacleurs » on aura déÇaitivement
1t) '(7) Kf) '(€Hj) '(7)
fCo) f(o) ({0) F(o) F(o)
Crlte dernière tûthatàe. de laquelle il résulte que les deux produits
peuvent être transformés l'un dans l'autre, se déduit aisément da calcul des résidus, ainsi que nous allons le faire voir. ,
Supposons 4'aJbord ; pour plus\d^ comkâodilé» ^ù^auc^nè des équations (s) et (8) n'offre de racines éirales. Faisons d*ailleurs
Si la valeur de .a; eit assez rapjgrpchée de zéro, pour.q^^e ht partie réelle de chacun des rapports ' ^ . . . * .
reste posilire, et que les coefficients de \^ , dans les Icrgaritho^s de ces rapports,
fournissent une somme renfermée entre les limites -^ — > + — m on tirera de la formule (i5) ^ -^ i - . -. i . . /... ,
■■- ' ;: . I:;; •. . .: \r .. , -jr <; •: ' ,;jl;c >■/ .« ■ . ^ i • .••/ •; .î ■ •
Ajôbtons que , dans tôiis lés c^s j^
le double signe d:z devant être réduit, dans chaque logarithme^, au signe + ou au signe — suivant que la fonction, placée à la suite de cç double sÎKQe, offrira pour partie réelle une quantité positive ou négative, et :*É t ues^griant une quantité' entière convenablement choisie. Si maintenant on différencie , par rapport à œ , les deux membres délia form^ule (17) ou (18) , on en oondura
On trouvera de même '/ " . ' ^ -, ^•'. *\
•A — rH ; ! ■ /
On éUblit tans peine U formule (18} à l'aide dea princîpef ezpoiéi dana TAnalyaci ^%ébriqae (cHiap. IX}.
IV*. AiiiiÉB. a4
D'ailleurs le second membre de la formafe (19) peut étrerrepr^Dlé par rooe qaelconqoe des deux expreasioDs équif alenles
dont oa obiteni la dernière» en remplaçant dans la première z par — » et multi-
plianl la fonction sous le signe ^ par *■ ^* ■ ?=-*".^ — \ conformément aux règles
tracées dans le premier volume (pages 167 et suiv.) pour lê changement de variable indépendante dans le calcul des résidus. Do même,, le second membre de la formule (ao) peut être représenté par Tune quelconqne des deux expressions équivalentes
Gela poté', on tirera dM fonnule* (19) et (90)
1 dP
^ = ^ j. -lAii. L(î) -j. £, ± i!H.
P dx Q dx ^t ^lx\ ((F(.)))/^^. F(«) //f/M\]' oa plut limplement
attendu que la fraction
ne deviendra. pa« iiiiiQie ppur une valçor. nulle d|s z. TRfhciir^wmi, nVù^ nomme m le degré de la foQctio9 eAUèrp f (^) » , la firacUop (s5) popm èire pQnsUfMe comme le produit des deux rapports
t'It)
qui , pour des Taleon nulles de t »\ ou de» Taleurk infinies de ~ ^ • se ridtoîront. le
mk *
premier à — r--* = m , le second à la constante, finie
comme des valeurs infinies de ^ réduiront le rapport
première -^ = m, le second à la constante, finie W ^ D*un autre côté.
I la constante finie -^^ , et PexpMsinbn (a6) alilsf ^ë le produit ' ^
) ' i L'iio. < b flisirJ no
de la fonction («5) et de la variable z , à zéro; on aura » enferlo dr la IbrmQle (64) de la page a3 du premier volume p
et par suite Kéqaation (94)^oiUiera
tx\ t dP .1 dQ
Or celle dernière, muilipliée par -pj^zdxi » ' ^ef^ent
puîi, en'l'mlégranl h ipiik!i''dè i^J = b^■'■W dW«ifWtfl'tjire ehàCOlie'dés rohtolteta* P, Q serédiih'à l'iinilépoui^uiie'Vdlbut'hullède b; où iirbuve ' '
OU, ce qui rcvienl au môme, *
,..,.j.(f) '(a4f),....,,4xlr(T)r^fâ-. ..
..•.:,,■■ .i;.ji n- M .----7,- ■«•■•i ' ' -• •••I - j ' ' •• " ^
La ibrtDule (i4) ainsi éNJbflio» dans le cas où les racines
sonl toules dislinclos les unes des autres /subsistera évidemment » quelque pelites gue soient les diflfércnces do ces mêmes racine^» ^ l par conséquent elle continuera de êùhsisler dans le cas même où plusieurs de cts' racines deviendraient égales entre elles.
Si Ton désignah:p{if',.,^|.,:uiM^i;ii)9Kr pftetiçutiitrc,^^ la.yariaWci • « Aij;^il..*i«r^ri\il delà formule ( 1 4) r en posant ce = Ç , '
,, Kf) '{^ 'i^) l:'(I) ^(DziiL .
^ ^ f(o) f(o) "-th~---fh no) F(o) ••••
(|nU,r>tndM$«tik^ibiWMk^i4)>ponIa feffmuleiÇ33)v<b»ilaotfrenk^ ...
Concevons è présent que les fonctions f (;) , F(z) cessent d'être entières. Hais admêlions qu'elles restent finies et continues , ainsi que leurs dérivées des divers ordres pour toutes les valeurs finies de c.r Suppo80iM-,4'ailIeurs 1.* que, pour chacune des deux équalions
(35) fW=o, (S6) T{z) = o,
les racines diiTérenles de zéro soient inégales onlre elles, s.' que^ parmi les mêmes ra^ cines , celles qui offrent des modules inférieurs à une limite finie A , soient en nombre fini , et représentées , pour l'équation (35) , par
(37) «, Pf 7> Vf pour l'équation (3G) , par
(38) X, fi, V , .....
Si l'on prend
>'(t)- 'ij] -'[t] -^(f) f?(f) '"(f)
la fonction ff{x) restera évidemment finie et continue , pour toutes les raleiifs réelles ou imaginaires de x qui offriront des modules inférieurs à i?. En effet, parmi ces valeurs de x , celles que renferme la suite
(40) x = a\, jf=:afA, x==av, ... x = f>^ x = p^, jp = Pv , .r. ar=7>, 0?==^^^, x = 7v.^.
seront les seules qui puissent rendre infinies qu'elqtfes-un'ès des fractions comprises dant le second membre de la formule (Sg) , en faisant évanouir leurs dénominateurs. D'ailleurs, pour chacune de ces valeurs, deux fractions deviendront infinies simultanément/ mais leur différence restera finie. Ainsi , par exenaple, pour a? == aX , les deux fractionf
deviendront infinies en? mêiâe temps. Mais leur différence ou le rapperri-
conservera une valeur finie qui , en vertu d'un théorème connu de calcul infinitésimal- ,r sera la même que celle du rapport
t\ par conséquent égale à
Cela posé , "faison» *
g dési{gnant une valeur parliculière de }a variable x. La fonction ^(x) , ainsi fi)* f (x) , retlera fioie et continue pour toutes les valeurs de sp dont le module sera inférieur k l'unité; et l'on aura , pour ce = Ç >
Do plus, la formule (45) donnera généralement
OU 9 ce qui reWenl au même ,
Aioii, la foncUon de x, représentée par j ou 4'(âB) , devra remplir la double condition de 8e réduire à i*unité pour sd = Ç » et de vérifier , quel que toit x , l'équation dtfTérentîdle linéaire (47) ou (48). Qr, cette équation n'admetlanl paa d*inlér graJe singulière, la double condition dont il s'agit sera remplie tant que les modules de ; ek de 0 resteront inférieurs k B. Donc, puisqu'on vérifie encore cette double condition en prenant
'(t) '(f) '(t) '(4) '(I) Ki)
•m '(f) '(f) Hi) ^(7) '(f)
les valeurs de jt fournies par les équations (45) et (49) seront nécessairement identiques» en sorte qu*on aura, pour toutes les raleiurs de x et de \ dont le module ne surpassera pas B 9 -
ott 9 ce qui refient au même r (50
SI j dans la dernière formule p on pose S =z a ^ efic, donneftf
Désignons maintenant par f{z) ane fcmction semblaiblé & celle qui est reûfermée' sous le signe c^ dans la formule (agf) , eff sorte qu'on* ail
Sup)posons dé plus que Ta fonctioti (55^ ou^ f{z) puisse être décom|pdséft en dmx parliôi , dont la première soh la sommé de pfusieurs termes réciproquement pixiporifomiels i des puissances entières de z , et dont' la seconde , Oiultiplfée par \z , fimt^ nitse un produit qui s*é?anouisse pour certaines valeurs infinimeul petitet de 9. Si en attribuant au module r àe^lfi variable z des valaurs infinimeul grandes , on mu^ lea choisir de manière que Tune des fonctions
'ii-)m
devienne sensiblement égale à une expression déterminée /, quel que soit d*aiilcur» le rapport — , ou du moins de manière que Tune des différences
reste toujours finie ou infiniment petite, et ne cesse d*étre infiDimenl petite» en demeurant finie 9 que dans le voisinage de certaines râleurs particulières du rapport — ; alors»
en vertu du théorème énoncé à la page 974 du second volume» et des principes établis dans l'article précédent, on aura
ou, ce qui revient au même»
((^^éS"))-'-
pourvu que Ton réduise le résidu intégral compris dans l'équation (58) ou (5g) k sa valeur principale. Si d'ailleurs on attribue au nombre ci-dessus désigné par R une valeur infinie, les séries (Sy) et (38) renfermeroni toutes les racines. de;^.|&quttions(3J5)^ (S6) » ou du moins toutes celles qui ne se réduiront pask zéip. Aisprs^^ien (Supposant^ mêmes racibes rangées d'après l'ordre de grandeur do'leurs niQdu,l^.r9^,44^gV^')^.|^
ie résidu partiel do /(«) relatif & t=o, en sorte que — représente le lenw réciproquement proportionnel à z dans la fonction f{z) , on trouvera
\'{-^)n.) Il
OU, ce qui revient au même,
(62) <^1(-7In )|=^-f-?(»);
■• •■ y\«fl— •|,F(») y^'. ...... .:i ,v,r. >•., .....
puis, en combinant Téquation (6s) avec les formutes (5^) et (5o) , on en conclura
,^,, ^ '(?) '{7) ^(1) np '(;) /r(*-^)-
Donc , si dans le produit ' ;
on fait entrer toutes les fractions de la forme «
et correspondantes à celles des racines a , p , •/,....>, ^a, v^.... qui offrent des modules inférieurs au nombre B , il suffira d'attribuer à B des valeurs de plus en plus grandes , pour que le produit (65) converge vers une limite finie équivalente à l'expression
IV*. AIKNÉB. 25
(Mi) • ' ;
«I «m ohliniiilra In formule (64) , en considérant le premier membre de cette formule r.oinnir com|ioi«^ d'ono infinité do facteur*. On aura par suito
'(î) 'C) rO F(i) F(i) F(i)
Jiuc|u*ici iioiif avons supposa qiio » poor chacune des équations (35), (36)» les racines (liflMronlM do sAro Alaieni inégales entre elles. Mais la démonstration que nous avons donnéo do la formulo (64) ou (67) peut être facilement étendue au cas inêoie où la équations dont il s*a|cit offriraient des racines égales qui ne seraient pat nulles. Supposons « par exemple, que n racines de Téquation (56) deviennent égales à > , eo sorlo qu*on ait non-seuloment (i^) F(X) = o,
mais encore (tH>) W (\)=ô, F-(>) = o, ... FC— 0(i) = o.
I«a somme des fractions corretpondanles à ces racines dans le second membre de la famole (Sq^ sera
(70) Il
el la $e«ime de» termes qui « dans ce second membre , deTiendroiil se nMhiira simplement à
D'mMmC». Mr««|>«K
. A^«(C«M»I WM rtmkk ÎK
twTMt ptùir. «C à r«B d
suivant les puissances asceodanles de s , en ayant égard aux équations (68), (69), il suffira de négliger dans les développements obtenus Ici termes infininxent petits pour réduire ces développements aux deux binômes
n 1 f-(«) n n FC«+0{X)
w4) -- 4- -7— TFTTr • ~ "♦■
Donc , pour i = o , ou , ce qui revient au même , pour x = ol\ , l'expression (69) sera équivalente à la différence des binômes (74) » c'est-à-dire à
, ex ( ï n«) « F(«-»-'>(X) )
Il est aisé d'en conclure que la fonction ^ {x) , déterminée par la formule (39), restera encore finie et continue pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de x qui offriront des modales inférieurs à R. D'un autracôté, il suit des principes établis à la page 340 du premier volume que » dans Is cas ob n racines de Téquaiion (56) deviennent égales à X , le résidu partiel Je la fonction
correspondant à la valeur > de 2; » est pirétiséraent l'expression (70). Donc l'équation (61), ou plutôt celle qui la remplacera» se k^éduira encore à l'équation (fe), et en la combinant avec les formules (5o) , (69), (62) , on retrouvera les équations (65), (64), (67), Seulement, dans le premier membre de réquation (64) «o (67), n fraeftiolit égales correspondront aux racines dont X désignera la valeur commune , et le produit de ces n fractions sera
Eo résumé » l'on peut énoAcer la proposition suitanle.
( i88) 1." Théorème. Soient ({z) , Vfz) deux fonctions de z qui restent finies et eontiîiues , ainsi que leurs dérivées des divers ordres, pour toutes Us valeurs finies de z. Supposoni d'ailleurs que l'on ait
et que celles de ces racines qui différent de. zéro^ étant rangées diaprés Vordre de grandeur de leurs modules, soient représentées par
pour C équation {JiS),par
(38) À, fi, V,
pour Céquation ^36). Admettons encore que, parmi les mêmes racines, celles dont U module reste inférieur à une limite finie R soient en nombre fini. Enfin désignons par X une nouvelle variable distincte de z. Si, en attribuant au module r de la variable z des valeurs infiniment grandes , on peut les choisir de manière que Cune des expressions
»'(f)F-(.) ■(^(f)n.)..'.f-{irf )"•(-■)
devienne sensibletnent égale à une expression déterminée S , quel que soit le rapport -^ , ou du moins de manière que Cune des différences
f(-^)F(*) a(f(^)F(,)' ■f(-î-)FH))
re^to toujours finie ou infiniment^petite^ et ne cesse d^étre infiniment petite en demeu-
rant finie que dans le voisinage de certaines valeurs particulières du rapport — ; si de plus la fonction
(53) ' /(c)=-li .
xf(-f)F(.)
peut se décomposer en deux parties dont Cune soit Ut somme de plusieurs termes réei-
( »89 ) pro<iuemenl proporiionnel» à des puissanees entières de z , et dont Cautre s'cvanouiste pour certaine* valeurs infiniment petites de z ; alors , en désignant par X le résidu de /(:) relatif à s = o , en sorte qu'on ait
f(.f)FW ((^)) tt par q une valeur particulière de x , on trouvera
„, , 'D 'M. '^) ^d) !.(î) ^Iv) f:<^--^^'
pourvu que Con considère chacun des produits que renferme Céquation (G7) comme compose d^une infini lé de facteurs, ^
Corollaire i." Si , dans la formule (67) , on jjrenrl Ç = o , elle donnera jiîmplcmont
Corollaire s. Si ^ et X s'évanoqisfent» les formules (67) et (78) deviendront reapeclivcment
Si de plas f (o) et F(o) se réduisent à l'unité , on aura simplement
Observons d'ailleurs que X devra être censé réduit à zéro^ toutes les fois que l'expression (54) s'évanouira pour certaines valeurs infiniment petites de la variable z.
( >4o ) L'un des produits compris dans les deux membres de U formule (67) cesse de renfernier une infinité de facteurs , dès que l'une des fonctions ({*), F(i) devient entière. Supposons , pour fixer les idées , que la fonction f (s) soit non-seulement entière , mais du premier degré et de la forme
Alors les racines 3, p, y,... se réduiront à une seule , savoir a=i. D« plus, les fonctions (54) . (55) deviendront respectivement
vA si elles conservent des valeurs finies , t étant infinie » ces valeurs seront les uiéuics que ceileë de^ fonctions suivantes
-t|(-+t)4^h-(.-.:-)ii^I-
Donc l'expression, représentée par / dans le théorème i.**, sera de la forme (87) ^ = — /o. ou (88) ^ = — ^o — xj,.
$^ désignant la limite vers laquelle convergera la fonction
OU
tandis que z deviendra infinie . et ^, désignant la limite de la fonction
I ( F-(>) FX-«) I
aï I F(«) F(-«) j •
Enfin , dans la formule (60) , la fonction sous le signe C/ sera
( 19» ) et ne deviendra infinie , pour des valeurs infiniment petites de e , que dans le cas où la fonction Y{z) s*évanouira pour s=:o. Mais» dans ce dernier cas» si Ton désigne par n le nombre des racines de Téquation (36) qui se réduiront à zéro , on aura » pour dea valeurs infiniment petites de z [voyez les Leçons sur le Calcul infiniiésimal, page 55 ] ,
zV'(z) (93) -W" = "-
Donc la formule (60) donnera
(9^) ^ - <^ l^-iy-F w" (W)-"^'
et Ton aura
(95) X-^=-^ + g.. ou (96) X-^=-^ + g, + xS,;
puis on en conclura
OU
(98) c = ITJ ^
Gela posé» on obtiendra évidemment» à la place du théorème i.*'^ Tune des propositions que je vais énoncer.
Théobêmb 3. Soi% F(z) unt fonction de z qui reste finie et continue, ainsi que ses dérivées des divers ordres » pour toutes les valeurs finies de z . Supposons d^ail-^ leurs que Con ait résolu Céquation
et que ses racines ^ rangées diaprés C ordre de\ grandeur de leurs modules, soient représentées par
Soit enfin x une nouvelle variable distincte de z. Si, en attribuant au module r delà variable z des valeurs infiniment grandes » on peut les choisir de manière que Cexpression
cUvienne sensiblement égale à une constante déterminée So « ^uel que soit te rapport -, ou du moins de manière que la difltrtnce
reste toujours finie ou in finiment petite , et ne cesse d'être infiniment petite , en demeurant finie ^ que dans le voisinage de certaines valeurs particulières du rapport ~- ;
alors, en désignant par n le nombre des racines de Céquation (56) qui se réduiront à zéro, on trouvera
^'°") TÛT- — r—r- — r-iTJ '
li. V
Corollaire i.*' Si, après avoir mulliplié par F(S) les deux membres de ia formole (loo) , on suppose Ç inHoiment petit, on aura sensibicmeot, dans le second membre,
Par suite , en prenant S ^i= o , on tirera de la formule (loo)
•rj'o F^")(0)
(,«,) FW=»-(.f)(.-.l)(,-l),... -5.
Si n se réduit à zéro ou à l'unité*, l'équation (102) donnera simplement
(.05) Kw = (.|)(,f:)(.i)....-'*.p(„.
OU
Corollaire 2. Si ^, s'évanouit, les formules (100), (102), (io3) et (io4) donneront respectivement
( '&?) ,.oc, F,.)=,.(.-±)(.±)(,i:)...^M^-;
(.08) F(.)==«(i-ij^ij[i')...F'(o). V
3.* TnéoRâHB. Les mêmes choses étant posées que dans le théorème s ,si ton peut attribuer au module r de la variable z des valeurs infiniment gjfandu^ehùMes- de manière que les expressions
^^ ^ a| F(z) + F(..) i' , ^9'^ az) F(*) F(-0 j' ,^ .
devienrunt untiblement égales à des constantes déterminées ^. . <^, , quelque soU le rapport — , ou du moins de manière que les différences T.
restent toujours finies ou infiniment petites, et ne cessent d^étre infiniment petites en demeurant finies , que dans le voisinage de certaines valeurs particulières du rapport
— ; alors, en désignant par n le nombre des racines de C équation (36) qui sert-
duiront à zéro^ on trouvera
Corollaire 1 • ** Si , après avoir multiplié par l les deux membres de la formule ( 1 1 1 ) , on attribue à ç une valeur infiniment petite , on trouvera
17/ N FC«)(o) / X\f X\f X\ X^o^\SB*it
( »94 J Lorsque n se réduit à zéro ou à l'unité » c'est-à-dire » lorsque TéquatioD (36) n'admet pas de racines nulles , ou en admet une seulement, on tire de l'équation (us)
(..5) FW = (.-^)(.-f.)(.-i)....'*-*:-*-Fl.).
ou
Corollaire 2. Si ,^. et ^, s'évanouissent, les équations (1 1 1), (1 1«). (i i3) , (1 14), 80 réduiront aux formules (io5) , (loC) , (107) . (108).
Appliquons maintenant les diverses formules ci-dessus établies à quelques exemples.
!•*' Exemple. Supposons d'abord
Alors l'équation (36) , ou
(»*6) 8in5 = o,
offrira une seule racine nulle» cl une infinité de racines réelles, les unes positives, les autres négatives, savoir.
\ izirzKf 2 = — air, « = — Stt,
etc. j
mais elle n'admettra point de racines imaginaires [voyez le i." volume , page K97I. De plus, l'expression (90) s'évanouira, et l'expression (91)» réduite h
deviendra infiniment petite, si l'on attribue au module r de la variable z des valeurs de la forme
(an+i)
it
n désignant un nombre entier infiniment grand. Cela posé, le 3.* théorème sera évidemment applicable à la fonction F{z) = sins , et la formule (1 14) » réduite à l'équation (108) , altendu que les constantes ^o , /> s'évanouiront, doanera
Il est bon d'observer que l'on pourrait encore déduire la formule (lao) ou (isi) du second théorème et de l'équation (107) , en prenant F{z) z= L.
