Equation quelconque : F(j7, y, z, /?, q) = o

dx "-^•••' dp -'^••••

Caractéristiques :

I** f/^ conoide de ces courbes en m/i point (a:*, ^®, z*).

La solution passant par une courbe C s'obtient en me* nant par la tangente à C un plan tangent au conoïde et en prenant la caractéristique définie par le contact sur le conoïde.

C étant

a?nw)» rH")» -»®(M),

dz^ ^ dx^ ^ dy^

du du ^ du ^ '

Le conoïde des caractéristiques est une solution.

2** Soit une intégrale première du système des caractéristiques ^(x, y^ ZjP, q) = o; F et ^ permettent d'exprimer/? et q en Xy y, z; alors

dz —pdx — q dy = o

donne une intégrale complète de F,

El l'on obtient une intégrale générale en posant

6 = çp(a) (©arbitraire),

et en prenant l'enveloppe des surfaces V.

Même théorie si l'on a vi variables indépendantes (*)

(*) Ceci présente des difficultés. II faut se reporter au beau Mémoire de M. Darboux, Mémoires des savants étrangers, Institut de France, i883, et aux Ouvrages de Sophus Lie, Differential-Gleichungen, 1891; Beruhrungs-Transformationen, 1896, Teubner, Leipzig. — Voir aussi les Leçons de M. Goursat, 3 vol., Hermann.