Soit

Je x'^ dx V*-^

démontrer la relation suivante :

lim (nHJ) = ->

en déduire la valeur de 1 e dx, et de ni pour n Uès grand. *

En intégrant par parties, on trouve de suite

d'où :

l .3.5. . .(2 /l -h I) TT

Hj/i-Hl =

Faisons le produit

(îi) (2n-+-i)Hj«H,«^, = -.

Il faut prouver que Ha,, et Hj,,^.! ont même limite, pour n = oo. Cela résulte de l'inégalité

l4 CHAPITRE 1

d'où

2 n -h 2 Nous avons donc

lim [(2/i-+-i)H|„^.,] = -,

ou encore

Dans H2//4.1, faisons ar*= i — -s*, puis

(3) v//iH,„+, = y /i— — j û?w

Cherchons la limile de Tinlf^grale. D'aI)ord

La deuxième intégrale tend vers zéro avec y- Menons n assez grand pour que Ton ait

€ étant tel que Le tende vers zéro quand L croît indéfiniment.

Le deuxième membre de l'égalité (3) a donc même limite

que / e~"'rfw.

D'où

(?-"' du= ^^—'

(Connaissant cette valeur et intégrant la même fonction sur un triangle formé par Taxe Ox, la première bissectrice,

et un cercle de raj^on très grand, dans le plan de la variable complexe, on obtient les intégrales de Fresnel

J %\n{x^)dx==J cos(a:«)^=i|/^-

La formule de Wallis a été obtenue

(5) ^/N.(2/i-hi)Hï„^.,,

ceci s'écrit aussi bien, en posant :

y27ZX *

On peut encore remplacer ç par ^j> =: qp.e^

iKa?-(-i) '

Faisons le produit d'où

d'où

d'où

d'après (5') et (5"),

j ■*— -•• ^1. JL

\x^x\ = \/'n:e-^x ^(i-^^x) (Stirling), ex tend vers zéro avec - •

Par la théorie de la fonction gamma, on a une meilleure approximation.