Démontrer que les deux intégrales

^^-^ dz. V = /

M=/ ;= dz, v= -^ a^

satisfont à un système d'équations différentielles du premier ordre. Intégrer.

Intégrons par parties :

J/»* - dv du

f /id(e-«sinîx)=- 2^-3 0:^.

du dv

Tel est le système (i), (2).

Posons

d'où

Posons

2 arc tan g W = arc tang x.

e fA a? = tange, W = tang - = - '

Soit donc

M = Àsin-, p = Acos-,

a8 CHAPITRE I.

on aura

X = G v^cos 6,

ce qui donne u et v. Il suffit d'obtenir C.

D'ailleurs :

4. Trouver les intégrales de V équation différentielle du second ordre

qui sont des fonctions rationnelles ou simplement périodiques de x. (Sorbonne.)

et, en intégrant,

/dyy , 4 , r dy

y est, en général, une fonction de x admettant deux périodes.

1° Si c = o, on a

2® 11 y a encore une valeur de c pour laquelle le poly-

nome sous le radical n'est plus de degré 4- Posons

y n'a plus qu'w/ie période.

Posons

y = I -4- -« et z = • »

-«1/ -««-f- -^ -+- 2 / l/aw«-t-^ w-hi

OU, en modifiant la constante,

Prenons X = 3 y/â , écrivons l'équation aux inverses des deux membres, le radical s'élimine,

— ôv/ï