Rappelons quelques résultats

Soit une fonction/*(-5) méromophe.

Représentons par ^ f(^z) la somme des résidus dans

Taire G.

Prenons pour le contour de C successivement des circonférences C«, de rayon R„, évitant les pôles, \{n croissant indéfiniment avec /i, on a

Zn= R„e'?.

D'où ces théorèmes :

Si Ton a

(1) lim Znf(Zn) = PL

uniformément pour o£o£2'ir, il en résulte

(2) Jim r /(z) = X.

nr=» *^C„

(*) Voir Je Volume, si précis et élégant, de M. E. Lindelôf (collection E. Borel).

Celle limile est le résidu intégral de Gauchy

Le théorème subsiste si la coadition (i) est vérifiée sauf seulement pour /> valeurs de (p et si, en ces points, Znf{z,i) conserve un module fini.

De même, si Ton a

(i') lira /(«„)= A,

n = oe

la condition étant réalisée uniforme r^ent, sauf en/> points o\i/{zn) conserve un module fini, il en résulte

Si l'on a (i) lim ' = o

n=ao ^n

el si la fonction y est impaire^ on aura

Il suffit d'écrire

J^ Zn—X J^ Zl—X^ ' )

Appliquons ceci.

2. Calcul des nombres de Bernoulli. — Ce sont les coefficients du développement de ^ >

Formons

/(^) = 7rA-:^i

Les pôles soqI ± 2mzi(n entier) et zéro. Nous prendrons

Ainsi C/2 étant toujours à une distance finie d^un pôle quelconque, Zn/(zn) tend uniformément vers zéro sur tout le cercle C/j. D'où A = o,

3. Développement de tzcoItzz, — Sinir>3 a les racines simples ± n qui seront pôles simples de cotTUv.

D'après les développements tayloriens, chaque résidu est -h I.

Prenons R/^i^ai ; alors la circonférence C^ passe à

distance finie de tout pôle, d'où, M étant un nombre fixe^