Soit
une équation différentielle du premier ordre; à quelle condition doit satisfaire la Jonction f{x^ y) pour que les courbes représentées par V intégrale générale
forment une famille de courbes parallèles? (Sorbonne.)
La trajectoire orthogonale de la famille des courbes (i) a pour équation différentielle
il faut et il suffit qu'on ait
or, on a, en dérivant l'équation (2),
dx^J^''' y> ^ dx\dx^ dy dx) **'
d'où la condition
dx ^ dy dx "'
et, en éliminant -r-> ' dx
Donc /"(^j y) satisfera à l'équation aux dérivées partielles (3), dont rintégrale est
Posons
on aura
On n'a qu'à dériver, en ^, d'où ^ en fonction de /? 6. Etudier l^ équation différentielle
(I) y^iciy-[xi^^)y = ''
par le changement de variable
[A, B, a, 6 sont des constantes. Les dernières sont arbitraires (*).]
L'équation (i) donne
,-^ , a h — a — a- — A, /B — ih — ah m\
(3> ^-i^ = — îi y^\ — 5ï — ■^^)y-
(*) Halphen, Mémoires de V Académie des Sciencesy t. XXVIII.
PROBLKMES DIVBRS. 47
Nous poserons
Dérivons (3), deux fois, il vient
aj'anl posé
!Kx=^ia-\- b — a* =A-i-3a, Bi = a(6-h2 — a) = B — 2A--3a«,
a étant racine de l'équation (5) provenant du système (1) par élimination de b
(4) et (i) sont identiques, sauf quant aux valeurs des coefficients, d'où les remarques suivantes :
i" A = B = o. — L'équation (i) est à coefficients constants, donc intégrée.
Alors (5) admet la racine a = — i , qui donne
Ai= Bi = — 3.
Donc (i) est intégrée pour
2" A = B = — 3. — Alors (5) admet encore la racine a = — I , qui donne
Al = — 6, Bi = o.
Donc (i) est intégrée pour
3" A = — 6, B = o. — L'équation (5) admet la racine a = — 3, qui donne
A,= Bi = — i5.
Donc (i) est intégrée pour
Nous apercevons une loi : (i) peut être intégrée ainsi
pour
n étant un entier, premier avec 3.
Démontrons-le :
Soit
(5) admet la racine a = — i , qui donne
Al = — (/i«-h 2), B, = /i«— 4.
Donnons ces valeurs à A et B, (5) admet la racine a= — /i, qui donne
Ai = — (/i*-H 3n -h 2), Bi = o.
Donnons ces valeurs à A et B, d'où la racine
qui donne
Ai=B, = i — (/i-h3)«.
