Trouver une intégrale de Inéquation , d^y __ A

qui soit de la forme

{x — oi)V'{x — P)v

(A est une constante).

Soit

P est un polynôme entier.

D'autre part, développons z suivant les puissances décroissantes de X

= a;|i+v / I |\^/i I y == arlA-Hv+ B, arl*+v-i ^ . . . .

Si nous faisons [ji -f- v = n — i , nous aurons

Comparons (2) et (3), ^ est une solution si l'on a pour P(^) une constante

Il est inutile de calculer B„ par le développement précédent.

Décomposons (2) en fractions simples

D'où la relation

(5) {^([X — !)...( [JL— /H-I) =

C'est une équation, en [x, de degré n qui a n racines.

Nous avons donc n solutions et Téquation (i) est intégrée.

D'ailleurs (i) se transforme en une équation à coefficients constants si l'on prend pour fonction (*)

et pour variable ^ = 4^^ w.

(*) Halphen, Mémoires de V Académie des Sciences, t. XXVIII. D'A. 4

5o CHAPITRE II.