Une surface est engendrée par la conique
Peut-on déterminer cp de telle sorte que la conique soit ligne de courbure?
Posons
a? H- a = fi, r = ^f^î
z = /fjL*(p(X) -^ 'xa\L — rt*.
La normale à cette surface est
D(Hi,X)' Ecrivons cette normale
Cette normale a une enveloppe si Ton a
Ceci doit être vérifié pour dl = o, d'où Deux solutions :
X*-i- n- CP = O.
9. Trouver les courbes planes telles que, en les transformant par inversion, il existe une relation donnée entre les courbures aux deux points qui se correspondent
ifig- 1)
Soit V l'angle du rayon vecteur avec la tangente*, on a de suite, dans un triangle infiniment petit,
tangV= -p;
Soit p la distance de O à la tangente
= r sinV =
dp d?
= rr
pi — rr" ->r ir'^
Soient ds l'arc de courbe et R le rayon de courbure,
d'où
ds = t/0 v/z-'-H/-'»,
ds
rdr
d% -h dV dp
Nous emploierons celte formule (2).
Soient r<, /?,, R4 les éléments de C, courbe transformée de G, on a
et cette relation donne
rri = 1
Pi ri dri
Kn établissant une relation entre R, R^ , nous avons une équation difTérentielIe.
Soit, par exemple,
nous avons
dp ir dr , i
Remplaçons/) par « nous obtiendrons 9 en fonc-
lion de R par une quadrature.
10. Soit Q la projection d'unpointM d'une sur/ace S 5wr M/i plan fixe P. aSo^V N /e point de rencontre de P a(^ec /a normale, en M, à S.
Trouver les surfaces S ^^Zfe* que la longueur QN ^o/^ constante.
Lignes de courbure, (Sorbonne, 1899.)
Le plan P sera le plan xOy, N a pour coordonnées
\=i a; -^ pzy \ = y -\- qz, d'où
(i) QN =(X — ar)*-f-(Y— j^)«=(/?2-+-^«)«2= K«.
On a l'intégrale première (•2) pz=iaq.
d'où l'intégrale complète
(3) — ^ = — 1, -+■ b = X cos M -+• ^ sin a -h 6.
Nous posons
et dérivons (3), par rapport à m,
— U' = a? sin a — ^ cos m.
Exprimons ir,jKct^ en fonction de deux paramètres u eti^,
ar = (U -4- v)co%u — U' siuM, ^ = ( U -+- p ) sin a -H U' cos w,
z = ^iKv\
ce sont les équations de surfaces moulures, dont les lignes de courbure a = const., ^ = const. sont tontes deux planes.
On peut reconnaître directement que les deux familles de lignes de courbure de la surface
-— H- U = a? COS w H- y sin u.
l]' = y cos u -h X sinu
sont planes. D'abord, on a
(2) z dz = K {cos udx -hsinudy ),
d'où
Kcosu Ksinu
d'où
p Kcosu , cf Ksinu
, Ksine/ , K^cosa , aa = ^ aw r- dz,
,, Kcosw , K^sinz^ do = - du r ai:
Tëquation différentielle des lignes de courbure
dx db — dy da ^= o devient
dx[(K^-^ z^)co%udu — zsmudz] -H <a^K [( K* -h z' ) siiiM du -^ zco%udz\ = o, (K'^-'r z^) {cos udx-^smu dy) du -^z{co%udy — s\nudx)dz = o^
OU encore
— — — z dudz ■+■ z{\}''-\' xcosu -h y sin u ) du dz = o, ( ^ -4- U -h U'H- ~] du dz = o,
d'où les deux solutions :
\^ dz = o^ z = const., famille de plans parallèles; 2° du = o, M = const., mais alors Téquation
\}' z= y cos u — x%mu
donne une seconde famille de plans perpendiculaires aux premiers. Les lignes de niveau et les lignes de plus grande pente de la surface sont donc ses lignes de courbure.
z^ Remarque, — En remplaçant -tt par une fonction quelconque de z^ la même méthode donne les lignes de courbure d'une surface moulure quelconque.
H. Etudier V équation aux dérivées partielles
(i) px-^qy^l.
Trouver les lignes asymptotiques des surfaces intégrales.
Surfaces telles que ces asymptotiques soient données par V intersection des paraboloïdes
xz = cy^ pour l'un des systèmes. (Sorbonne, 1898.)
On obtient, de suite, la solution générale de (i) Dans le plan y = aa?, on a une parabole.
Les asymptotiques sont données par
ou
li) = e'•^
Pour que TéquatioD précédente soit vérifiée par la surface z = Cuy il faut avoir
Posant
on a une équation linéaire homogène à coefficients constants, d'où
d'où l'équation générale des surfaces cherchées,
\ op^ y/ ce y
Pour exprimer les coordonnées de cette première famille de lignes asymptotiques en fonction du paramètre u^ on a
iC = -T — =r > J' = T — ; S > z = C w.
Am3|b -^ Am^h-B
L'équation différentielle des lignes asymptotiques est
dz . du
G le signe supérieur donne la première famille et z == ~ la
seconde; c'est encore une famille de paraboloïdes.
Cette seconde famille de lignes asymptotiques a pour équations
Au* -h Bu "^ Aa^-hBu u
Les deux familles sont unicursalcs.
En combinant ces équations, nous avons
(2) M = Na
est une intégrale première.
Combinant (i) et (2), nous avons
2aN
AOL^
Prenons le signe +, calculons p^ q et formons
dz =. p dx H- q dy^ a* dz X dx -f- y dy x dy — y dx
a -f- v/a-2— 2a2F x'^-^y'^ x^ H- jK-
Intégrons et représentons par ^{z) le premier membre :
Voici une intégrale complète.
Les asymptotiques sont données par
( 4 ) dp dx -\- dq dy = o.
Prenons des valeurs proportionnelles à dp^ dx, ...,
(4) devient
(5) a(MF'— 2F — a2) — aF'= o,
a est constant sur une caractéristique, mais varie de l'une à l'autre, de sorte que l'équation (5) exigera
F' = o, F=— fL,
alors
«(n- y/i-t-a») Ceci n'a plus de sens si a = o ; nous avons alors une
PROBLÈMES DIVERS. 5g
autre équation
px -4- qy ± / — 2 F(z) = o.
Ici les caractéristiques se trouvent dans les plans yz=.mx. Si l'on veut que les caractéristiques soient asympto-
tiques, il faut que la surface intégrale soit une dévelop-
pable, donc que Ton ait
v/— -iFC^) = ^ — K.
Nous avons alors les cônes de sommet
(JVou\^. Afin, de Math,, 1899.)
14. On donne une hélice. En chaque point, dans le plan osculateur, on mène une droite D faisant avec l'axe un angle constant donné. Lignes asymptotiques de la surface, lieu de\^1 — Soit Thé lice
a7 = cos6, ^ = sin6, z = /8.
Le plan osculateur a pour paramètres :
A = /sine, B=— /cos9, G = i.
Ecrivons l'équation de D :
k est connu. Et l'on a, D étant dans le plan osculateur, a = j^[ — kl sin6 zp /cos6 //* ^2(^/2^ j^J = /nsinô ± /i cosB,
Prenons le signe -h ; on a ensuite
b z= — m cos 8 -h /i sin 6 ;
d'où les équations de S, lieu de D :
X = cosO -+- au^ Y = sin6 -+■ bu, Z = /e -i-ku.
6o CHAPITRE II.
Écrivons Féquation des asympto tiques :
Il d^X Xi Xi ||.
INous avons d^ en facteur, d'où la solution
6 = const.
C'est la droite D. 11 reste
o = — 2du[mk -^ l(i — A:*)] -h û?8 [%un -+- u^{i — A:*)],
Il suffit de faire une quadrature.
En particulier, l'hélice est une asyinptotique, car l'équation est satisfaite pour
tt = o {du = o).
