Soit ^équation

i^ Montrer que les caractéristiques, sur la surface intégrale, coupent à angle droit les sections planes horizontales ;

2° Former l'équation différentielle des multiplicités en x^y caractéristiques ;

3° Déterminer U de jaçon que ces multiplicités soient des cercles horizontaux passant par V origine des coordonnées;

4" Pour ce cdiS^ former une intégrale complète de (i).

Nous représentons — par U<, t— par U2.

Le système d'équations des caractéristiques est

dx ^ dy __ dz __ dp ^ dq

soit un déplacement sur la surface

Çk 5> >

oar, ty, az,

PROBLÈMES DIVERS. 6l

s'il est horizontal

dx 8ir H- dy ojr -^ dz^z = o.

C'est le premier point.

Cherchons l'équation des sous-caractéristiques.

(ï) donne

^ = 1 dx p

dq dp q

d^V ^ dx ^ dx p

dx^ "" /?* ~ P^

\dx] />*

Donc

(2) r'=-^^f^(u»-i^'ty)-

Telle est Téquation de la deuxième question.

Nous voulons avoir des cercles horizontaux.

ar* -H ^* — 2 a a? — a ^ y = o .

Leur équation différentielle est

Ecrivons donc

(3) y=zf^^(^y-^)-

aU Ui Us U,-f-U, /

rr>

dU (^U ,

iLix -hyy') __ 1 àx ày^ x^-^y^ ~' 1 U

Passons aux coordonnées polaires avec cette valeur de U (i) devient

(•') /'''+7îy"=5'

dz , âz ,

On a rintégrale première ^'=const., d'où une intégrale complète.