Théorie du facteur intégrant

dx dy

Si l'on a

il en résulte

Amx+|:MY = o,

yiÇi dx — l^dy)~da{x,y).

Ayant un multiplicateur M, tous les autres seront

Mi=Mcp(M) (cp arbitrai re ).

La recherche de ce multiplicateur d'Euler équivaut à celle des transformations infinitésimales de Lie, lesquelles donnent des résultats d'une façon intuitive.

Ici le facteur M existe toujours, bien entendu, avec certaines restrictions de continuité...

(II) V{x^ y^z)dx -\-Qldy -\-Kdz ^o.

Les solutions sont des courbes. Il y a des solutions surfaces si Ton a

PPi-+-QQi-hRRi = o.

Alors la solution s'obtient en intégrant le système

dx dy dz

Pi"" QT"" R^'

Ceci donne

y= F(^,a, là),

J. Bertrand a montré qu'il suffît alors de différenlier y

et z en a?, a, p, de porter dans (II). Cela donne

Intégrons, nous avons

Remplaçons a et ^ en fonclion de x. y^ z, nous avons les solutions

(E. Picard, Cours lith., Hennann, i88^).

17, Soit la surface

X = açp(a)-h psin6 cosw, y ■= V sin6 sinu, ^ = p cos6.

9 est une constante. Exprimer que la ligne de striction se trouve dans le plan y Oz. Lignes asymptotiques» — Le plan tangent sera

acp' — (^(jsinM pœcosw o (jcosw ffsinw Y

eu écrivant (T= sinô, y = cosÔ.

Les paramètres de la normale sont donc

A = -^(sv cosw,

B =Y(^^sina — ac&

G = aacp' sina — t*p.

Dans le plan^O^, on a

ace

(T cosa

Les paramètres sont

, . cracû

(ja<p sinw -f- i-

* cosw

Au point infini, les paramètres sont :

A'^ yacosa,

Nous exprimerons que ces directions sont à 90"; alors le point central se trouvera dans j^O^. D'où

-f- <p'(a) sinw = o, cp = cosM,

cosu c'est-à-dire

9' = — sinw, <p' = — cosM.

Ecrivons l'équation des asymptotiques :

(acp' — v<scosu)du^ — ^(jsinududv a^ — cdsinu (tcosu 0= — pj sin w â?w'-t- 2(T cosa â?w û?(^ t^acosw vsina

Kous avons la solution du = o.

Ce sont les génératrices.

• Puis une équation de Bernoulli.