Condition pour que les courbes, intégrales de

forment une famille isotherme. En déduire un facteur intégrant. — Soient

(a) u{x,y)=zaL

les intégrales de (i). u doit satisfaire à l'équation de Laplace.

Soit [X un multiplicateur de (i) :

du du -

= -^ — r- donnera la relation

ày dx dx dy

D'autre part, u est harmonique, d'où

(3) et (4) nous donnent

d'où

à^ ^ fàf fxdy-f^dx

Pour qu'on puisse déterminer [x, il faut que le second membre soit une différentielle totale exacte. D'où, pour /, la condition

d[ dy ] __à\ àx

OU

(-/■)(g-SJ)-/[(|)V(|)']

Posons

-H^ -4- -T-^ t= ^if (paramètre différentiel du second ordre),

dx^ dy^ 2./ vr /i

(-pj -Hf-r-) = ^i/ (paramètre différentiel du premier ordre), ou

Si cette condition est remplie, nous aurons

àx ^ dy

^-^-y^ ^dv{x,y\

logfi = loge — \ log(i H- /«) 4- v{x, y).

d'où