x dx -h iy dy -f- yz dz =^ ^^dz ^=^ dz

ou bien

,,. dx dy dz

•iyz{y^-\- z^) — xz{x^-\-^y^-\- z"^) — ixyz^

L'équation des surfaces trajectoires orthogonales est (s'il j a intégrabilité)

(i) ^ dx-\-Çldy-^Kdz=zo\

P, Q, R sont les dénominateurs de (I), et l'on a bien la condition voulue.

Intégrons par la méthode de J. Bertrand :

dx ^ __ dz

o lyz x* -h iy* -h z*

y dy o.zdz

Posant

il vient

dZ Z , a«

équation linéaire qui donne on

Eliminant x et .s, il vient

— 'iy\^ — a* ) û?a H- a ( -^ -4- 2 j'* ) d^K

-^^yi \dy'\' — —lydy — T.T.d^) = 0,

— 2Pû?a-i-arfp = o, p = 2Ka«=2Ka7«, d'où

Cette surface est engendrée par le cercle mobile x = \y, a?' -h 7» -h «s* = 2 A: X a?,

qui est ligne de courbure.

La deuxième famille de lignes de courbure sera donnée par des sphères tangentes en O au plan xOy