Enveloppe des plans

(i) 2Ma7-H2f'7 4- (i— M*--P*)« =/(a)-h ç(v).

Montrer que les lignes de courbure sont planes. Déterminer f et o de façon que les plans des lignes de courbure d'un même système passent par une droite fixe. Lignes asymptotiques de la surface enveloppe.

(Sorbonne, 1906.)

Les coordonnées de l'enveloppe sont données par (i), (2), (3):

(2) IX — 1UZ ^ f'(u)^

(3) 7.y — ivz=zo'{v).

Posons

A: = 1 -f- tt' 4- v' ;

les cosinus de la normale à la surface sont

Soit w = a, constante; alors le plan (2) a sa normale faisant un angle constant avec la direction c, d ^ c''.

De même pour ç? = p {théorème de Joachimstal).

Donc les lignes de courbure sont dans les deux familles de plans (2) et (3).

Pour que les plans (2) se coupent suivant une droite, écrivons que leurs traces sur xOz ont une enveloppe réduite à un poiut

— z =/''(u) = const.

Nous avons ainsi

Les lignes asymptotiques seront données par

de dx = o.

Différentioiis (2) et (3) :

idx — ludz — 9.Z du = /''(u)du = ladu^ idy — IV dz — 2z dv = -àœ dv.

Il faut donc calculer z el dz :

^ ^ /-!-? — m/— (;cp^ ^

dz = —