Etudier V équation

py — qx

Montrer que les caractéristiques sont lignes de courhure des surfaces intégrales. — Passons aux coordonnées polaires; (i) devient

(i') K«r2(n-/?'«) — ^'«(i--Kî) = o.

D'où l'intégrale première du système des caractéristiques y'=z=const.; d'où une intégrale complète.

Écrivons (i) sous la forme symétrique

(»') (/>^ — g^ar)»— K«(a7«H-^«)(n-/>«H-5r«) = o;

posons

py — qx = \5^ i-Hjo'-h ^'= V,

Le système des caractéristiques est

dx dy dz

dp dq

Vérifions que ces courbes donnent lieu à l'identité (voir plus loin, p. 83)

dx -h p dz __ dy -\- q dz dp dq

Ceci donne (i")

U«— K«VR = o.

Remarque. — U = const. est une intégrale première de(I).

72 chapitre ii.

23. Equation adjointe. Transformation de Laplace. — I. Soient les sj^stèmes

(i) ^ "i^ "^ ^*^ ■*" ^^y + ciz = o,

-rr ■+• aX -h «1 Y -h ajZ = o,

^^^ ; - !^ H- 6X -h ft, Y -4- *,Z = o,

-; HCX-HCiYH-CjZ =0,

Ils sont adjoints l'un de l'an Ire, et l'on a

rf(Xa7-f- Yj^-f-Z«) = o.

Soit donc la solution de (i)

On aura' la solution de(2), C|, c^^ c^ étant des constantes, par

Xa7i-i- Y^iH- Z«i = Cl, Xa7j-+-. . .= C2, XarsH-, . .= C3.

D'autre part, soit Téquation différentielle (i') a7'»-+-/?iir«-i + ...-i-p„a7 = o.

Multiplions par y, intégrons; nous avons une partie Q et en plus

(— i)'* Ar'*— {p\yY-^-^^PxyY-^^' . --^ (— 0"i>n7] x dt.

Annulons la partie entre crochets :

Si l'on transforme (i') en un système (i) et (2') en un système (2), (1) et (2) sont les systèmes adjoints précédents.

Par exemple, soient Y,, Y2, . . . , Y/j n solutions de (2'); la solution de (i') sera

= ^'^ ^'-dv^-di^-'-dry'

Le facteur qui précède le déterminant est l'inverse du ivronskien des Y;^.