Application

I. Soient deux polynômes du second degré P(x,y)^ Q(a?, y) ayant mêmes termes homogènes du deuxième degré.

SoitF(x, y, z^ u) une fonction homogène du deuxième degré. Mettre les polynômes sous la forme

¥{x,y, a, b), ¥{x,y,a, ^) et montrer que la relation

(2) .2v/P(^,r)Qa.^)-S^-^^-a5^-P55=const.

vérifie le système

dx dy v/P(rg, y)

La lettre A ou H désignant un ensemble homogène de degré 2, on a

F(a?,7, a, b) = h(x^y)-^U{a, ô)-t-(Xa-t-fJL6)rc-h(Xia-4-fxi6)^.

Soit, d'ailleurs,

P(^» y) = h(x, y) -+- mx -f- ny -\-p.

Nous résolvons facilement le système

avec les analogues en a, p, /ni, /ij, /?|, ces trois derniers étant les coefficients de Q.

Donc

P(fl7,^) = F(a7,7, a, 6),

PC?, ^)=Fa, 11, a, P), dx^ "~ (?5* ' (^a; da à^ da

-^ et ^ sont homogènes, de degré i, donc satisfont à la

relation

^ = îî-'^-î-?3|'

()J (^a:* ^ àa? d>^ t^a? da ^ àx ôb^

dO ,

et -p" est analogue.

Dans ces conditions, la différentielle de (2), relativement à x^ yj i, T|, est

Elle est nulle, d'après (i).