II. Etude de l'équation

F étant une fonction quelconque. (Laguerre.)

Associons (3) avec

Soit une intégrale de (3')

Les relations de (i) donnent ainsi

dx dy d\

Éliminons Ç entre ces deux équations :

C'est (3>.

Or, nous avons vu que la relation (a), avec r^ = 0(5), est une intégrale première du système (1).

La théorie de Jacobi s^applique aussitôt, car

Donc le système (I) a une deuxième intégrale

I ^'(^)dx-'dy

X est le premier membre de (a).

(4) fi = const.= . , ,

(4) est la solution de (3), puisqu^il y a deux constantes arbitraires X, [jl.

6'($) est une fonction connue de tj, puisqu'on connaît 7| = 6(5) solution de (3').

Enfin, par (2), t^ s'exprime en X, a?, y.

Donc (3) s'intègre si l'on a une solution particulière de (3').

27. Démontrer, par la théorie générale des fonctions, la relation

H-oo

(Stieltjes.)

Si J^z désigne un logarithme bien défini de z^ tous les autres sont justement

Donc la série représente une fonction uniforme (elle converge comme ^^"^jî soity(^).

f{z) =f(-j elf(z) tend vers zéro si |z| devient infiniment petit ou grand, le dénominateur de chaque terme croissant indéfiniment. Dans ces conditions, f(z) ne peut devenir infini que si l'un des termes est infini.

Prenons J^z = J^^qZ, celui dont l'argument est nul sur Taxe réel, et écrivons

on a le pôle 5 = + i . D'ailleurs

PROBLEAiES DIVEHS. 79

Donc ce pôle est double. La fonction a-t-elie d'autres zéros que ^ = o, oo?

Calculons

I '-T dz = 7.T^i(T, — p ) :

r est un contour renfermant tt pôles et p racines.

A cause de la convergence uniforme de la série et de la série dérivée terme à terme, on voit de suite que, si F est un cercle de rayon inHni, l'intégrale est nulle, d'où

ir = p.

Comme il y a un pôle double, nous n'avons que les deux racines o, oc.

Donc

et la relation (2) donne

Remarque. — Faisons z = e", puis intégrons :

-I- iw

Faisons « = 0; deux infinis se détruisent :

e" — I 2 u jhKà\u-^ imzi a/i'Hf/ n =±i, ±2, ±3,

28. Soit une série convergente (o <C ^ < i) •' (1) /(rr) =N — ^sin2/i7:ir.

8o CHAPITRE II.

Démontrer que la dérivée est, quand la série (2) converge uniformément,

sin Tzx ^H

(M. Lergh, Ann. Ecole norm., iSgS).

Posons /'(j?) = g(x) et intégrons 5'(^) après avoir employé la transformation .d'Abel :

Ap = éio~i~ ûti -+- dj-f-. . .-4- ût^j, cip=Cp — Gp+i,

d'où

Ap = — CpH-i, car Co^o,

6p= sill(7./> •+• 1)113?,

d'où

bp — bp^i = — 2C0sC2jD H- 2) TU a? sin ira?.

Si donc g{x) converge uniformément, nous pouvons intégrer terme à terme, ou encore intégrer de Xq à x^ :

2n / \ n sin(a/i-H r)ita?

2irCp+i cos(2i? -4- 2)ira7H-irGn Hi : ' • '^ siniuiT

La première somme donne bien, pour /i = 00,

Il suffit de voir que le reste tend vers zéro : „ ^ /*''*sin(2/iH-i)ira?

K„ = ir ti/,4-1 / irrz"

^ Ir — cos(2n-f-i)ita?Vt I L (2/1-1- i;irsini:a7 J^-,

Jr^*cos(2/i-Hi)ira? — ircosicar - 1 ^^ (2/H-i)x sin^ira? i'

Nous avons en facteur un terme de la forme

lequel tend vers zéro puisque la série converge. Par le même raisonnement, on a

cp(a?) = Xj"^ cos2/iira?,

^'(^)= ;jT^51(C/t— G„+,)cos(2/i-f-i)itar.

sin 7C»r Jmm

Application. — Calculer

„ , . v^ sin'i/i::.

D'abord F et G convergent (uo*/-, par exemple, Lebesgue, Leçons sur les séries trigonométriques) ;

d'où

F'{ar)=-i, F(a7) = — a? -h a;

pour x=:-9 chaque terme est nul, d'où

d'où

G'{x) = — TT cotric, G(a:) = — 4^sinTca7H- ^ ;

faisons x = -> la série donne

d'où