Soit une fonction développée en série de Fourier

soit

Sn= ^ +^al+ bl

Démontrer les relations

in ^tr:

sin — - — {x—y)

sin

dx dy^

lim S„=- / y{x)Ydx

(A. HuRwiTz, Ann. Ecole norni,, 1902).

Partons de F identité élémentaire

sin (a? — y)

. X — y sin ^

Ècri

cos(:c — y) -4- cos 9.(07 — y) -+-. . .

co^n{x — y) .

cnvons

cosA:(a? — y) = cosX:a?cosX:y -h %\xikx?\nky\ les variables se séparent et (i) est prouvé.

Fig. 8.

*t l(^dÇ) 271

Transformons l'intégrale (i).

D'abord prenons deux fois l'intégrale relative à OAB ;

puis, dans OAB, remplaçons le rectangle élémentaire dxdy par le parallélogramme de hauteur dy et de base arfÇ (aç = OM définit la droite MN parallèle à OB),

soit

D'après la théorie générale, on aura

lim f

sin(2n H- î)J „, >^ jf "ï^rr^/ ^ *?/ \i L__IiF(20^$= -[F(-+-o)-+.F(2ir — G)],

F(H-o) + F(2Tr~o)=y f{y)f{y)dy.

D'où la relation cherchée, si F est continu, et ce qui a lieu lorsque f est bornée et intégrable (* ).

(*) Pour les questions fondamentales de V Analyse, voir les Livres classiques de MM. C Jordan, Picard, Goursat, Humbert, Dini, Osgood, de la Vallée-Poussin, Appell et Goursat;

Pour la Géométrie : MM. Darboux, Bianchi, Raify, Vessiot;

Pour les Exercices : MM. Frenet, Villié, Forsyth, et surtout Tisscrand- Painlevé.