FONCTIONS DE BESSEL

{—\)P lx\f^^^P

Vp n -h p \2 /

Démontrer les relations

JJ 2 /i j Y I M J fi

Équation différentielle de J„. Racines de in

n — \ Amà \p

Dans J„^| , faisons p=^q — i :

«-Hl

-(-'Kir

-H-ïç

Remplaçons l'indice q par p et ajoutons :

= n- Jrt.

3 iF

Faisons la différence :

. , ^ (—£)/'(/! -f- -2;)) /iF\»-»-^-^/'

C'est bien

Écrivons alors

c^ar

Nous avons, sans difficultés, l'équation différentielle

Remarques. — i** La formule vaut encore pour /i t= o, car les précédentes valent en posant J| = — J| . 2° L'équation (i) s'écrit aussi bien

Démontrer la relation

pJ„(a)J„,(P)-aJ«(P)J«^,(a)

Nous avons

j;(pir) = ^J„(Par)-pj„+,(Pa?)

(l'accent désignant la dérivée en x^ non en a^).

Ecrivons, d'ailleurs, l'équation (2) sous ces formes : d^ Il j. d^v

u = v/â^J,i(aa?), / = a« ^^^ \

On a de suite

qui donne la i^elation cherchée.

Démontre?* que l'équation Jn{x)=^o n'a que des racines réelles et que J,, et 3n+\ n'ont pas de racine commune. — Si J,i admettait la racine olz= a-^ bi, il admettrait la racine ^ = a — bi.

Posons Jrt(a:r) = A + Bf, J;,(P^)= A — Bi. Le théorème qui précède donne

ce qui n'est pas possible.

La deuxième partie se démontre de même; on aurait

/ar[J;i(aa7)]2 dx = o.

L'équation Jn(x) = o a une infinité de racines dont l'intervalle tend vers tî.

Rappelons un théorème de Sturm (*).

On a

(*) Journ. de Liouville, t. I. Voir les belles applications de M. E. Picard, Traité, t. III.

Soient Xq, x^ deux racines consécutives d'une intégrale y. Une intégrale z quelconque a au moins une racine entre ^o et X\,

Ceci résulte aussitôt de

Soit, de plus,

®(^)>« pour a? > o (a>o).

Faisons if^^ a, d'où, C| etC2 étant arbitraires,

l'intégrale ^ = o ayant une infinité de racines positives; il en est de même pour y.

Eu égard à l'équation (2), la première proposition est prouvée.

Pour 07 > L, on a